Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque

Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles ; $E$ est sur $[AB]$ et $F$ sur $[AC]$. Complète chaque égalité de Thalès par la longueur manquante (écris deux lettres, par exemple « AB »).

1. ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{AF}{\dots }}$ :
   Sur la seconde droite, $F$ (petit triangle) correspond à $C$ (grand triangle) : ${\displaystyle \frac{AF}{AC}}$.
2. ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{\dots }{BC}}$ :
   Le troisième rapport compare les côtés parallèles : ${\displaystyle \frac{EF}{BC}}$.
3. ${\displaystyle \frac{AF}{AC}}={\displaystyle \frac{\dots }{AB}}$ :
   Sur la première droite, le petit triangle donne $AE$ et le grand $AB$ : ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}$.
4. ${\displaystyle \frac{EF}{BC}}={\displaystyle \frac{AE}{\dots }}$ :
   $AE$ est au numérateur, donc au dénominateur la longueur correspondante du grand triangle : $AB$.
5. ${\displaystyle \frac{AC}{AF}}={\displaystyle \frac{\dots }{EF}}$ :
   On peut inverser les rapports, à condition de les inverser tous : grand triangle en haut, petit en bas, ${\displaystyle \frac{AC}{AF}}={\displaystyle \frac{BC}{EF}}$. Ces égalités ne valent que parce que $(EF)\parallel (BC)$.

Dans chaque cas, $M$ est sur $[AB]$, $N$ sur $[AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule la longueur demandée (en cm).

1. $AM=4,8$ ; $AB=7,2$ ; $BC=10,5$. $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $MN={\displaystyle \frac{4,8\times 10,5}{7,2}}=7$ cm.
2. $AN=3,5$ ; $AC=5,6$ ; $AB=9,6$. $AM=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : $AM={\displaystyle \frac{9,6\times 3,5}{5,6}}=6$ cm.
3. $AM=2,1$ ; $AB=5,6$ ; $MN=3,3$. $BC=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $BC={\displaystyle \frac{5,6\times 3,3}{2,1}}=8,8$ cm. Contrôle : $8,8>3,3$.
4. $MN=6,3$ ; $BC=8,4$ ; $AC=11,2$. $AN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : $AN={\displaystyle \frac{6,3\times 11,2}{8,4}}=8,4$ cm.
5. $AM=3,9$ ; $AN=3$ ; $AC=5$. $AB=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : $AB={\displaystyle \frac{3,9\times 5}{3}}=6,5$ cm.
6. $M$ est le milieu de $[AB]$ ; $BC=9,4$. $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}=9,4÷2=4,7$ cm (et $N$ est le milieu de $[AC]$).

Calculs en deux étapes : on donne parfois $MB$ au lieu de $AB$. $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$ (longueurs en cm).

1. $AM=3,6$ ; $MB=2,4$ ; $AN=4,2$. $AC=$ cm
   $AB=3,6+2,4=6$ cm, puis ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ donne $AC={\displaystyle \frac{6\times 4,2}{3,6}}=7$ cm.
2. $AM=3$ ; $MB=2$ ; $BC=9,5$. $MN=$ cm
   $AB=3+2=5$ cm, donc $MN={\displaystyle \frac{3\times 9,5}{5}}=5,7$ cm.
3. $AN=5,4$ ; $NC=1,8$ ; $AM=6$. $MB=$ cm
   $AC=5,4+1,8=7,2$ cm ; ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ donne $AB={\displaystyle \frac{6\times 7,2}{5,4}}=8$ cm, puis $MB=8-6=2$ cm.
4. $AB=12,5$ ; $BC=10$ ; $MN=7$. $MB=$ cm
   $AM={\displaystyle \frac{12,5\times 7}{10}}=8,75$ cm, donc $MB=12,5-8,75=3,75$ cm.
5. $AM=2,5$ ; $AB=4$ ; le périmètre du triangle $ABC$ vaut $14,4$ cm. Périmètre du triangle $AMN$ : cm
   Le rapport de réduction est $k={\displaystyle \frac{2,5}{4}}=0,625$ ; toutes les longueurs sont multipliées par $0,625$, le périmètre aussi : $14,4\times 0,625=9$ cm.

