Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque

Rappels de 4e (triangles emboîtés, égalité des trois rapports, calcul d’une longueur, rapport de réduction, longueurs à déduire, milieux), configuration papillon et énoncé général du théorème, réciproque et contraposée dans les deux configurations (ordre des points, comparaison exacte des rapports), longueurs inaccessibles et rédaction type brevet.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés avec le théorème de Thalès : la hauteur d’un lampadaire grâce à une ombre, l’ombre de la pyramide, une étagère à rendre parallèle, l’ombre d’une figurine sur un mur, une visée en papillon par-dessus un canal et l’entrait d’une charpente.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma à main levée et j’y place toutes les lettres et les longueurs de l’énoncé, dans la même unité.
Je repère la configuration : le point commun aux deux droites, l’ordre des points (emboîtés ou papillon), et les deux droites parallèles avec leur justification (deux verticales, rayons du soleil…).
Je choisis l’outil : le théorème de Thalès pour une longueur, sa réciproque ou sa contraposée pour un parallélisme.
Je calcule par produit en croix (ou en comparant les rapports exacts), en déduisant d’abord les longueurs manquantes ( $A B = A M + M B$ , ou $M B = M A + A B$ en papillon).
Je contrôle et je réponds par une phrase, avec l’unité et l’arrondi demandé.

Problème 1 · Le lampadaire★★★Facile

Un lampadaire éclaire Nadia, qui mesure

1, 6

m. Elle se tient à

4, 5

m du pied du lampadaire, et son ombre au sol mesure

2, 7

m. On note

L

le pied du lampadaire,

S

la lampe,

P

les pieds de Nadia,

T

le haut de sa tête et

O

le bout de son ombre :

O

P

L

sont alignés dans cet ordre, ainsi que

O

T

S

1. Quelle distance sépare le bout de l’ombre $O$ du pied du lampadaire $L$ ? m
$O L = O P + P L = 2, 7 + 4, 5 = 7, 2$ m.
2. Nadia et le lampadaire sont verticaux : les droites $(P T)$ et $(L S)$ sont donc (un adjectif)
Deux droites perpendiculaires au sol sont parallèles entre elles : c’est ce qui permet d’utiliser le théorème de Thalès.
3. Écris le rapport $\frac{O P}{O L}$ sous forme décimale :
$\frac{2, 7}{7, 2} = 0, 375$ .
4. Hauteur du lampadaire, arrondie au centimètre : m
$P \in [O L]$ , $T \in [O S]$ et $(P T) ∥ (L S)$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{O P}{O L} = \frac{O T}{O S} = \frac{P T}{L S}$ , soit $0, 375 = \frac{1, 6}{L S}$ , donc $L S = \frac{1, 6 \times 7, 2}{2, 7} = \frac{11, 52}{2, 7} \approx 4, 27$ m (valeur exacte $\frac{64}{15}$ m).

Problème 2 · L’ombre de la pyramide★★★Facile

D’après le récit de Plutarque, Thalès aurait mesuré la hauteur d’une pyramide grâce à son ombre. On plante un bâton vertical de

1, 8

m de façon que le bout de son ombre coïncide avec le bout

S

de l’ombre de la pyramide. L’ombre du bâton mesure

2, 25

m ; l’ombre de la pyramide, mesurée depuis le centre de sa base (à la verticale du sommet), mesure

182, 5

1. Rapport hauteur du bâton ÷ ombre du bâton (écriture décimale) :
$\frac{1, 8}{2, 25} = 0, 8$ .
2. Hauteur de la pyramide : m
Le bâton et la hauteur de la pyramide sont verticaux, donc parallèles, et le sommet commun est $S$ . D’après le théorème de Thalès, $\frac{hauteur}{182, 5} = \frac{1, 8}{2, 25} = 0, 8$ , donc hauteur $= 182, 5 \times 0, 8 = 146$ m.
3. Plus tard, le bâton a une ombre de $3, 6$ m. Nouveau rapport hauteur ÷ ombre :
$\frac{1, 8}{3, 6} = 0, 5$ : le soleil est plus bas, les ombres sont plus longues.
4. Longueur de l’ombre de la pyramide à ce moment, depuis le centre de sa base : m
$\frac{146}{ombre} = 0, 5$ , donc ombre $= 146 \div 0, 5 = 292$ m.

Problème 3 · L’étagère★★★Moyen

Un menuisier fixe une planche

[M N]

dans un cadre triangulaire

A B C

M

est sur

[A B]

N

sur

[A C]

. Il mesure

A M = 36

cm,

M B = 24

cm,

A N = 45

cm et

N C = 31

cm. Il veut savoir si la planche est parallèle au côté

[B C]

1. Longueur $A B$ : cm
$A B = A M + M B = 36 + 24 = 60$ cm.
2. Longueur $A C$ : cm
$A C = A N + N C = 45 + 31 = 76$ cm.
3. Produits en croix : $A M \times A C =$ et $A B \times A N =$
$36 \times 76 = 2 736$ et $60 \times 45 = 2 700$ : ils sont différents, donc $\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}$ ( $\frac{3}{5}$ et $\frac{45}{76}$ ). D’après la contraposée du théorème de Thalès, la planche n’est pas parallèle à $[B C]$ .
4. Pour que la planche soit parallèle à $[B C]$ ( $M$ ne bougeant pas), à quelle distance de $A$ faudrait-il placer $N$ ? $A N =$ cm
Il faut $\frac{A N}{A C} = \frac{A M}{A B} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$ , donc $A N = \frac{3}{5} \times 76 = 45, 6$ cm : il faut déplacer $N$ de $6$ mm vers $C$ . Les points sont alors dans le même ordre et les rapports égaux : la réciproque donne $(M N) ∥ (B C)$ .

