Information chiffrée (proportions, pourcentages, évolutions)

Proportions (rappel), pourcentage de pourcentage, variation absolue et taux d’évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives et évolution réciproque.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de pourcentages : TVA et soldes d’une enceinte portable, tableau croisé des entrées d’une piscine, flotte de vélos en libre-service sur trois ans, adhérents d’un club sportif avec une fonction Python, recettes d’un cinéma quand le prix et la fréquentation varient.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère chaque pourcentage : proportion (de quel tout ?) ou évolution (depuis quelle valeur de départ ?).
Je traduis en coefficients : « +t % » devient « × (1 + t) » et « −t % » devient « × (1 − t) », avec t écrit en décimal.
Je choisis l’opération : produit des proportions emboîtées, produit des coefficients successifs, inverse pour revenir en arrière, division pour retrouver la valeur de départ.
Je calcule sans arrondir les coefficients intermédiaires, puis j’arrondis la réponse finale à la précision demandée.
Je conclus et je contrôle : phrase avec l’unité (€, points, %), et vérification dans le sens direct.

Problème 1 · Prix hors taxes, TVA et soldes★★★Facile

Une enceinte portable coûte

75

€ hors taxes (HT). Le prix toutes taxes comprises (TTC) s’obtient en ajoutant la TVA, qui représente

20 %

du prix HT. Pendant les soldes, le magasin baisse le prix TTC de

30 %

1. Justifier que le prix TTC s’obtient en multipliant le prix HT par $1, 2$ , puis calculer le prix TTC : €
Rédaction attendue. Ajouter $20 %$ du prix HT, c’est une hausse de $20 %$ , de coefficient $1 + 0, 20 = 1, 2$ . Prix TTC : $75 \times 1, 2 = 90$ €.
2. Prix soldé TTC : €
Baisse de $30 %$ : coefficient $0, 7$ . $90 \times 0, 7 = 63$ €.
3. Prix HT correspondant au prix soldé : €
Le prix TTC est le prix HT multiplié par $1, 2$ ; on revient au HT en divisant : $\frac{63}{1, 2} = 52, 50$ €.
4. Après les soldes, le magasin augmente le prix soldé de $30 %$ . Prix obtenu : €
$63 \times 1, 3 = 81, 90$ €, et non $90$ € : $0, 7 \times 1, 3 = 0, 91$ , il reste une baisse de $9 %$ par rapport au prix TTC d’avant les soldes.
5. Hausse qui ramènerait exactement au prix TTC d’avant les soldes, arrondie au dixième : %
C’est l’évolution réciproque de la baisse de $30 %$ : $C M' = \frac{1}{0, 7} \approx 1, 428 6$ , donc une hausse d’environ $42, 9 %$ (contrôle : $63 \times \frac{1}{0, 7} = 90$ ).

Problème 2 · Fréquentation d’une piscine municipale★★★Moyen

Une piscine municipale a enregistré

4 800

entrées au mois de janvier. Le tableau répartit ces entrées selon l’âge et selon le statut d’abonné.

	Moins de 18 ans	18 ans ou plus	Total
Abonnés	$1 152$	$1 488$	$2 640$
Non-abonnés	$768$	$1 392$	$2 160$
Total	$1 920$	$2 880$	$4 800$

1. Proportion des entrées correspondant à des abonnés : %
La population de référence est l’ensemble des $4 800$ entrées : $\frac{2 640}{4 800} = 0, 55$ , soit $55 %$ .
2. Parmi les entrées des abonnés, proportion de moins de $18$ ans, arrondie au dixième : %
La référence devient les $2 640$ entrées d’abonnés : $\frac{1 152}{2 640} \approx 0, 436 4$ , soit environ $43, 6 %$ .
3. Démontrer, avec la règle du pourcentage de pourcentage, que les abonnés de moins de $18$ ans représentent % de toutes les entrées.
Rédaction attendue. Les abonnés de moins de $18$ ans forment une sous-population des abonnés, eux-mêmes sous-population de l’ensemble des entrées. Leur proportion est donc le produit $\frac{2 640}{4 800} \times \frac{1 152}{2 640} = \frac{1 152}{4 800} = 0, 24$ (le facteur $2 640$ se simplifie), soit $24 %$ des entrées. On retrouve la lecture directe du tableau : $1 152$ entrées sur $4 800$ .
4. En février, le nombre total d’entrées augmente de $6, 25 %$ et le nombre d’entrées d’abonnés de $17, 5 %$ . Nouvelle proportion d’abonnés, arrondie au dixième : %
Total : $4 800 \times 1, 062 5 = 5 100$ entrées. Abonnés : $2 640 \times 1, 175 = 3 102$ . Proportion : $\frac{3 102}{5 100} \approx 0, 608 2$ , soit environ $60, 8 %$ .
5. Taux d’évolution de la proportion d’abonnés entre janvier et février, arrondi au dixième : %
La proportion passe de $0, 55$ à $\frac{3 102}{5 100}$ : elle gagne environ $5, 8$ points. Son taux d’évolution se calcule avec la valeur non arrondie : $\frac{3 102}{5 100} \div 0, 55 \approx 1, 105 9$ , soit une hausse d’environ $10, 6 %$ . Ne pas confondre : $+ 5, 8$ points, mais $+ 10, 6 %$ .

Problème 3 · Une flotte de vélos en libre-service★★★Moyen

Une ville a mis en service

1 500

vélos en libre-service en 2022. La flotte a ensuite augmenté de

28 %

en 2023, puis de

7, 5 %

en 2024, avant de diminuer de

4 %

en 2025.

