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Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque
Rappels de 4e (triangles emboîtés, égalité des trois rapports, calcul d’une longueur, rapport de réduction, longueurs à déduire, milieux), configuration papillon et énoncé général du théorème, réciproque et contraposée dans les deux configurations (ordre des points, comparaison exacte des rapports), longueurs inaccessibles et rédaction type brevet.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut deux droites sécantes et deux droites…
- A. perpendiculaires
- B. de même longueur
- C. parallèles
- D. confondues
Réponse
C. parallèles — Le parallélisme de (MN) et (BC) est l’hypothèse indispensable du théorème.
Dans la configuration papillon, les points M, A, B sont alignés…
- A. dans l’ordre A, M, B
- B. dans l’ordre M, A, B
- C. dans l’ordre M, B, A
- D. sur un cercle de centre A
Réponse
B. dans l’ordre M, A, B — En papillon, A est entre M et B (et entre N et C) : les deux triangles sont de part et d’autre de A. L’ordre A, M, B est celui des triangles emboîtés.
M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Le sommet commun des deux triangles est…
- A. le point A
- B. le point M
- C. le milieu de [BC]
- D. le point N
Réponse
A. le point A — Les triangles AMN et ABC ont le même sommet A : toutes les longueurs des rapports partent de A.
Dans l’égalité AM/AB = AN/AC = MN/BC, le rapport qui compare les côtés parallèles est…
- A. AM/AB
- B. AN/AC
- C. AM/AN
- D. MN/BC
Réponse
D. MN/BC — [MN] et [BC] sont portés par les deux droites parallèles.
(MN) est parallèle à (BC) et AM/AB = 0,3. Alors AN/AC vaut…
- A. 0,7
- B. 0,3
- C. 3
- D. 0,6
Réponse
B. 0,3 — Les trois rapports du théorème de Thalès sont égaux : AN/AC = AM/AB = 0,3.
Pour trouver MN dans l’égalité 2,5/5 = MN/7, on utilise…
- A. le théorème de Pythagore
- B. la règle des signes
- C. le produit en croix
- D. la somme des angles
Réponse
C. le produit en croix — Une égalité de deux quotients se résout par produit en croix : MN = 2,5 × 7 ÷ 5.
Le rapport AM/BC est…
- A. le premier rapport de Thalès
- B. le rapport de réduction
- C. le rapport des côtés parallèles
- D. un mélange incorrect
Réponse
D. un mélange incorrect — AM est porté par une des deux droites issues de A et BC par une des parallèles : ce rapport ne figure pas dans le théorème.
Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles, on utilise…
- A. la contraposée du théorème
- B. la réciproque du théorème
- C. le théorème de Pythagore
- D. le rapport MN/BC
Réponse
A. la contraposée du théorème — Si AM/AB ≠ AN/AC, les droites ne sont pas parallèles : c’est la contraposée du théorème de Thalès. La réciproque, elle, prouve un parallélisme.
En papillon, M, A, B sont alignés dans cet ordre, AM = 2 cm et AB = 6 cm. La longueur MB vaut…
- A. 4 cm
- B. 3 cm
- C. 8 cm
- D. 12 cm
Réponse
C. 8 cm — A est entre M et B : MB = MA + AB = 2 + 6 = 8 cm. 4 cm serait AB − AM, la longueur à déduire des triangles emboîtés.
M est le milieu de [AB], N est sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Alors…
- A. MN = 2 × BC
- B. N est le milieu de [AC]
- C. N est le milieu de [BC]
- D. AN = AB
Réponse
B. N est le milieu de [AC] — AM/AB = 1/2, donc AN/AC = 1/2 : N est le milieu de [AC], et MN = BC ÷ 2.
Pour appliquer la réciproque, les points A, M, B et A, N, C doivent être alignés…
- A. à égale distance
- B. sur un même cercle
- C. dans le même ordre
- D. perpendiculairement
Réponse
C. dans le même ordre — Les deux en triangles emboîtés, ou les deux en papillon : sans le même ordre, des rapports égaux ne suffisent pas.
AMN est une réduction de ABC de rapport 0,25. Le côté MN vaut…
- A. BC ÷ 4
- B. BC × 4
- C. BC − 4
- D. BC ÷ 16
Réponse
A. BC ÷ 4 — 0,25 = 1/4 : chaque longueur du petit triangle vaut le quart de la longueur correspondante, donc MN = BC × 0,25 = BC ÷ 4.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
(MN) est parallèle à (BC), AM = 3, AB = 8 et BC = 12. Alors MN vaut…
- A. 32
- B. 4,5
- C. 2
- D. 36
Réponse
B. 4,5 — MN = 3 × 12 ÷ 8 = 4,5. 32 = 8 × 12 ÷ 3 vient d’un produit en croix à l’envers : un côté du petit triangle ne peut pas dépasser BC.
