Fiche de révision : théorème de Thalès

Rappels de 4e (triangles emboîtés, égalité des trois rapports, calcul d’une longueur, rapport de réduction, longueurs à déduire, milieux), configuration papillon et énoncé général du théorème, réciproque et contraposée dans les deux configurations (ordre des points, comparaison exacte des rapports), longueurs inaccessibles et rédaction type brevet.

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Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Théorème de Thalès)

La démarche pour utiliser le théorème de Thalès ou sa réciproque

1. Je repère la configuration : le point commun $A$ , les deux droites qui en partent, l’ordre des points (emboîtés ou papillon).

2. Je choisis l’outil : droites parallèles connues → théorème de Thalès pour une longueur ; parallélisme à prouver → réciproque (rapports égaux, même ordre) ou contraposée (rapports différents).

3. J’écris les rapports avec les lettres, en partant de $A$ , puis je remplace par les valeurs, dans la même unité.

4. Je calcule et je conclus : produit en croix ou comparaison exacte, contrôle du résultat, phrase avec l’unité.

Le réflexe — longueur → théorème de Thalès et produit en croix ; parallélisme → je compare AM/AB et AN/AC en valeurs exactes ; MB donné → AB = AM + MB (emboîtés) ou AB = MB − AM (papillon).

Cas 1 · Triangles emboîtés (rappels de 4e)

Réflexe — je pars du sommet commun : côtés du petit triangle en haut, côtés correspondants du grand en bas ; si l’on me donne $M B$ , je calcule d’abord $A B$ .

Exemple. Dans le triangle $D E F$ , $G \in [D E]$ , $H \in [D F]$ et $(G H) ∥ (E F)$ , avec $D G = 3, 3$ cm, $G E = 2, 2$ cm et $E F = 6, 5$ cm. Calculer $G H$ .

$D E = D G + G E = 3, 3 + 2, 2 = 5, 5$ cm. D’après le théorème de Thalès : $\frac{D G}{D E} = \frac{D H}{D F} = \frac{G H}{E F}$ , soit $\frac{3, 3}{5, 5} = \frac{G H}{6, 5}$ .

Le rapport vaut $0, 6$ , donc $G H = 0, 6 \times 6, 5 = 3, 9$ cm.

Attention — $G E$ n’entre jamais dans les rapports : le rapport de Thalès est $\frac{D G}{D E}$ , pas $\frac{D G}{G E}$ .

Cas 2 · La configuration papillon

Réflexe — le point où se coupent les deux droites est le point de départ de toutes les longueurs ; les points correspondants sont sur la même droite.

Exemple. Les points $R$ , $O$ , $S$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $T$ , $O$ , $U$ , et $(R T) ∥ (S U)$ . On donne $O R = 4$ cm, $O S = 10$ cm et $S U = 7$ cm. Calculer $R T$ .

D’après le théorème de Thalès : $\frac{O R}{O S} = \frac{O T}{O U} = \frac{R T}{S U}$ , soit $\frac{4}{10} = \frac{R T}{7}$ .

$R T = \frac{4 \times 7}{10} = 2, 8$ cm.

Attention — en papillon, $R S = R O + O S$ (le point $O$ est entre $R$ et $S$ ).

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Cas 3 · Réciproque et contraposée

Réflexe — je vérifie l’ordre des points, puis je compare $\frac{A M}{A B}$ et $\frac{A N}{A C}$ en valeurs exactes ; égaux → réciproque, différents → contraposée.

Exemple. Même ordre des points (papillon) : $O R = 1, 5$ cm, $O S = 4$ cm, $O T = 2, 4$ cm et $O U = 6, 5$ cm. Les droites $(R T)$ et $(S U)$ sont-elles parallèles ?

Produits en croix : $O R \times O U = 1, 5 \times 6, 5 = 9, 75$ et $O S \times O T = 4 \times 2, 4 = 9, 6$ .

Ils sont différents, donc $\frac{O R}{O S} \neq \frac{O T}{O U}$ : d’après la contraposée du théorème de Thalès, $(R T)$ et $(S U)$ ne sont pas parallèles.

Attention — on ne se sert pas de $\frac{R T}{S U}$ ; on n’arrondit pas avant de comparer ; rapports égaux mais ordre différent : on ne peut pas conclure au parallélisme.

Cas 4 · Thalès dans une situation

Réflexe — je fais un schéma, je repère le point commun et les deux parallèles (souvent deux verticales), puis je rédige comme au brevet.

Exemple. Un hauban $[A C]$ part du sol en $A$ , à $7, 5$ m du pied $B$ d’un mât vertical, et s’accroche au mât en $C$ , à $10$ m de haut. Un enfant de $1, 2$ m, debout en $M$ sur $[A B]$ , touche le hauban avec sa tête. À quelle distance de $A$ est-il ?

L’enfant et le mât sont verticaux, donc parallèles. D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{1, 2}{B C}$ , soit $\frac{A M}{7, 5} = \frac{1, 2}{10}$ .

$A M = \frac{7, 5 \times 1, 2}{10} = 0, 9$ m.

Attention — même unité pour toutes les longueurs, arrondi à la fin, et une phrase de réponse.

Les pièges

Écrire $\frac{A M}{M B}$ au lieu de $\frac{A M}{A B}$ : $M B$ n’est un côté d’aucun des deux triangles.
En papillon, calculer $M B = A B - A M$ : le point $A$ est entre $M$ et $B$ , donc $M B = M A + A B$ .
Associer $[M N]$ à $[A C]$ au lieu de $[B C]$ : le côté parallèle va avec le côté parallèle.
Conclure « parallèles » sans vérifier que les points sont dans le même ordre, ou en utilisant $\frac{M N}{B C}$ .
Comparer des valeurs arrondies : $\frac{7}{12}$ et $\frac{11}{19}$ valent tous deux environ $0, 58$ , mais $7 \times 19 = 133$ et $12 \times 11 = 132$ : ils sont différents.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour utiliser le théorème de Thalès ou sa réciproque : repérer le point commun et l’ordre des points, choisir l’outil, écrire les rapports, calculer ou comparer en valeurs exactes. Un exemple corrigé par cas, jusqu’au hauban d’un mât, et les cinq pièges les plus fréquents.

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