Problème 4 · L’ombre sur le mur★★★Moyen

Une lampe

A

, posée sur une table horizontale, éclaire une figurine verticale

[M N]

12

cm : son pied

M

est sur la table, à

40

cm de

A

. L’ombre de la figurine se forme sur un mur vertical situé à

2, 6

m de la lampe :

B

est le bas du mur, au niveau de la table, avec

A

M

B

alignés, et

C

le haut de l’ombre, avec

A

N

C

alignés.

1. Distance $A B$ entre la lampe et le mur, en cm :
$2, 6$ m $= 260$ cm : il faut la même unité que les $40$ cm.
2. Hauteur de l’ombre sur le mur : $B C =$ cm
La figurine et le mur sont verticaux : $(M N) ∥ (B C)$ , avec $M \in [A B]$ et $N \in [A C]$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ , soit $\frac{40}{260} = \frac{12}{B C}$ , donc $B C = \frac{260 \times 12}{40} = 78$ cm.
3. Par quel nombre la hauteur de la figurine est-elle multipliée sur le mur ?
$\frac{78}{12} = 6, 5$ ; c’est aussi $\frac{260}{40}$ : l’ombre est un agrandissement de rapport $6, 5$ .
4. On éloigne la figurine de la lampe pour que son ombre mesure $52$ cm. Nouvelle distance $A M$ : cm
$\frac{A M}{260} = \frac{12}{52}$ , donc $A M = \frac{260 \times 12}{52} = 60$ cm. Plus la figurine est loin de la lampe, plus l’ombre est petite.

Problème 5 · La visée par-dessus le canal★★★Difficile

Pour connaître des distances de l’autre côté d’un canal, Théo plante un piquet

A

sur la berge. De l’autre côté, il repère un arbre

B

et un poteau

C

, distants de

28

m. De son côté, il plante deux piquets

M

N

tels que

M

A

B

soient alignés dans cet ordre, ainsi que

N

A

C

, et que

(M N) ∥ (B C)

. Il mesure

A M = 6

M N = 8, 4

m et

A N = 7, 5

1. De quelle configuration de Thalès s’agit-il ? (écris « emboîtée » ou « papillon »)
$A$ est entre $M$ et $B$ , et entre $N$ et $C$ : c’est la configuration papillon.
2. Distance $A B$ : m
D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ , soit $\frac{6}{A B} = \frac{8, 4}{28}$ : $A B = \frac{6 \times 28}{8, 4} = 20$ m.
3. Distance $A C$ : m
$\frac{7, 5}{A C} = \frac{8, 4}{28}$ : $A C = \frac{7, 5 \times 28}{8, 4} = 25$ m.
4. Distance entre le piquet $M$ et l’arbre $B$ : $M B =$ m
En papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ : $M B = M A + A B = 6 + 20 = 26$ m.

Problème 6 · La charpente★★★Difficile

La charpente d’un toit est un triangle

A B C

de sommet

A

, avec

A B = A C = 6, 5

m et

B C = 7, 8

m. Une poutre horizontale

[M N]

, l’entrait, est parallèle à

[B C]

, avec

M \in [A B]

N \in [A C]

A M = A N = 3, 9

m. La hauteur

[A H]

du triangle, avec

H \in [B C]

, mesure

5, 2

m ; elle coupe l’entrait en

I

1. Longueur de l’entrait $M N$ : m
$M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ , soit $\frac{3, 9}{6, 5} = \frac{M N}{7, 8}$ : $M N = \frac{3, 9 \times 7, 8}{6, 5} = 4, 68$ m.
2. Rapport de réduction du triangle $A M N$ par rapport au triangle $A B C$ :
$k = \frac{A M}{A B} = \frac{3, 9}{6, 5} = 0, 6$ .
3. Dans le triangle $A B H$ , $I \in [A H]$ , $M \in [A B]$ et $(M I) ∥ (B H)$ . Longueur $A I$ : m
L’entrait est parallèle à $[B C]$ , donc $(M I) ∥ (B H)$ . D’après le théorème de Thalès dans le triangle $A B H$ : $\frac{A I}{A H} = \frac{A M}{A B} = 0, 6$ , donc $A I = 0, 6 \times 5, 2 = 3, 12$ m.
4. À quelle hauteur au-dessus de $[B C]$ l’entrait est-il fixé ? $I H =$ m
$I H = A H - A I = 5, 2 - 3, 12 = 2, 08$ m.

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