Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque

Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$, avec $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=42$ mm, $AB=7$ cm, $AN=5,1$ cm et $MN=3,9$ cm.

1. a)Écris l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès, en précisant les hypothèses utilisées.
2. b)Calcule la longueur $AC$.
3. c)Calcule la longueur $BC$.
4. d)Calcule $NC$. Un élève affirme que le périmètre du quadrilatère $MBCN$ vaut $16,2$ cm : a-t-il raison ?

Les points $E$, $K$, $F$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $G$, $K$, $H$, et les droites $(EG)$ et $(FH)$ sont parallèles. On donne $KE=2,8$ cm, $KF=7$ cm, $KH=5$ cm et $FH=6$ cm.

1. a)Comment s’appelle cette configuration ? Écris l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.
2. b)Calcule $KG$.
3. c)Calcule $EG$.
4. d)Calcule les longueurs $EF$ et $GH$.

Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A$, $N$, $C$, avec $AM=3,2$ cm, $AB=4,8$ cm, $AN=2,6$ cm et $AC=3,9$ cm. Sur une seconde figure, les points $D$, $P$, $E$ et $D$, $Q$, $F$ sont alignés dans cet ordre, avec $DP=4,5$ cm, $DE=6$ cm, $DQ=3,4$ cm et $DF=4,5$ cm.

1. a)Calcule les rapports ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ sous forme de fractions irréductibles.
2. b)Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Rédige la justification complète.
3. c)Sur la seconde figure, un élève calcule ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}=0,75$ et ${\displaystyle \frac{DQ}{DF}}\approx 0,76$, et conclut que les droites $(PQ)$ et $(EF)$ sont « presque parallèles ». Que penses-tu de sa conclusion ? Donne la bonne réponse, justifiée.
4. d)Sur la première figure, on mesure $MN=3,5$ cm. Peut-on calculer $BC$ ? Si oui, fais-le ; sinon, explique pourquoi.

Sur la figure, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=5$ cm, $MB=3$ cm et $AN=4$ cm. Voici la copie de Lina : « D’après Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{4}{NC}}$ et $NC={\displaystyle \frac{3\times 4}{5}}=2,4$ cm. Donc $AC=4+2,4=6,4$ cm. »

1. a)Lina a-t-elle écrit l’égalité de rapports donnée par le théorème de Thalès ? Écris celle qu’il fallait utiliser.
2. b)Recalcule $AC$, puis $NC$, avec la bonne égalité. Que remarques-tu ?
3. c)Explique pourquoi l’égalité écrite par Lina donne malgré tout le bon résultat ici.
4. d)On donne de plus $BC=5,6$ cm. Calcule $MN$, puis le rapport de réduction du triangle $AMN$ par rapport au triangle $ABC$.

Depuis une plage, on veut connaître la hauteur $HS$ d’une falaise verticale. Un observateur plante un bâton vertical $[PT]$ de $1,5$ m à $8$ m du pied $H$ de la falaise. Couché au sol au point $O$, à $1,2$ m du bâton, il voit le sommet $T$ du bâton et le sommet $S$ de la falaise exactement alignés. On admet que $O$, $P$, $H$ sont alignés dans cet ordre et que $(PT)\parallel (HS)$.

1. a)Fais un schéma de la situation (les longueurs n’ont pas à être respectées) et nomme les deux triangles de la configuration de Thalès.
2. b)Calcule la hauteur de la falaise.
3. c)L’observateur s’est trompé de $10$ cm en mesurant $OP$ : il a trouvé $1,3$ m au lieu de $1,2$ m. Calcule la hauteur obtenue avec cette erreur, arrondie au centimètre, et l’écart avec la valeur précédente.
4. d)Une carte indique que la falaise mesure $12$ m. Avec le bâton au même endroit, à quelle distance $OP$ du bâton aurait-il fallu se coucher pour retrouver cette valeur ? Laisse une trace de ta recherche, même si elle n’aboutit pas.