Information chiffrée (proportions, pourcentages, évolutions)

Proportions (rappel), pourcentage de pourcentage, variation absolue et taux d’évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives et évolution réciproque.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur l’information chiffrée suit cinq parties : proportions (calculer une part, une partie ou le tout), pourcentage de pourcentage, variation absolue, taux d’évolution et coefficient multiplicateur avec les points de pourcentage, évolutions successives, évolution réciproque. Chaque partie a ses exemples rédigés, un réflexe et le piège à éviter.

Proportions : calculer, appliquer, retrouver le tout

Ce qu’il faut savoir

Proportion (rappel du collège). Dans une population de $N$ individus, une sous-population de $n$ individus représente la proportion $p = \frac{n}{N}$ . C’est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui s’écrit sous trois formes : décimale, fractionnaire ou en pourcentage. Par exemple $0, 4 = \frac{2}{5} = 40 %$ .

Les trois calculs (automatismes de 2nde) :
• la proportion : $p = \frac{partie}{tout}$ ;
• la partie, connaissant le tout : $partie = p \times tout$ (prendre $t %$ , c’est multiplier par $\frac{t}{100}$ ) ;
• le tout, connaissant la partie : $tout = \frac{partie}{p}$ .

Proportion ou évolution ? Un pourcentage peut décrire une proportion (la part d’un tout, à un même moment : « 40 % des élèves ») ou une évolution (un changement entre deux valeurs : « le prix a augmenté de 40 % »). Une proportion ne dépasse jamais $100 %$ ; une évolution, si.

Exemples

Calculer une proportion. Un lycée compte $840$ élèves, dont $336$ demi-pensionnaires : $p = \frac{336}{840} = 0, 4 = \frac{2}{5}$ , soit $40 %$ de demi-pensionnaires.

Calculer une partie. $35 %$ de $260$ € : $0, 35 \times 260 = 91$ €.

Retrouver le tout. Dans une chorale, les $18$ ténors représentent $15 %$ des choristes. Si $N$ est le nombre de choristes, $0, 15 \times N = 18$ , donc $N = \frac{18}{0, 15} = 120$ . La chorale compte $120$ choristes (vérification : $0, 15 \times 120 = 18$ ).

Réflexe — Avant tout calcul, je repère le tout (la population de référence, souvent après « parmi » ou « des ») : il va au dénominateur. Puis je choisis le calcul : proportion, partie ou tout.

Attention — Une proportion supérieure à $1$ (ou à $100 %$ ) signale une erreur : on a sans doute divisé le tout par la partie. Et pour retrouver le tout, on divise la partie par la proportion : $18 \times 0, 15$ n’a pas de sens ici.

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Pourcentage de pourcentage

Ce qu’il faut savoir

Pourcentage de pourcentage. On considère trois ensembles inclus les uns dans les autres : $B \subset A \subset E$ . Si $A$ représente la proportion $q$ de $E$ , et si $B$ représente la proportion $p$ de $A$ , alors $B$ représente la proportion $p \times q$ de $E$ .

Pourquoi on multiplie. Avec les effectifs $n_{B}$ , $n_{A}$ et $n_{E}$ : $\frac{n_{B}}{n_{E}} = \frac{n_{B}}{n_{A}} \times \frac{n_{A}}{n_{E}} = p \times q$ , car $n_{A}$ se simplifie.

Conséquences. Comme $p$ et $q$ sont compris entre $0$ et $1$ , le produit $p \times q$ est plus petit que chacun d’eux (ou égal). Si l’on connaît $p \times q$ et $q$ , on retrouve $p$ par division : $p = \frac{p \times q}{q}$ .

Exemples

Composer deux proportions. Dans une ville, $60 %$ des habitants possèdent un vélo et, parmi ces propriétaires, $15 %$ l’utilisent tous les jours. Ici $E$ = les habitants, $A$ = les propriétaires d’un vélo, $B$ = ceux qui roulent chaque jour. La proportion d’habitants qui utilisent un vélo tous les jours est $0, 60 \times 0, 15 = 0, 09$ , soit $9 %$ des habitants.

Revenir à un effectif. Si la ville compte $12 500$ habitants, cela représente $0, 09 \times 12 500 = 1 125$ personnes.

Retrouver une proportion « parmi ». Dans une entreprise de transport, $40 %$ des employés sont chauffeurs et $6 %$ des employés sont des chauffeurs de nuit. Parmi les chauffeurs, la proportion de chauffeurs de nuit est $p = \frac{0, 06}{0, 40} = 0, 15$ , soit $15 %$ (contrôle : $0, 15 \times 0, 40 = 0, 06$ ).

Réflexe — Pour chaque pourcentage, je me demande « pourcentage de quoi ? ». Si le second porte sur la sous-population décrite par le premier (« parmi eux », « parmi ces… »), je multiplie les deux proportions écrites en décimal, puis je reconvertis en pourcentage.

Attention — On n’additionne pas deux pourcentages qui n’ont pas la même population de référence : « $60 % + 15 %$ » n’a aucun sens ici. Et le résultat $p \times q$ ne peut pas dépasser le plus petit des deux pourcentages.

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Variation absolue, taux d’évolution et coefficient multiplicateur

Ce qu’il faut savoir

Une grandeur passe d’une valeur $V_{1} > 0$ (valeur de départ) à une valeur $V_{2}$ (valeur d’arrivée).

