Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Le théorème de Thalès
Configuration de Thalès, égalité des rapports, calcul de longueurs et réciproque pour prouver le parallélisme (programme de 3e)
Calculer une longueur dans une figure « en triangles emboîtés » ou « en papillon », et prouver que deux droites sont parallèles — ou qu'elles ne le sont pas.
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La configuration
- Deux droites sécantes en A, coupées par deux droites (BC) et (MN).
- Triangles emboîtés : M sur [AB], N sur [AC].
- Papillon : M sur la demi-droite opposée à [AB), N opposée à [AC) — mêmes égalités.
- Toujours commencer par identifier A, le sommet commun.
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Le théorème de Thalès
Si (MN) // (BC), alors :
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
- Numérateurs : le petit triangle (AMN). Dénominateurs : le grand (ABC).
- On part toujours de A dans chaque rapport.
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Méthode : calculer une longueur
- Citer les hypothèses : « M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC) ».
- « D'après le théorème de Thalès : » écrire l'égalité des trois rapports.
- Garder les deux rapports utiles (celui avec l'inconnue + un rapport complet).
- Produit en croix, même unité partout, puis valeur exacte avant l'arrondi.
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La réciproque : prouver un parallélisme
- Si M ∈ [AB], N ∈ [AC], les points sont dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors (MN) // (BC).
- On calcule séparément les deux rapports (fraction irréductible ou décimal exact) puis on compare.
- Rapports égaux → parallèles. Rapports différents → pas parallèles (contraposée du théorème).
- Astuce : comparer les produits en croix AM × AC et AN × AB.
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Pièges à éviter
- Mélanger petit et grand triangle dans un même rapport : $\dfrac{AM}{AB}$ et non $\dfrac{AB}{AM}$.
- Utiliser BM au lieu de AB : AB = AM + MB dans les triangles emboîtés.
- Conclure « parallèles » sans avoir vérifié l'ordre des points.
- Oublier que $\dfrac{MN}{BC}$ ne sert pas pour la réciproque.
- Arrondir trop tôt : 2,66 ≠ $\dfrac{8}{3}$ quand on compare des rapports.
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Agrandissement, réduction
- Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport $k = \dfrac{AM}{AB}$ (k < 1).
- Les longueurs sont multipliées par k, les angles conservés, les aires par $k^2$.
- Exemple : k = 0,5 → périmètre ÷ 2, aire ÷ 4.
L'essentiel
- Thalès s'applique quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes en A.
- Les trois rapports partent tous de A : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Pour une longueur : hypothèses → théorème → deux rapports → produit en croix.
- Pour prouver un parallélisme : réciproque, avec les points dans le même ordre.
- Rapports différents → les droites ne sont pas parallèles.
- Rapport k de réduction : longueurs × k, aires × k².
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