(MN) est parallèle à (BC), AN = 2,5, AC = 4 et AB = 6,4. Alors AM vaut…
- A. 10,24
- B. 1,6
- C. 3,9
- D. 4
Réponse
D. 4 — AM/AB = AN/AC : AM = 6,4 × 2,5 ÷ 4 = 4.
Papillon (M, A, B et N, A, C alignés dans cet ordre, (MN) parallèle à (BC)) : AM = 2,5, AB = 4 et MN = 3. Alors BC vaut…
- A. 1,875
- B. 5,5
- C. 4,8
- D. 3,5
Réponse
C. 4,8 — AM/AB = MN/BC : BC = 4 × 3 ÷ 2,5 = 4,8. L’égalité s’écrit comme pour les triangles emboîtés.
Points dans le même ordre, AM/AB = 5/8 et AN/AC = 10/16. Les droites (MN) et (BC) sont…
- A. sécantes
- B. impossibles à comparer
- C. parallèles
- D. perpendiculaires
Réponse
C. parallèles — 10/16 = 5/8 : les rapports sont égaux et les points dans le même ordre ; d’après la réciproque, (MN) // (BC).
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AM = 4, MB = 2 et AN = 5. Alors AC vaut…
- A. 2,5
- B. 10
- C. 7,5
- D. 3
Réponse
C. 7,5 — AB = 4 + 2 = 6, puis AC = 6 × 5 ÷ 4 = 7,5. Utiliser MB à la place de AB donnerait 2,5.
Points dans le même ordre, AM = 6, AB = 9, AN = 5 et AC = 7. Les droites (MN) et (BC) sont…
- A. parallèles car 6 < 9
- B. non parallèles
- C. parallèles car 5 < 7
- D. perpendiculaires
Réponse
B. non parallèles — 6 × 7 = 42 et 9 × 5 = 45 : les produits en croix sont différents ; d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles.
Papillon (M, A, B et N, A, C dans cet ordre, (MN) parallèle à (BC)) : MB = 10, AM = 4 et AN = 3. Alors AC vaut…
- A. 4,5
- B. 7,5
- C. 1,5
- D. 8
Réponse
A. 4,5 — A est entre M et B : AB = MB − AM = 6. Puis AC = 6 × 3 ÷ 4 = 4,5. Prendre MB à la place de AB donnerait 7,5.
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AM = 5,4, AB = 9 et AC = 7,5. Alors NC vaut…
- A. 4,5
- B. 3
- C. 2,1
- D. 12,5
Réponse
B. 3 — AN = 5,4 × 7,5 ÷ 9 = 4,5, donc NC = 7,5 − 4,5 = 3. 4,5 est AN, pas NC.
Quel rapport ne sert jamais pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès ?
- A. MN/BC
- B. AM/AB
- C. AN/AC
- D. aucun des trois
Réponse
A. MN/BC — La réciproque ne compare que AM/AB et AN/AC : MN/BC suppose déjà les droites parallèles.
Un bâton vertical de 0,9 m et un mât vertical ont des ombres dont les bouts coïncident ; l’ombre du bâton mesure 1,2 m et celle du mât 6,8 m. Hauteur du mât ?
- A. 5,1 m
- B. 9,07 m
- C. 4,6 m
- D. 8,5 m
Réponse
A. 5,1 m — 0,9 ÷ 1,2 = 0,75 ; 6,8 × 0,75 = 5,1 m. 9,07 m vient d’un rapport pris à l’envers.
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AM = 15 mm, AB = 4 cm et BC = 6 cm. Alors MN vaut…
- A. 22,5 cm
- B. 16 cm
- C. 1,6 cm
- D. 2,25 cm
Réponse
D. 2,25 cm — 15 mm = 1,5 cm ; MN = 1,5 × 6 ÷ 4 = 2,25 cm. Sans conversion, on trouverait 22,5, plus long que BC.
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AM/AB = 0,6 et le périmètre de ABC vaut 25 cm. Le périmètre de AMN vaut…
- A. 9 cm
- B. 41,7 cm
- C. 15 cm
- D. 10 cm
Réponse
C. 15 cm — Toutes les longueurs sont multipliées par 0,6 : 25 × 0,6 = 15 cm.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Points dans le même ordre, AM/AB = 2/3 et AN/AC ≈ 0,67 (valeur arrondie). Que peut-on conclure ?
- A. (MN) // (BC) d’après la réciproque
- B. rien sans les valeurs exactes
- C. (MN) et (BC) sont sécantes
- D. (MN) // (BC) d’après le théorème
Réponse
B. rien sans les valeurs exactes — Une valeur arrondie ne prouve pas une égalité : 0,67 peut venir de 2/3 comme de 67/100.