Sur la figure, les points $D$, $O$, $E$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $F$, $O$, $G$, et $(DF)\parallel (EG)$. Complète (une ou deux lettres, une mesure d’angle ou le nom de la configuration).

1. Le point commun aux deux droites :
   Les droites $(DE)$ et $(FG)$ se coupent en $O$ : toutes les longueurs des rapports partent de $O$.
2. Le côté du triangle $OEG$ qui correspond à $[OD]$ :
   $D$ et $E$ sont sur la même droite issue de $O$ : $[OD]$ correspond à $[OE]$.
3. Le côté du triangle $OEG$ qui correspond à $[DF]$ :
   $[DF]$ et $[EG]$ sont les côtés parallèles.
4. ${\displaystyle \frac{OD}{OE}}={\displaystyle \frac{OF}{\dots }}$ :
   Le théorème de Thalès donne ${\displaystyle \frac{OD}{OE}}={\displaystyle \frac{OF}{OG}}={\displaystyle \frac{DF}{EG}}$.
5. $ODF={52}^{\circ }$, donc $OEG=$ °
   $(DF)\parallel (EG)$ et la droite $(DE)$ les coupe : les angles $ODF$ et $OEG$ sont alternes-internes, donc égaux : ${52}^{\circ }$.
6. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$, $N$, $C$ : configuration (écris « emboîtée » ou « papillon »)
   $M$ est entre $A$ et $B$, et $N$ entre $A$ et $C$ : le triangle $AMN$ est dans le triangle $ABC$, ce sont des triangles emboîtés.

Configuration papillon : les points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $N$, $A$, $C$, et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule la longueur demandée (en cm).

1. $AM=2,4$ ; $AB=3$ ; $AC=6$. $AN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : $AN={\displaystyle \frac{2,4\times 6}{3}}=4,8$ cm.
2. Avec les mêmes longueurs et $MN=2,2$ : $BC=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $BC={\displaystyle \frac{3\times 2,2}{2,4}}=2,75$ cm.
3. $AN=4,5$ ; $AC=7,5$ ; $BC=9$. $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $MN={\displaystyle \frac{4,5\times 9}{7,5}}=5,4$ cm.
4. $AB=10$ ; $MN=3,3$ ; $BC=8,8$. $AM=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $AM={\displaystyle \frac{10\times 3,3}{8,8}}=3,75$ cm.

Configuration papillon ($M$, $A$, $B$ alignés dans cet ordre, ainsi que $N$, $A$, $C$, et $(MN)\parallel (BC)$) : longueurs à déduire et rapport (longueurs en cm).

1. $MB=9,1$ ; $AM=2,1$ ; $AN=2,4$. $NC=$ cm
   $AB=MB-AM=9,1-2,1=7$ cm. ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ donne $AC={\displaystyle \frac{7\times 2,4}{2,1}}=8$ cm. Enfin $NC=NA+AC=2,4+8=10,4$ cm.
2. $NC=14$ ; $AN=6$ ; $AM=4,5$. $MB=$ cm
   $AC=14-6=8$ cm ; $AB={\displaystyle \frac{4,5\times 8}{6}}=6$ cm ; $MB=MA+AB=4,5+6=10,5$ cm.
3. Le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ vaut $1,25$ et $BC=6,4$. $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}=1,25$ : $MN=1,25\times 6,4=8$ cm. Le rapport dépasse 1 : ici, le triangle $AMN$ est le plus grand.
4. Dans des triangles emboîtés ($M\in [AB]$), le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ est toujours plus petit que
   $M$ est sur le segment $[AB]$, donc $AM<AB$ et ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}<1$. Un rapport plus grand que 1 n’est possible qu’en papillon.

