À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Initiation à la programmation » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un algorithme ?, Scratch : la scène et les blocs, Le repère : coordonnées et déplacements, Les variables : des boîtes pour les nombres. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'un algorithme ?
2 · Scratch : la scène et les blocs
3 · Le repère : coordonnées et déplacements
4 · Les variables : des boîtes pour les nombres
5 · Les boucles : répéter sans réécrire
6 · Les tests : si… alors… sinon
7 · Méthode : lire et écrire un programme
1Qu'est-ce qu'un algorithme ?
Avant d'écrire la moindre ligne sur ordinateur, il faut comprendre ce que l'on demande à la machine de faire. Cela commence toujours par un algorithme.
Définition. Un algorithme est une suite d'instructions ordonnées et précises qui permet de résoudre un problème ou d'accomplir une tâche. Les instructions sont exécutées l'une après l'autre, dans l'ordre.
Exemple — une recette. « Prendre $2$ œufs, ajouter $100$ g de farine, mélanger, cuire $10$ minutes » est un algorithme : l'ordre compte (on ne cuit pas avant de mélanger !).
Un programme est la traduction d'un algorithme dans un langage compris par l'ordinateur. En 3e, on utilise le logiciel Scratch, où chaque instruction est un bloc coloré que l'on emboîte.
Astuce. Un bon algorithme est précis (pas d'ambiguïté), ordonné (l'ordre est respecté) et fini (il s'arrête). « Avance un peu » n'est pas une instruction valable ; « avancer de $10$ pas » oui.
Attention ! L'ordre des instructions change tout. « Tourner de $90°$ puis avancer de $50$ » ne donne pas le même dessin que « avancer de $50$ puis tourner de $90°$ ».
2Scratch : la scène et les blocs
Scratch s'organise autour de deux zones : la scène (à droite, où l'action se passe) et la zone de script (où l'on assemble les blocs).
Le lutin. Le personnage que l'on déplace et que l'on programme s'appelle un lutin (le chat par défaut). Un script démarre généralement par le bloc « quand le drapeau vert est cliqué ».
Les blocs sont rangés par familles de couleurs :
| Famille | Exemples de blocs |
|---|
| Mouvement | avancer de … pas ; tourner de … ° ; aller à $x:$ … $y:$ … |
| Contrôle | répéter … fois ; si … alors ; attendre … s |
| Variables | mettre … à … ; ajouter … à … |
| Opérateurs | $+$, $-$, $\times$, $/$ ; nombre aléatoire ; $… > …$ |
Un programme se lit du haut vers le bas. Voici la chaîne logique d'un script simple :
Astuce. Pour relancer un script depuis le début, on clique sur le drapeau vert ; pour tout arrêter, sur le panneau rouge.
3Le repère : coordonnées et déplacements
C'est ici que la programmation rejoint le cours de maths : la scène de Scratch est un repère exactement comme celui des fonctions.
Définition. La scène est munie d'un repère. Chaque point a une abscisse $x$ (axe horizontal, de $-240$ à $240$) et une ordonnée $y$ (axe vertical, de $-180$ à $180$). Le centre de la scène a pour coordonnées $(0\,;0)$.
Exemple. Le bloc « aller à $x:\ 50$ $y:\ 30$ » place le lutin au point de coordonnées $(50\,;30)$ : $50$ vers la droite et $30$ vers le haut par rapport au centre.
Pour déplacer le lutin, deux familles de blocs :
| Bloc | Effet |
|---|
| aller à $x:$ … $y:$ … | place le lutin à des coordonnées absolues |
| avancer de … pas | déplace le lutin dans la direction où il regarde |
| ajouter … à $x$ | décale l'abscisse (relatif) |
Attention ! « aller à $x:\ 50$ » donne une position absolue ; « ajouter $50$ à $x$ » est un déplacement relatif par rapport à la position actuelle. Ne pas les confondre.
Astuce. Pour tracer un dessin, on active le bloc « stylo en position d'écriture » : le lutin laisse alors une trace en se déplaçant.
4Les variables : des boîtes pour les nombres
Souvent, un programme doit retenir une valeur et la faire évoluer : un score, un compteur, une longueur. C'est le rôle des variables.
Définition. Une variable est une boîte qui porte un nom et qui contient une valeur que l'on peut lire et modifier pendant l'exécution. En maths, on note souvent cette valeur par une lettre comme $x$ ou $n$.
Deux blocs essentiels :
| Bloc | Effet |
|---|
| mettre $score$ à $0$ | la variable $score$ prend la valeur $0$ (on écrase l'ancienne) |
| ajouter $1$ à $score$ | la variable $score$ augmente de $1$ |
Exemple — un compteur. Au départ, « mettre $n$ à $0$ ». Si on exécute trois fois « ajouter $2$ à $n$ », alors $n$ vaut successivement $2$, $4$, puis $6$. À la fin $n = 6$.