1. Nombre de vélos fin 2023 :
$1 500 \times 1, 28 = 1 920$ vélos.
2. Nombre de vélos fin 2024 :
$1 920 \times 1, 075 = 2 064$ vélos.
3. Montrer que le coefficient multiplicateur global de 2022 à 2025 vaut $1, 320 96$ , puis donner le taux d’évolution global, arrondi au dixième : %
Rédaction attendue. Les coefficients successifs sont $1, 28$ , $1, 075$ et $0, 96$ ; le coefficient global est leur produit : $1, 28 \times 1, 075 = 1, 376$ , puis $1, 376 \times 0, 96 = 1, 320 96$ . Le taux global vaut $1, 320 96 - 1 = 0, 320 96$ : la flotte a augmenté d’environ $32, 1 %$ .
4. Nombre de vélos fin 2025, arrondi à l’unité :
$1 500 \times 1, 320 96 = 1 981, 44$ (ou $2 064 \times 0, 96 = 1 981, 44$ ) : environ $1 981$ vélos.
5. Taux d’évolution à appliquer en 2026 pour revenir au nombre de vélos de 2022, arrondi au dixième : %
C’est l’évolution réciproque : $\frac{1}{1, 320 96} \approx 0, 757 0$ , donc $t' \approx - 0, 243$ : baisse d’environ $24, 3 %$ , et non de $32, 1 %$ , car la baisse porte sur une flotte plus grande.
6. Un journal écrit : « en trois ans, la flotte a augmenté de $28 + 7, 5 - 4 = 31, 5 %$ ». Écart avec le taux exact arrondi au dixième, en points :
Les taux ne portent pas sur les mêmes valeurs de départ (les $7, 5 %$ s’appliquent à la flotte de 2023) : il faut multiplier les coefficients. $32, 1 - 31, 5 = 0, 6$ point : l’addition sous-estime ici l’évolution.

Problème 4 · Les adhérents d’un club sportif★★★Difficile

Un club sportif compte

1 250

adhérents, dont

56 %

de mineurs. Parmi les mineurs,

60 %

pratiquent le handball ; parmi les majeurs,

40 %

. On donne aussi la fonction Python suivante :

def taux(vi, vf):
    t = (vf - vi) / vi * 100
    return t

1. Nombre de mineurs :
$0, 56 \times 1 250 = 700$ mineurs, donc $1 250 - 700 = 550$ majeurs.
2. Démontrer que le club compte handballeurs.
Rédaction attendue. Handballeurs mineurs : $0, 60 \times 700 = 420$ . Il y a $1 250 - 700 = 550$ majeurs, dont $0, 40 \times 550 = 220$ handballeurs. Total : $420 + 220 = 640$ handballeurs. Leur proportion, $\frac{640}{1 250} = 0, 512$ , n’est ni $60 %$ , ni $40 %$ , ni leur moyenne $50 %$ : elle dépend du poids de chaque catégorie.
3. Parmi les handballeurs, proportion de mineurs, arrondie au dixième : %
La référence devient les $640$ handballeurs : $\frac{420}{640} = 0, 656 25$ , soit environ $65, 6 %$ .
4. L’an prochain, le club prévoit $+ 14 %$ de mineurs et $- 6 %$ de majeurs. Taux d’évolution global du nombre d’adhérents : %
Mineurs : $700 \times 1, 14 = 798$ ; majeurs : $550 \times 0, 94 = 517$ ; total : $1 315$ . $t = \frac{1 315 - 1 250}{1 250} = \frac{65}{1 250} = 0, 052$ : hausse de $5, 2 %$ , et non de $14 - 6 = 8 %$ , car les deux taux ne portent pas sur le même effectif.
5. Le club comptait $1 000$ adhérents il y a cinq ans. Valeur renvoyée par l’appel taux(1000, 1250) :
$\frac{1 250 - 1 000}{1 000} \times 100 = 25$ : Python affiche 25.0, une hausse de $25 %$ en cinq ans.

Problème 5 · Les recettes d’un cinéma★★★Difficile

Entre 2024 et 2025, le prix moyen d’une place de cinéma a augmenté de

6 %

, tandis que le nombre de places vendues a diminué de

5 %

. La recette de 2025 s’élève à

302 100

€. La recette est le produit du prix moyen par le nombre de places vendues.

1. Montrer que le coefficient multiplicateur de la recette entre 2024 et 2025 vaut
Rédaction attendue. Le prix est multiplié par $1, 06$ et le nombre de places par $0, 95$ . La recette, produit des deux, est multipliée par $1, 06 \times 0, 95 = 1, 007$ : hausse de $0, 7 %$ .
2. Recette de 2024 : €
$R_{2024} \times 1, 007 = 302 100$ , donc $R_{2024} = \frac{302 100}{1, 007} = 300 000$ €.
3. En 2024, $60 000$ places ont été vendues. Prix moyen d’une place en 2025 : €
Prix moyen en 2024 : $\frac{300 000}{60 000} = 5$ €. En 2025 : $5 \times 1, 06 = 5, 30$ €.
4. En 2026, le gérant veut retrouver la recette de 2024 sans changer le prix. Taux d’évolution du nombre de places, arrondi au centième : %
C’est l’évolution réciproque de la hausse de la recette : $\frac{1}{1, 007} \approx 0, 993 05$ , soit une baisse d’environ $0, 70 %$ des places vendues (le prix ne bouge pas, donc la recette évolue comme le nombre de places).
5. Le gérant envisage plutôt $+ 3 %$ sur le prix et accepte $- 4 %$ de fréquentation. Recette de 2026 : €
Coefficient de la recette : $1, 03 \times 0, 96 = 0, 988 8$ . Recette : $302 100 \times 0, 988 8 = 298 716, 48$ €, inférieure à celle de 2025.

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