Information chiffrée (proportions, pourcentages, évolutions)

Lors d’un festival, $1040$ spectateurs ont assisté à la séance du samedi soir. Parmi eux, $468$ avaient moins de $25$ ans et $156$ bénéficiaient du tarif réduit famille. Donner chaque proportion en pourcentage.

1. Proportion de spectateurs de moins de $25$ ans : %
   La proportion est le quotient de l’effectif de la sous-population par l’effectif total : ${\displaystyle \frac{468}{1040}}=0,45$, soit $45\%$ des spectateurs.
2. Proportion de spectateurs au tarif réduit famille : %
   ${\displaystyle \frac{156}{1040}}=0,15$, soit $15\%$ des spectateurs.

Passer d’une écriture à une autre. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $0,375$ en fraction irréductible :
   $0,375={\displaystyle \frac{375}{1000}}$ ; on simplifie par $125$ : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.
2. ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$ (on multiplie numérateur et dénominateur par $5$).
3. $18\%$ de $350$ € : €
   Prendre $18\%$, c’est multiplier par $0,18$ : $0,18\times 350=63$ €.
4. Le nombre $93$ représente % du nombre $300$.
   ${\displaystyle \frac{93}{300}}=0,31$, donc $93$ représente $31\%$ de $300$.

Retrouver le tout ; reconnaître une évolution.

1. Dans une classe, $9$ élèves pratiquent la natation, soit $25\%$ de la classe. Effectif de la classe : élèves
   $0,25\times N=9$, donc $N={\displaystyle \frac{9}{0,25}}=36$ élèves (vérification : $0,25\times 36=9$).
2. Un alliage contient $12\%$ de cuivre, soit $4,8$ kg de cuivre. Masse de l’alliage : kg
   $M={\displaystyle \frac{4,8}{0,12}}=40$ kg (vérification : $0,12\times 40=4,8$).
3. Le prix d’un ticket de $15$ € a augmenté de $120\%$. Justifier que ce pourcentage décrit une évolution et non une proportion, puis donner le nouveau prix : €
   Rédaction attendue. Le pourcentage compare deux valeurs du même prix, avant et après un changement : c’est une évolution. Une proportion est la part d’un tout et ne dépasse pas $100\%$. $CM=1+1,2=2,2$, donc $15\times 2,2=33$ €.

Dans un parc, $35\%$ des arbres sont des chênes, soit $126$ arbres. Les pins représentent ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ des arbres du parc ; les autres arbres sont des tilleuls.

1. Nombre total d’arbres du parc :
   $0,35\times N=126$, donc $N={\displaystyle \frac{126}{0,35}}=360$ arbres.
2. Nombre de pins :
   ${\displaystyle \frac{2}{9}}\times 360=80$ pins.
3. Démontrer que les tilleuls représentent environ % des arbres (arrondi au dixième).
   Rédaction attendue. Le parc compte $360$ arbres, dont $126$ chênes et $80$ pins. Il y a donc $360-126-80=154$ tilleuls. Leur proportion est ${\displaystyle \frac{154}{360}}\approx 0,4278$, soit environ $42,8\%$ des arbres. Contrôle : $35\%+{\displaystyle \frac{2}{9}}\approx 35\%+22,2\%=57,2\%$ et $100-57,2=42,8$.

Une commune de $7500$ habitants a réalisé une enquête : $64\%$ des habitants sont inscrits à la ludothèque et, parmi ces inscrits, $35\%$ empruntent au moins un jeu par semaine.

1. Proportion d’habitants qui empruntent au moins un jeu par semaine : %
   La seconde proportion porte sur les inscrits, sous-population des habitants : on multiplie, $0,64\times 0,35=0,224$, soit $22,4\%$ des habitants.
2. Nombre d’habitants concernés :
   $0,224\times 7500=1680$ habitants.

Calculer chaque proportion, en pourcentage.