Les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre (longueurs en cm). Calcule les deux rapports (nombres décimaux), puis écris « parallèles » ou « non parallèles ».

1. $AM=4,5$ ; $AB=7,5$ ; $AN=3,6$ ; $AC=6$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   ${\displaystyle \frac{4,5}{7,5}}=0,6$ et ${\displaystyle \frac{3,6}{6}}=0,6$ : les rapports sont égaux et les points dans le même ordre ; d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $AM=2,4$ ; $AB=4$ ; $AN=3,9$ ; $AC=6$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   ${\displaystyle \frac{2,4}{4}}=0,6$ et ${\displaystyle \frac{3,9}{6}}=0,65$ : les rapports sont différents ; d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.
3. $AM=1,25$ ; $AB=2$ ; $AN=2,5$ ; $AC=4$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   ${\displaystyle \frac{1,25}{2}}=0,625$ et ${\displaystyle \frac{2,5}{4}}=0,625$ : rapports égaux, points dans le même ordre ; d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$.

Les quotients ne tombent pas juste : compare les produits en croix $AM\times AC$ et $AB\times AN$, puis conclus (« parallèles » ou « non parallèles »). Les points sont dans le même ordre ; longueurs en cm.

1. $AM=5$ ; $AB=8$ ; $AN=4$ ; $AC=6,5$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; droites
   $5\times 6,5=32,5$ et $8\times 4=32$ : les produits sont différents, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}\ne {\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ ; d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles. Les quotients $0,625$ et $0,615\dots$ sont proches, mais différents.
2. $AM=2,8$ ; $AB=4,2$ ; $AN=3,4$ ; $AC=5,1$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; droites
   $2,8\times 5,1=14,28$ et $4,2\times 3,4=14,28$ : les rapports sont égaux (tous deux valent ${\displaystyle \frac{2}{3}}$) ; d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$.
3. $AM=7$ ; $AB=9$ ; $AN=5,6$ ; $AC=7,3$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; droites
   $7\times 7,3=51,1$ et $9\times 5,6=50,4$ : produits différents, rapports différents ; d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles.

Raisonne avec la réciproque : ordre des points, longueurs à déduire (longueurs en cm).

1. Papillon ($M$, $A$, $B$ et $N$, $A$, $C$ alignés dans cet ordre) : $AM=1,8$ ; $AB=4,5$ ; $AN=2,2$. Quelle longueur $AC$ rend $(MN)$ et $(BC)$ parallèles ? $AC=$ cm
   Il faut ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,2}{AC}}={\displaystyle \frac{1,8}{4,5}}$ : $AC={\displaystyle \frac{4,5\times 2,2}{1,8}}=5,5$ cm. Les points étant dans le même ordre, la réciproque donne alors $(MN)\parallel (BC)$.
2. Papillon : $MB=7,8$ ; $AM=2,6$ ; $NC=9$ ; $AN=3$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont
   $AB=7,8-2,6=5,2$ cm et $AC=9-3=6$ cm. ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{2,6}{5,2}}=0,5$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$ : rapports égaux, même ordre ; d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$.
3. $M\in [AB]$, mais $N$ est sur la droite $(AC)$, de l’autre côté de $A$ que $C$. $AM=1,5$ ; $AB=6$ ; $AN=2$ ; $AC=8$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont
   ${\displaystyle \frac{1,5}{6}}=0,25$ et ${\displaystyle \frac{2}{8}}=0,25$, mais les points ne sont pas dans le même ordre ($A$, $M$, $B$ et $N$, $A$, $C$) : la réciproque ne s’applique pas. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ au point situé à $2$ cm de $A$, pas en $N$ : les droites ne sont pas parallèles.

Au même instant, un géomètre mesure la longueur de l’ombre de plusieurs objets verticaux ; une seule hauteur est connue. Les rayons du soleil sont parallèles : en plaçant le jalon au bout de l’ombre de chaque objet, on obtient une configuration de Thalès, donc le rapport hauteur ÷ ombre est le même pour tous les objets.

