Triangles semblables

Calcule l’angle demandé.

1. Un triangle a deux angles de $50°$ et $65°$. Son troisième angle mesure °
   $180-50-65=65$ : ce triangle a deux angles de $65°$, il est isocèle.
2. Un triangle isocèle a deux angles de $70°$. Son troisième angle mesure °
   $180-70-70=40$.
3. Un triangle rectangle a un angle aigu de $35°$. Son autre angle aigu mesure °
   Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $90-35=55$.

Agrandissement et réduction.

1. Un triangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm est agrandi de coefficient $2,5$. Son plus grand côté mesure cm
   Toutes les longueurs sont multipliées par $2,5$ : $10\times 2,5=25$ cm.
2. Dans une réduction, un côté de $8$ cm devient un côté de $6$ cm. Coefficient : $k=$
   $k=6÷8=0,75$, plus petit que $1$ : c’est bien une réduction.
3. Une figure d’aire $9$ cm² est agrandie de coefficient $3$. Sa nouvelle aire vaut cm²
   L’aire est multipliée par $3^2=9$ : $9\times 9=81$ cm².

Triangles emboîtés et triangles de même forme.

1. $M$ est sur $[AB]$, $N$ sur $[AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$, avec $AM=3$ cm et $AB=12$ cm. Le triangle $AMN$ est une réduction de $ABC$ de coefficient
   D’après le théorème de Thalès, $k={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{12}}=0,25$.
2. Avec les mêmes données et $BC=10$ cm, $MN=$ cm
   $MN=10\times 0,25=2,5$ cm.
3. On construit des triangles dont les angles mesurent $50°$, $60°$ et $70°$. Combien de triangles non superposables peut-on obtenir ? (écris un nombre ou « une infinité »)
   $50+60+70=180$ : ces triangles existent, mais les angles ne fixent pas la taille. Il y en a une infinité, tous de même forme : ils sont semblables.

Raisonne sur les angles.

1. Un triangle a des angles de $30°$ et $70°$, un autre des angles de $30°$ et $80°$. Combien de mesures d’angles ont-ils en commun ?
   Le premier a pour angles $30°$, $70°$, $80°$ ($180-30-70=80$) et le second $30°$, $80°$, $70°$ : les trois mesures sont communes, ils sont semblables. Piège : ne pas répondre $1$ en regardant seulement les angles donnés.
2. Un triangle a des angles de $64°$ et $47°$. Un triangle qui lui est semblable a pour plus grand angle °
   $180-64-47=69$ : les angles sont $47°$, $64°$ et $69°$, les mêmes dans tout triangle semblable. Le plus grand mesure $69°$.
3. Un triangle rectangle a un angle de $28°$. Dans un triangle qui lui est semblable, le plus grand des deux angles aigus mesure °
   $90-28=62$ : les angles sont $90°$, $28°$ et $62°$ dans les deux triangles.

Triangles isocèles et rectangles.

1. Un triangle isocèle a un angle de $110°$. Son plus petit angle mesure °
   Deux angles de $110°$ dépasseraient $180°$ : c’est l’angle au sommet, et $(180-110)÷2=35$. Tous les triangles isocèles qui ont un angle de $110°$ ont les mêmes angles : ils sont semblables.
2. Deux triangles isocèles ont chacun un angle de $40°$. Le premier a pour angles $40°$, $40°$ et $100°$ ; dans le second, l’angle de $40°$ est l’angle au sommet. Le plus grand angle du second mesure °
   $(180-40)÷2=70$ : le second a pour angles $40°$, $70°$, $70°$. Un angle commun ne suffit pas : ces deux triangles isocèles ne sont pas semblables.
3. Tout triangle rectangle isocèle a, en plus de son angle droit, deux angles de °
   Les deux angles aigus sont égaux et ont pour somme $90°$ : $90÷2=45$. Deux triangles rectangles isocèles sont donc toujours semblables.

Utilise la figure décrite (fais un schéma).

1. Les droites $(KR)$ et $(LS)$ se coupent en $O$, avec $(KL)\parallel (RS)$. On sait que $OKL$ $=52°$ et $KOL$ $=71°$. Alors $ORS$ $=$ °
   $OKL$ et $ORS$ sont alternes-internes, formés par les parallèles $(KL)$ et $(RS)$ et la sécante $(KR)$ : ils sont égaux, $52°$.
2. Avec la même figure, $OSR$ $=$ °
   $ROS$ $=$ $KOL$ $=71°$ (opposés par le sommet), donc $OSR$ $=180-52-71=57°$. Les triangles $OKL$ et $ORS$ ont les mêmes angles : ils sont semblables.
3. $ABC$ est rectangle en $A$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. On sait que $ABC$ $=33°$. Alors $HAC$ $=$ °
   Dans $ABC$ : $ACB$ $=90-33=57°$. Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$ : $HAC$ $=90-57=33°$. Les triangles $HAC$ et $ABC$ ont un angle droit et l’angle $ACB$ en commun : ils sont semblables, et $HAC$ $=$ $ABC$.