M sur [AB], N sur [AC], (MN) parallèle à (BC), AM = 2x, AB = 5x et BC = 12,5. Alors MN vaut…
- A. 5
- B. 5x
- C. 31,25
- D. 2,5x
Réponse
A. 5 — AM/AB = 2x/5x = 0,4, donc MN = 0,4 × 12,5 = 5, quel que soit x.
Un élève écrit AM/MB = AN/NC dans des triangles emboîtés avec (MN) parallèle à (BC). Cette égalité est…
- A. vraie, mais ce n’est pas celle du théorème
- B. fausse dans tous les cas
- C. vraie seulement en papillon
- D. fausse sauf si M est le milieu de [AB]
Réponse
A. vraie, mais ce n’est pas celle du théorème — Si AM/AB = AN/AC = k, alors MB = (1 − k) × AB et NC = (1 − k) × AC, donc AM/MB = AN/NC aussi. Mais l’égalité attendue est AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Papillon : M, A, B et N, A, C alignés dans cet ordre, AM = 3,6, AB = 9, AN = 2,6 et AC = 6,5. Les droites (MN) et (BC) sont…
- A. non parallèles car 2,6 ≠ 3,6
- B. parallèles d’après la réciproque
- C. parallèles d’après le théorème
- D. non parallèles car 6,5 ≠ 9
Réponse
B. parallèles d’après la réciproque — 3,6 ÷ 9 = 0,4 et 2,6 ÷ 6,5 = 0,4, et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque, (MN) // (BC). Le théorème, lui, suppose le parallélisme.
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AB = 7,5, MB = 3 et AC = 10. Alors NC vaut…
- A. 6
- B. 2,25
- C. 3
- D. 4
Réponse
D. 4 — AM = 7,5 − 3 = 4,5 ; AN = 4,5 × 10 ÷ 7,5 = 6 ; NC = 10 − 6 = 4. 6 est AN.
Une personne de 1,75 m a une ombre de 2,1 m dont le bout coïncide avec celui de l’ombre d’un arbre, longue de 9,6 m. La hauteur de l’arbre est…
- A. 8 m
- B. 11,52 m
- C. 7,5 m
- D. 10,8 m
Réponse
A. 8 m — 1,75 ÷ 2,1 = 5/6 ; 9,6 × 5/6 = 8 m. 11,52 m vient du rapport pris à l’envers.
Dans des triangles emboîtés (M sur [AB], N sur [AC]), quel rapport est forcément inférieur à 1 ?
- A. AN/AC
- B. BC/MN
- C. AC/AN
- D. AB/AM
Réponse
A. AN/AC — N est sur [AC], donc AN < AC et AN/AC < 1 ; les trois autres rapports sont plus grands que 1.
(MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], AM = 0,8 m, AB = 2 m et MN = 60 cm. Alors BC vaut…
- A. 24 cm
- B. 150 cm
- C. 1,5 dm
- D. 150 m
Réponse
B. 150 cm — 60 cm = 0,6 m ; BC = 2 × 0,6 ÷ 0,8 = 1,5 m = 150 cm (et non 1,5 dm, ni 150 m en gardant 60 sans conversion).
Points dans le même ordre, AM = 7, AB = 11, AN = 9 et AC = 14. Alors…
- A. (MN) // (BC) car 77 = 77
- B. (MN) // (BC) car 98 ≈ 99
- C. les droites ne sont pas parallèles
- D. on ne peut rien dire sans MN et BC
Réponse
C. les droites ne sont pas parallèles — AM × AC = 98 et AB × AN = 99 : les produits sont différents, donc les rapports aussi ; d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles.
M est sur [AB] avec AM/AB = 0,75 ; N est sur la droite (AC), de l’autre côté de A que C, avec AN/AC = 0,75. Les droites (MN) et (BC) sont…
- A. parallèles d’après la réciproque
- B. parallèles d’après le théorème
- C. parallèles car les rapports sont égaux
- D. non parallèles
Réponse
D. non parallèles — Les points ne sont pas dans le même ordre (A, M, B et N, A, C) : la réciproque ne s’applique pas. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) sur [AC], pas en N.
Papillon : (MN) est parallèle à (BC) et AM/AB = 1,5. Si BC = 4 cm, alors MN vaut…
- A. environ 2,7 cm
- B. 4 cm
- C. 5 cm
- D. 6 cm
Réponse
D. 6 cm — MN/BC = AM/AB = 1,5, donc MN = 1,5 × 4 = 6 cm : en papillon, le triangle AMN peut être le plus grand.
Le rapport de réduction de AMN par rapport à ABC vaut 0,6 ; la hauteur de ABC issue de A mesure 8 cm. Celle de AMN mesure…
- A. 2,88 cm
- B. 13,3 cm
- C. 3,2 cm
- D. 4,8 cm
Réponse
D. 4,8 cm — Une hauteur est une longueur : elle est multipliée par k = 0,6, soit 8 × 0,6 = 4,8 cm.
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