1. Rapport hauteur ÷ ombre du jalon (fraction irréductible) :
   ${\displaystyle \frac{1,25}{1,75}}={\displaystyle \frac{125}{175}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$ (on divise par $25$).
2. Hauteur du panneau : m
   $3,29\times {\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{16,45}{7}}=2,35$ m.
3. Hauteur du château d’eau : m
   $39,2\times {\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{196}{7}}=28$ m.
4. Hauteur de la borne : cm
   $91\times {\displaystyle \frac{5}{7}}=65$ cm : l’ombre est en cm, la hauteur aussi.
5. Une heure plus tard, l’ombre du jalon mesure $2,5$ m. Ombre du château d’eau : m
   Le nouveau rapport est ${\displaystyle \frac{1,25}{2,5}}=0,5$ : l’ombre vaut la hauteur divisée par $0,5$, soit $28÷0,5=56$ m.

Fais un schéma, repère le point commun et les parallèles, puis calcule.

1. Une tyrolienne est un câble tendu en ligne droite du sol, en $A$, jusqu’au sommet $C$ d’une tour verticale de $12$ m ; le pied $B$ de la tour est à $40$ m de $A$. Un pylône vertical $[MN]$ soutient le câble en $N$, avec $M$ au sol à $15$ m de $A$. Hauteur du pylône : m
   Le pylône et la tour sont verticaux, donc parallèles ; $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$. D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{MN}{12}}$ : $MN={\displaystyle \frac{15\times 12}{40}}=4,5$ m.
2. Les deux pieds d’une table à repasser se croisent en $A$. Leurs extrémités au sol, $B$ et $C$, sont à $90$ cm l’une de l’autre ; leurs extrémités hautes, $M$ et $N$, sont fixées sous la planche horizontale, avec $M$, $A$, $B$ alignés et $N$, $A$, $C$ alignés. $AM=45$ cm et $AB=75$ cm. Distance $MN$ : cm
   La planche et le sol sont horizontaux : $(MN)\parallel (BC)$. C’est une configuration papillon. D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{45}{75}}={\displaystyle \frac{MN}{90}}$ : $MN={\displaystyle \frac{45\times 90}{75}}=54$ cm.
3. Dans un sténopé (boîte noire percée d’un petit trou $A$), la lumière d’un objet vertical de $1,8$ m, placé à $5$ m du trou, forme sur le fond de la boîte, à $10$ cm du trou, une image renversée parallèle à l’objet. Hauteur de l’image : cm
   Les rayons se croisent au trou $A$ : configuration papillon. Toutes les longueurs en m : $10$ cm $=0,1$ m. D’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{\text{image}}{1,8}}={\displaystyle \frac{0,1}{5}}$, donc image $={\displaystyle \frac{1,8\times 0,1}{5}}=0,036$ m $=3,6$ cm.

Retrouver une position (même figure que l’exercice précédent, longueurs dans la même unité).

1. Sténopé : on veut l’image de $2$ cm d’une personne de $1,6$ m, avec un fond placé à $8$ cm du trou. À quelle distance du trou doit-elle se tenir ? m
   En m : $2$ cm $=0,02$ m et $8$ cm $=0,08$ m. ${\displaystyle \frac{0,02}{1,6}}={\displaystyle \frac{0,08}{d}}$, donc $d={\displaystyle \frac{1,6\times 0,08}{0,02}}=6,4$ m.
2. On fabrique une autre table à repasser, avec encore $AB=75$ cm et $BC=90$ cm, mais une planche où $MN=60$ cm. Longueur $AM$ : cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{AM}{75}}={\displaystyle \frac{60}{90}}$ : $AM={\displaystyle \frac{75\times 60}{90}}=50$ cm.
3. Longueur totale $MB$ d’un pied de cette nouvelle table : cm
   En papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ : $MB=MA+AB=50+75=125$ cm.