1. Dans une enquête, $55\%$ des personnes interrogées sont des lycéens et $36\%$ de ces lycéens pratiquent un sport en club. Proportion des personnes interrogées : %
   $0,55\times 0,36=0,198$, soit $19,8\%$ des personnes interrogées.
2. Dans une région, $20\%$ des actifs sont agriculteurs et $8\%$ des actifs sont des agriculteurs en bio. Parmi les agriculteurs, proportion en bio : %
   On connaît le produit $p\times 0,20=0,08$ ; donc $p={\displaystyle \frac{0,08}{0,20}}=0,4$, soit $40\%$ des agriculteurs.
3. La moitié de la moitié d’un groupe représente % du groupe.
   $0,5\times 0,5=0,25$, soit $25\%$ du groupe.

On a interrogé $1500$ personnes : $80\%$ ont un smartphone et, parmi elles, $45\%$ l’utilisent pour payer. Un élève affirme : « au moins $45\%$ des personnes interrogées paient avec leur smartphone. »

1. Démontrer que l’élève a tort : proportion des personnes interrogées qui paient avec leur smartphone = %
   Rédaction attendue. Les $45\%$ portent sur les propriétaires d’un smartphone, qui forment $80\%$ des personnes interrogées : c’est un pourcentage de pourcentage. La proportion cherchée est $0,80\times 0,45=0,36$, soit $36\%$. Comme $36\%<45\%$, l’affirmation est fausse : un pourcentage de pourcentage est plus petit que chacun des deux pourcentages.
2. Nombre de personnes qui paient avec leur smartphone :
   $0,36\times 1500=540$ personnes (ou $0,80\times 1500=1200$ propriétaires, puis $0,45\times 1200=540$).

Dans un pays, $52\%$ des habitants sont des femmes ; parmi elles, $30\%$ ont plus de $60$ ans ; parmi ces femmes de plus de $60$ ans, $15\%$ vivent seules.

1. Proportion des habitants qui sont des femmes de plus de $60$ ans vivant seules : %
   Trois ensembles inclus les uns dans les autres : on multiplie les trois proportions, $0,52\times 0,30\times 0,15=0,156\times 0,15=0,0234$, soit $2,34\%$ des habitants.
2. Justifier que, parmi les femmes, la proportion de celles qui ont plus de $60$ ans et vivent seules est %
   Rédaction attendue. On se place dans la population des femmes : $30\%$ ont plus de $60$ ans et, parmi elles, $15\%$ vivent seules. La proportion cherchée est $0,30\times 0,15=0,045$, soit $4,5\%$ des femmes. Contrôle : $0,045\times 0,52=0,0234$, on retrouve la proportion parmi tous les habitants.

Passer du taux au coefficient multiplicateur, et inversement.

1. Hausse de $26\%$ : $CM=$
   $CM=1+0,26=1,26$.
2. Baisse de $2,5\%$ : $CM=$
   $CM=1-0,025=0,975$.
3. $CM=0,88$ : c’est une baisse de %
   $t=CM-1=0,88-1=-0,12$ : baisse de $12\%$.
4. $CM=1,8$ : c’est une hausse de %
   $t=1,8-1=0,8$ : hausse de $80\%$.

Calculer les variations. Un taux négatif s’écrit avec le signe − (exemple : −8).

1. Le nombre d’adhérents d’une salle de sport passe de $425$ à $493$. Taux d’évolution : %
   $t={\displaystyle \frac{493-425}{425}}={\displaystyle \frac{68}{425}}=0,16$ : hausse de $16\%$.
2. Le prix d’un billet de train passe de $75$ € à $64,50$ €. Variation absolue : €
   $V_2-V_1=64,50-75=-10,50$ € : le prix a baissé de $10,50$ €.
3. Taux d’évolution du prix de ce billet : %
   $t={\displaystyle \frac{-10,50}{75}}=-0,14$ : baisse de $14\%$.

Valeur d’arrivée ou valeur de départ.