Les côtés sont rangés dans l’ordre croissant. Calcule le coefficient $k$ du premier triangle vers le second.

1. $3$ ; $4$ ; $5$ puis $4,5$ ; $6$ ; $7,5$ : $k=$
   $4,5÷3=6÷4=7,5÷5=1,5$ : un agrandissement.
2. $3$ ; $4$ ; $5$ puis $9$ ; $12$ ; $15$ : $k=$
   Les trois quotients valent $3$.
3. $3$ ; $4$ ; $5$ puis $1,2$ ; $1,6$ ; $2$ : $k=$
   $1,2÷3=1,6÷4=2÷5=0,4$ : une réduction ($k<1$).

Calcule les trois quotients (second triangle sur premier, côtés rangés).

1. $2$ ; $3$ ; $4$ puis $4$ ; $6$ ; $9$ : le quotient différent des deux autres vaut
   $4÷2=2$ et $6÷3=2$, mais $9÷4=2,25$ : pas de coefficient commun, les triangles ne sont pas semblables.
2. $4$ ; $7$ ; $10$ puis $6$ ; $10,5$ ; $16$ : le quotient différent des deux autres vaut
   $6÷4=1,5$ et $10,5÷7=1,5$, mais $16÷10=1,6$ : les triangles ne sont pas semblables (le troisième côté aurait dû mesurer $15$).
3. $9$ ; $15$ ; $21$ puis $6$ ; $10$ ; $14$ : $k=$ (fraction irréductible)
   ${\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{14}{21}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ : semblables, de coefficient ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (une réduction). On garde la fraction : $0,666\dots$ n’est qu’une valeur approchée.

Les côtés sont donnés dans le désordre.

1. Triangle 1 : $8$ ; $5$ ; $7$. Triangle 2 : $14$ ; $16$ ; $10$. Ils sont semblables, de coefficient $k=$
   On range : $5<7<8$ et $10<14<16$. $10÷5=14÷7=16÷8=2$.
2. Combien de ces triangles sont semblables au triangle de côtés $2$ ; $3$ ; $4$ ? $4$ ; $6$ ; $8$ — $3$ ; $4$ ; $5$ — $9$ ; $6$ ; $12$ — $1$ ; $1,5$ ; $2$ — $3$ ; $5$ ; $7$ :
   $4$ ; $6$ ; $8$ : quotients $2$ (oui). $3$ ; $4$ ; $5$ : $1,5$ puis $4÷3\approx 1,33$ (non). $9$ ; $6$ ; $12$ rangés $6$ ; $9$ ; $12$ : quotients $3$ (oui). $1$ ; $1,5$ ; $2$ : quotients $0,5$ (oui). $3$ ; $5$ ; $7$ : $1,5$ puis $5÷3\approx 1,67$ (non). Il y en a $3$.

Les triangles $ABC$ et $RST$ sont semblables. Dans $ABC$ : $BAC$ $=35°$ et $ABC$ $=85°$. Dans $RST$ : $RST$ $=60°$ et $STR$ $=85°$.

1. Quel sommet de $RST$ correspond à $A$ ?
   $SRT$ $=180-60-85=35°$ $=$ $BAC$ : $A\leftrightarrow R$.
2. Quel sommet de $RST$ correspond à $B$ ?
   $ABC$ $=$ $STR$ $=85°$, et cet angle a pour sommet $T$ : $B\leftrightarrow T$ (et donc $C\leftrightarrow S$, angles de $60°$).
3. Le côté homologue de $[BC]$ est (écris par exemple « MN »)
   $[BC]$ est opposé à l’angle de sommet $A$ ; son homologue est opposé à l’angle de sommet $R$ : $[ST]$. On le lit aussi avec $B\leftrightarrow T$ et $C\leftrightarrow S$.

Les triangles $KLM$ et $UVW$ sont semblables, sommets écrits dans l’ordre des homologues.

1. Le côté homologue de $[LM]$ est
   $L\leftrightarrow V$ et $M\leftrightarrow W$ : $[LM]\leftrightarrow [VW]$.
2. L’angle égal à $KML$ est l’angle de sommet
   $M\leftrightarrow W$ : $KML$ $=$ $UWV$, l’angle de sommet $W$.
3. ${\displaystyle \frac{UV}{KL}}={\displaystyle \frac{UW}{\dots }}$ : le côté manquant est
   $U\leftrightarrow K$ et $W\leftrightarrow M$ : $UW$ a pour homologue $KM$, et ${\displaystyle \frac{UV}{KL}}={\displaystyle \frac{UW}{KM}}={\displaystyle \frac{VW}{LM}}$.