Attention ! « mettre à » remplace la valeur, tandis que « ajouter à » la modifie. « mettre $score$ à $1$ » exécuté trois fois laisse $score = 1$, alors que « ajouter $1$ à $score$ » trois fois donne $score = 3$.
Astuce. Pense toujours à initialiser une variable (par exemple « mettre $score$ à $0$ ») au début du programme, sinon elle garde la valeur de la partie précédente.
5Les boucles : répéter sans réécrire
Imagine tracer un carré : il faudrait répéter quatre fois « avancer puis tourner ». Plutôt que de copier le bloc quatre fois, on utilise une boucle.
Définition. Une boucle répète automatiquement une ou plusieurs instructions. Le bloc « répéter $n$ fois » exécute son contenu exactement $n$ fois.
Exemple — tracer un carré. « répéter $4$ fois : [ avancer de $100$ pas ; tourner de $90°$ ] ». Comme un carré a $4$ côtés égaux et $4$ angles droits, $4$ répétitions suffisent. L'angle de rotation est $\dfrac{360°}{4} = 90°$.
Pour un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle de rotation est $\dfrac{360°}{n}$ :
| Figure | Nb de côtés $n$ | Angle $\frac{360}{n}$ |
|---|
| Triangle équilatéral | $3$ | $120°$ |
| Carré | $4$ | $90°$ |
| Pentagone | $5$ | $72°$ |
| Hexagone | $6$ | $60°$ |
Autre boucle. « répéter indéfiniment » répète sans jamais s'arrêter (utile pour un jeu qui tourne en continu) ; « répéter jusqu'à ce que … » s'arrête quand une condition devient vraie.
Astuce. Une boucle remplace la répétition à la main : un même script « répéter $36$ fois : avancer de $20$ ; tourner de $10°$ » trace un cercle (presque) parfait, car $36 \times 10° = 360°$.
6Les tests : si… alors… sinon
Un programme doit parfois choisir entre deux actions selon la situation. C'est le rôle des tests (ou instructions conditionnelles).
Définition. Un test évalue une condition (une affirmation vraie ou fausse). Le bloc « si condition alors … » exécute les instructions seulement si la condition est vraie. Le bloc « si … alors … sinon … » choisit entre deux blocs.
Exemple. « si $score > 10$ alors [ dire « Gagné ! » ] sinon [ dire « Continue » ] ». Si la variable $score$ dépasse $10$, le lutin affiche « Gagné ! », sinon il affiche « Continue ».
Les conditions s'écrivent avec les blocs opérateurs de comparaison :
| Bloc | Signification |
|---|
| $x > 0$ | $x$ est strictement positif |
| $x < 100$ | $x$ est strictement inférieur à $100$ |
| $x = 5$ | $x$ est égal à $5$ |
Le schéma d'un test « si… alors… sinon » :
Attention ! Une condition est soit vraie, soit fausse : il n'y a pas d'entre-deux. Ne confonds pas « $=$ » (test d'égalité) avec « mettre à » (affectation d'une variable).
Astuce. Le bloc « générer un nombre aléatoire entre $1$ et $6$ » combiné à un test permet de simuler un dé : c'est très utile en probabilités.
7Méthode : lire et écrire un programme
Au brevet, on demande surtout de lire un programme (que fait-il ?) et de compléter un script. Voici la marche à suivre.
Méthode — lire un programme.
1) Repérer les variables et leur valeur de départ.
2) Suivre les instructions dans l'ordre, ligne par ligne.
3) À chaque boucle, refaire le tour le nombre de fois indiqué.
4) Noter l'état final (position du lutin, valeur des variables, dessin obtenu).
Exemple résolu. « mettre $n$ à $5$ ; répéter $3$ fois : [ ajouter $4$ à $n$ ] ». On part de $n = 5$, puis on ajoute $4$ trois fois : $5 \to 9 \to 13 \to 17$. À la fin, $\mathbf{n = 17}$.
Exemple — figure tracée. « répéter $3$ fois : [ avancer de $80$ ; tourner de $120°$ ] » trace un triangle équilatéral, car $3$ côtés et un angle de $\dfrac{360°}{3} = 120°$.
Astuce. Pour ne pas te perdre, fais un tableau d'avancement : une colonne par variable, une ligne par étape. Tu lis alors les valeurs sans te tromper.
Attention ! Vérifie toujours l'initialisation avant la boucle et combien de fois la boucle tourne : ce sont les deux erreurs les plus fréquentes.
★À retenir
En bref :
• Un algorithme est une suite d'instructions ordonnées et précises ; un programme (Scratch) en est la traduction en blocs.
• La scène est un repère : « aller à $x:$ … $y:$ … » place le lutin au point $(x\,;y)$, le centre étant $(0\,;0)$.
• Une variable est une boîte : « mettre à » remplace sa valeur, « ajouter à » la modifie ; toujours l'initialiser.
• Une boucle « répéter $n$ fois » répète sans réécrire ; pour un polygone à $n$ côtés, on tourne de $\dfrac{360°}{n}$.
• Un test « si … alors … sinon » choisit selon qu'une condition est vraie ou fausse.