1. Un article coûte $84$ € ; son prix augmente de $5\%$. Nouveau prix : €
   $CM=1,05$ : $84\times 1,05=88,20$ €.
2. Une masse de $1260$ g diminue de $40\%$. Masse obtenue : g
   $CM=1-0,40=0,60$ : $1260\times 0,60=756$ g.
3. Après une hausse de $15\%$, le loyer d’un studio s’élève à $598$ €. Démontrer que le loyer avant la hausse était de €
   Rédaction attendue. On note $V_1$ le loyer avant la hausse. Une hausse de $15\%$ a pour coefficient multiplicateur $1,15$, donc $V_1\times 1,15=598$. On en déduit $V_1={\displaystyle \frac{598}{1,15}}=520$. Vérification : $520\times 1,15=598$. Le loyer était de $520$ € avant la hausse.
4. Après une remise de $35\%$, un vélo est affiché à $481$ €. Prix avant la remise : €
   $CM=0,65$, donc $V_1={\displaystyle \frac{481}{0,65}}=740$ € (vérification : $740\times 0,65=481$).

Dans un lycée, le taux de réussite au baccalauréat est passé de $86\%$ en 2024 à $94\%$ en 2026. Arrondir les taux au dixième.

1. Augmentation du taux de réussite, en points de pourcentage : points
   $94-86=8$ : le taux de réussite a gagné $8$ points de pourcentage (c’est sa variation absolue).
2. Taux d’évolution du taux de réussite : environ %
   $t={\displaystyle \frac{94-86}{86}}={\displaystyle \frac{8}{86}}\approx 0,0930$ : hausse d’environ $9,3\%$.
3. Le taux d’échec est passé de $14\%$ à $6\%$. Calculer son taux d’évolution (environ %), puis justifier qu’il n’est pas l’opposé du précédent.
   Rédaction attendue. $t\prime ={\displaystyle \frac{6-14}{14}}={\displaystyle \frac{-8}{14}}\approx -0,5714$, soit une baisse d’environ $57,1\%$. Les variations absolues sont opposées ($+8$ points et $-8$ points), mais chaque taux d’évolution divise par sa propre valeur de départ : $86$ dans un cas, $14$ dans l’autre. Les dénominateurs étant différents, les taux ne sont pas opposés.

Un taux négatif s’écrit avec le signe − (exemple : −8).

1. Un prix augmente de $8\%$, puis diminue de $8\%$. Coefficient global : $CM=$
   $CM=1,08\times 0,92=0,9936$.
2. Taux d’évolution global de ce prix : %
   $t=0,9936-1=-0,0064$ : baisse de $0,64\%$. La hausse et la baisse de même taux ne se compensent pas.
3. Deux baisses successives de $50\%$ : taux global %
   $CM=0,5\times 0,5=0,25$, donc $t=-0,75$ : baisse de $75\%$, et non de $100\%$.

Le chiffre d’affaires d’un magasin augmente de $12\%$ la première année, de $5\%$ la deuxième, puis diminue de $9\%$ la troisième.

1. Coefficient multiplicateur global sur les trois années (valeur exacte) :
   $1,12\times 1,05=1,176$, puis $1,176\times 0,91=1,07016$.
2. Taux d’évolution global, arrondi au dixième : %
   $t=1,07016-1=0,07016$ : hausse d’environ $7,0\%$ (et non $12+5-9=8\%$).
3. Une population de $3200$ individus subit exactement ces trois évolutions. Effectif final arrondi à l’unité :
   On applique le coefficient global sans l’arrondir : $3200\times 1,07016=3424,512$, soit environ $3425$ individus.

Un commerçant propose deux offres sur un même article. Offre A : une remise de $30\%$, puis une remise supplémentaire de $10\%$ sur le prix déjà réduit. Offre B : une remise unique de $38\%$.

1. Coefficient multiplicateur global de l’offre A :
   $C{M}_A=0,70\times 0,90=0,63$.
2. Justifier que l’offre A équivaut à une remise unique de %, puis dire quelle offre est la plus avantageuse pour le client.
   Rédaction attendue. $C{M}_A=0,63$, donc $t_A=0,63-1=-0,37$ : remise unique de $37\%$, et non de $40\%$. L’offre B a pour coefficient $1-0,38=0,62$ ; comme $0,62<0,63$, l’offre B est la plus avantageuse.
3. L’article est affiché $245$ €. Écart de prix entre les deux offres : €
   Offre A : $245\times 0,63=154,35$ €. Offre B : $245\times 0,62=151,90$ €. Écart : $154,35-151,90=2,45$ €.

