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Ces problèmes corrigés sur « Le théorème de Thalès » en troisième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et se résolvent étape par étape. Au programme : La configuration de Thalès, L'énoncé du théorème de Thalès, Calculer une longueur avec Thalès — méthode pas à pas, Choisir la bonne fraction selon l'inconnue. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en troisième.
Des situations concrètes, classées par niveau. Fais un schéma et repère la configuration de Thalès avant de regarder la correction.
Facile
Pb 1Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N est sur [AC] avec (MN)//(BC). On mesure AM = 4 cm, AB = 6 cm et BC = 9 cm. Quelle est la longueur MN ?
D'après le théorème de Thalès : AMAB = MNBC → 46 = MN9.
MN = 4 × 96 = 366 = 6 cm.
Pb 2Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC] avec (MN)//(BC). On donne AM = 5 cm, AB = 8 cm et AN = 6,5 cm. Calcule AC.
D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC → 58 = 6,5AC.
AC = 8 × 6,55 = 525 = 10,4 cm.
Pb 3Sur un plan, deux routes partent d'un même rond-point (point A). Deux rues parallèles relient ces routes. La première rue est à AM = 200 m et AN = 300 m du rond-point. La seconde, parallèle, est à AB = 500 m sur la première route. À quelle distance AC se trouve-t-elle sur la seconde route ?
(MN)//(BC), donc : AMAB = ANAC → 200500 = 300AC.
AC = 500 × 300200 = 150000200 = 750 m.
Pb 4Un photographe agrandit une photo de 10 cm × 15 cm avec un coefficient k = 4. Quelles sont les dimensions de l'agrandissement ? Par combien l'aire est-elle multipliée ?
Largeur : 10 × 4 = 40 cm. Longueur : 15 × 4 = 60 cm.
L'aire est multipliée par k² = 4² = 16.
Moyen
Pb 5Pour mesurer la hauteur d'un arbre, Léo plante un piquet vertical de 1,5 m. À un moment, l'ombre du piquet mesure 2 m et celle de l'arbre 14 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ? (Les rayons du soleil sont parallèles.)
Le piquet et l'arbre sont parallèles (verticaux). On a deux triangles semblables, donc : hauteur arbreombre arbre = hauteur piquetombre piquet.
H14 = 1,52 → H = 1,5 × 142 = 212 = 10,5 m.
Pb 6Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC] avec (MN)//(BC). On donne AM = 3,5 cm, MB = 2,5 cm, AN = 4,2 cm. Calcule AB, puis AC.
AB = AM + MB = 3,5 + 2,5 = 6 cm.
Thalès : AMAB = ANAC → 3,56 = 4,2AC.
AC = 6 × 4,23,5 = 25,23,5 = 7,2 cm.
Pb 7Deux poteaux verticaux PQ et RS sont reliés par un câble tendu de Q (haut du 1ᵉʳ) à R (bas du 2ᵉ) et de S (haut du 2ᵉ) à P (bas du 1ᵉʳ). Les câbles se croisent en A. Le 1ᵉʳ poteau mesure 6 m, le 2ᵉ mesure 4 m. À quelle hauteur du sol les câbles se croisent-ils ? (Indice : c'est une configuration papillon, hauteur h = 6 × 46 + 4.)
Les deux poteaux sont parallèles (verticaux). Le point de croisement A est entre eux → configuration papillon. La formule du point de croisement de deux poteaux donne :
h = 6 × 46 + 4 = 2410 = 2,4 m.
Remarque : la hauteur de croisement ne dépend pas de l'écart entre les poteaux.
Pb 8Une maquette de bateau est une réduction au coefficient k = 0,05 (échelle 1/20). Le vrai bateau mesure 12 m de long. Quelle est la longueur de la maquette en cm ? Et si la vraie voile a une aire de 8 m², quelle est l'aire de la voile de la maquette ?
Longueur : 12 × 0,05 = 0,6 m = 60 cm.
Aire : multipliée par k² = 0,05² = 0,0025. Aire = 8 × 0,0025 = 0,02 m² (= 200 cm²).
Difficile
Pb 9Pour mesurer la largeur BC d'une rivière, un géomètre construit deux triangles de même sommet A avec (MN)//(BC), où [BC] est la rive cherchée. Il mesure AM = 8 m, AB = 20 m et MN = 6 m. Trouve la largeur BC.
(MN)//(BC), donc Thalès : AMAB = MNBC → 820 = 6BC.
BC = 20 × 68 = 1208 = 15 m. La rivière fait 15 m de large.
Pb 10Dans un triangle ABC, AB = 12 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm. On place M sur [AB] tel que AM = 8 cm, et N sur [AC] tel que AN = 6 cm. Montre que (MN)//(BC), puis calcule MN.
Parallélisme : AMAB = 812 = 23 et ANAC = 69 = 23. Égaux + points dans le même ordre → réciproque de Thalès : (MN)//(BC).
MN : MNBC = 23 → MN = 23 × 15 = 10 cm.
Pb 11Une rampe d'accès monte régulièrement. À 3 m de son point de départ A (mesuré le long de la rampe), elle est à 0,45 m de hauteur. La rampe a 8 m de long au total. Quelle hauteur atteint-elle au bout ? (On utilise deux verticales parallèles : hauteur ∝ distance parcourue.)
Les deux verticales (à 3 m et à 8 m) sont parallèles, donc Thalès : 38 = 0,45H.
H = 8 × 0,453 = 3,63 = 1,2 m.
Pb 12Un terrain triangulaire ABC est partagé par une clôture (MN)//(BC), avec M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On a AM = 30 m, AB = 50 m. L'aire totale du terrain ABC est 2000 m². Quelle est l'aire de la petite parcelle AMN ?
Le coefficient de réduction est k = AMAB = 3050 = 0,6.
Les aires sont dans le rapport k² = 0,6² = 0,36.
Aire(AMN) = 0,36 × 2000 = 720 m².