Repère les homologues avec les longueurs ou les angles.

1. $ABC$ : $AB=6$, $BC=4$, $AC=5$. $DEF$, semblable à $ABC$ : $DE=7,5$, $EF=9$, $DF=6$. Quel côté de $DEF$ correspond à $[AB]$ ?
   On range : $BC=4<AC=5<AB=6$ et $DF=6<DE=7,5<EF=9$ (quotients $1,5$). Le plus grand côté $[AB]$ a pour homologue le plus grand côté $[EF]$.
2. Avec les mêmes triangles, le sommet homologue de $C$ est
   $C$ est le sommet commun à $[BC]$ et $[AC]$ ; leurs homologues $[DF]$ et $[DE]$ ont pour sommet commun $D$ : $C\leftrightarrow D$.
3. $EFG$ et $RST$ sont semblables avec $EFG$ $=$ $RTS$ et $FEG$ $=$ $SRT$. Le côté homologue de $[FG]$ est
   $F\leftrightarrow T$ et $E\leftrightarrow R$, donc $G\leftrightarrow S$ : $EFG$ et $RTS$ sont semblables (dans cet ordre), et $[FG]\leftrightarrow [TS]$.

$ABC$ et $DEF$ sont semblables, avec $A$, $B$, $C$ homologues de $D$, $E$, $F$. On donne $AB=4,8$ cm, $BC=6$ cm, $AC=7,2$ cm et $DE=12$ cm.

1. Coefficient $k$ de $ABC$ vers $DEF$ :
   $k={\displaystyle \frac{DE}{AB}}={\displaystyle \frac{12}{4,8}}=2,5$.
2. $EF=$ cm
   $[EF]$ est homologue de $[BC]$ : $EF=6\times 2,5=15$ cm.
3. $DF=$ cm
   $DF=7,2\times 2,5=18$ cm.
4. Périmètre de $DEF$ : cm
   Périmètre de $ABC$ : $4,8+6+7,2=18$ cm, multiplié par $k$ : $18\times 2,5=45$ cm (ou $12+15+18$).

Revenir au premier triangle, ou repérer d’abord les homologues.

1. $RST$ est une réduction de coefficient $0,4$ du triangle $KLM$ ($R$, $S$, $T$ homologues de $K$, $L$, $M$). $RS=3,6$ cm, donc $KL=$ cm
   $RS=KL\times 0,4$, donc $KL=3,6÷0,4=9$ cm. Contrôle : $9$ cm est plus grand que $3,6$ cm, normal pour le triangle de départ d’une réduction.
2. $GHI$ et $XYZ$ sont semblables (dans cet ordre), avec $GH=5$ cm, $XY=8$ cm et $YZ=12$ cm. $HI=$ cm
   $k={\displaystyle \frac{XY}{GH}}={\displaystyle \frac{8}{5}}=1,6$. $[HI]$ est homologue de $[YZ]$ : $HI=12÷1,6=7,5$ cm.
3. Deux triangles rectangles ont un angle aigu égal. Les côtés de l’angle droit du premier mesurent $3$ cm et $3,5$ cm ; dans le second, l’homologue du côté de $3$ cm mesure $6,6$ cm. L’autre côté de l’angle droit du second mesure cm
   Un angle droit et un angle aigu égal : les triangles sont semblables. $k=6,6÷3=2,2$, donc $3,5\times 2,2=7,7$ cm.

Périmètres et aires.

1. Les trois côtés d’un triangle sont triplés. Par combien son aire est-elle multipliée ?
   C’est un agrandissement de coefficient $k=3$ : l’aire est multipliée par $k^2=3^2=9$.
2. Un triangle d’aire $12$ cm² est agrandi de coefficient $2,5$. Sa nouvelle aire vaut cm²
   $12\times 2,5^2=12\times 6,25=75$ cm².
3. L’aire d’un triangle est divisée par $16$ lors d’une réduction. Le coefficient de réduction est $k=$
   $k^2={\displaystyle \frac{1}{16}}$ et ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{16}}$, donc $k={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$ : les longueurs sont divisées par $4$.
4. Deux triangles semblables ont pour périmètres $20$ cm et $30$ cm. L’aire du grand vaut combien de fois celle du petit ?
   $k=30÷20=1,5$, donc les aires sont dans le rapport $k^2=1,5^2=2,25$.