Une grandeur subit une hausse de $t\%$, puis une baisse de $t\%$, avec $0<t<100$. On pose $x={\displaystyle \frac{t}{100}}$.

1. Démontrer que l’évolution globale est toujours une baisse. Coefficient global pour $t=25$ :
   Rédaction attendue. Les coefficients sont $1+x$ puis $1-x$, donc $CM=(1+x)(1-x)=1-x^2$. Comme $0<x<1$, on a $x^2>0$, donc $CM=1-x^2<1$ : l’évolution globale est toujours une baisse, de taux $-x^2$. Pour $t=25$, $x=0,25$ et $CM=1-0,0625=0,9375$.
2. Taux d’évolution global pour $t=25$ : %
   $t_{\text{global}}=0,9375-1=-0,0625$ : baisse de $6,25\%$.
3. Plus petite valeur entière de $t$ pour laquelle la baisse globale dépasse $5\%$ :
   La baisse vaut $x^2$ ; on cherche le plus petit entier $t$ tel que $x^2>0,05$. Pour $t=22$ : $0,{22}^2=0,0484$, soit $4,84\%$, insuffisant. Pour $t=23$ : $0,{23}^2=0,0529$, soit $5,29\%$. Comme $x^2$ augmente avec $x$ positif, la plus petite valeur est $t=23$.

Donner le taux qui ramène exactement à la valeur de départ.

1. Un prix a augmenté de $28\%$. Il faut une baisse de %
   $CM=1,28$ ; $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{1,28}}=0,78125$, donc $t\prime =0,78125-1=-0,21875$ : baisse de $21,875\%$.
2. Un effectif a diminué de $75\%$. Il faut une hausse de %
   $CM=0,25$ ; $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,25}}=4$, donc $t\prime =4-1=3$ : hausse de $300\%$ (il faut quadrupler).

Arrondir au dixième.

1. Un effectif a diminué de $45\%$. Il faut une hausse d’environ %
   $CM=0,55$ ; $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,55}}\approx 1,8182$, donc $t\prime \approx 0,8182$ : hausse d’environ $81,8\%$.
2. Le nombre d’abonnés d’une chaîne vidéo a augmenté de $220\%$. Pour revenir au départ, il faudrait une baisse d’environ %
   $CM=1+2,2=3,2$ ; $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{3,2}}=0,3125$, donc $t\prime =-0,6875$ : baisse d’environ $68,8\%$ (exactement $68,75\%$).

Le tarif d’une mutuelle augmente de $2\%$ la première année, puis de $5\%$ la deuxième. Arrondir au centième.

1. Coefficient global sur les deux ans :
   $1,02\times 1,05=1,071$.
2. Taux de baisse qui ramènerait au tarif de départ : environ %
   $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{1,071}}\approx 0,9337$, donc $t\prime \approx -0,0663$ : baisse d’environ $6,63\%$.

On étudie la réciproque d’une hausse de taux $t$, avec $t>0$ écrit en décimal.

1. Démontrer que le taux réciproque vaut $t\prime ={\displaystyle \frac{-t}{1+t}}$, puis en déduire, pour une hausse de $15\%$, la baisse réciproque, arrondie au centième : %
   Rédaction attendue. La hausse a pour coefficient $1+t$. La réciproque a pour coefficient ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$, donc $t\prime ={\displaystyle \frac{1}{1+t}}-1={\displaystyle \frac{1-(1+t)}{1+t}}={\displaystyle \frac{-t}{1+t}}$. Pour $t=0,15$ : $t\prime ={\displaystyle \frac{-0,15}{1,15}}\approx -0,1304$, soit une baisse d’environ $13,04\%$.
2. Justifier que cette baisse est toujours plus faible que la hausse. Pour une hausse de $700\%$, la baisse réciproque vaut %
   Rédaction attendue. Comme $t>0$, on a $1+t>1$, donc ${\displaystyle \frac{t}{1+t}}<t$ : la baisse réciproque, de taux ${\displaystyle \frac{t}{1+t}}$, est toujours plus faible que la hausse $t$. Pour $t=7$ : ${\displaystyle \frac{7}{8}}=0,875$, soit une baisse de $87,5\%$ ; multiplier par $8$ se compense en multipliant par ${\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$.