Variation absolue (variation additive) : $V_{2} - V_{1}$ . Elle s’exprime dans l’unité de la grandeur (€, habitants…).

Coefficient multiplicateur (variation multiplicative) : $C M = \frac{V_{2}}{V_{1}}$ , c’est-à-dire le nombre tel que $V_{2} = C M \times V_{1}$ .

Variation relative ou taux d’évolution : $t = \frac{V_{2} - V_{1}}{V_{1}}$ . Sans unité, il s’écrit souvent en pourcentage ; il est positif pour une hausse, négatif pour une baisse. Il permet de comparer des grandeurs de tailles différentes.

Lien entre les deux : $C M = 1 + t$ et $t = C M - 1$ . Augmenter de $t %$ , c’est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t %$ , c’est multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . $C M > 1$ : hausse ; $C M < 1$ : baisse ; $C M = 1$ : aucune évolution. Comme $V_{1} > 0$ et $V_{2} ⩾ 0$ , $C M ⩾ 0$ : une baisse ne dépasse jamais $100 %$ .

Retrouver la valeur de départ : de $V_{2} = C M \times V_{1}$ , on tire $V_{1} = \frac{V_{2}}{C M}$ .

Points de pourcentage. Si la grandeur est elle-même un pourcentage, sa variation absolue se dit en points (de pourcentage), et son taux d’évolution en pourcentage.

Exemples

Démonstration du lien $C M = 1 + t$ . $t = \frac{V_{2} - V_{1}}{V_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{V_{1}}{V_{1}} = C M - 1$ , donc $C M = 1 + t$ .

Les trois variations. Un abonnement passe de $24$ € à $27$ €. Variation absolue : $27 - 24 = 3$ €. Coefficient multiplicateur : $C M = \frac{27}{24} = 1, 125$ . Taux d’évolution : $t = \frac{3}{24} = 0, 125$ , soit une hausse de $12, 5 %$ ; on retrouve bien $C M = 1 + 0, 125$ .

Évolution	Taux $t$	Coefficient $C M$
hausse de $12, 5 %$	$0, 125$	$1, 125$
baisse de $8 %$	$- 0, 08$	$0, 92$
hausse de $100 %$	$1$	$2$
baisse de $75 %$	$- 0, 75$	$0, 25$

Taux rédigé. La population d’un village passe de $1 480$ à $1 628$ habitants : $t = \frac{1 628 - 1 480}{1 480} = \frac{148}{1 480} = 0, 1$ . La population a augmenté de $10 %$ .

Valeur de départ. Après une hausse de $3, 5 %$ , une cotisation annuelle coûte $621$ €. $C M = 1, 035$ , donc $V_{1} = \frac{621}{1, 035} = 600$ : elle coûtait $600$ € (vérification : $600 \times 1, 035 = 621$ ).

Points et pourcentage. Une part de marché passe de $14 %$ à $17 %$ : elle gagne $17 - 14 = 3$ points de pourcentage, et son taux d’évolution vaut $\frac{3}{14} \approx 0, 214$ , soit environ $+ 21, 4 %$ .

Réflexe — J’identifie $V_{1}$ (la valeur de départ) et $V_{2}$ . Je traduis tout de suite chaque taux en coefficient : « $+ t %$ » devient « $\times (1 + \frac{t}{100})$ ». Pour un taux, je divise la variation par $V_{1}$ , puis je conclus par une phrase (hausse ou baisse de … %).

Attention — On divise toujours par la valeur de départ, jamais par la valeur d’arrivée. $C M = 1, 3$ signifie une hausse de $30 %$ , pas de $130 %$ ; $C M = 0, 92$ signifie une baisse de $8 %$ , pas de $92 %$ . Et « $+ 3$ points » n’est pas « $+ 3 %$ ».

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Évolutions successives

Ce qu’il faut savoir

Évolutions successives. Si une grandeur subit une évolution de coefficient $C M_{1}$ , puis une évolution de coefficient $C M_{2}$ , le coefficient multiplicateur global est le produit $C M = C M_{1} \times C M_{2}$ . Cela reste vrai pour trois évolutions ou plus.

Pourquoi. $V_{2} = C M_{1} \times V_{1}$ et $V_{3} = C M_{2} \times V_{2}$ , donc $V_{3} = C M_{2} \times C M_{1} \times V_{1}$ .

Taux global : $t = C M - 1$ . Les taux successifs ne s’additionnent pas ; les coefficients se multiplient. L’ordre des évolutions ne change pas le résultat, car un produit ne dépend pas de l’ordre des facteurs.

Exemples

Hausse puis baisse. Une hausse de $4 %$ suivie d’une baisse de $3 %$ : $C M = 1, 04 \times 0, 97 = 1, 008 8$ , et $t = 1, 008 8 - 1 = 0, 008 8$ . C’est une hausse globale de $0, 88 %$ , et non de $1 %$ .

Deux remises. Un article subit une remise de $20 %$ , puis une seconde remise de $15 %$ sur le prix déjà réduit : $C M = 0, 80 \times 0, 85 = 0, 68$ et $t = 0, 68 - 1 = - 0, 32$ . La remise globale est de $32 %$ , et non de $35 %$ .

Deux hausses de même taux. Deux hausses de $10 %$ : $1, 1 \times 1, 1 = 1, 21$ , soit $+ 21 %$ et non $+ 20 %$ : la seconde hausse s’applique à une valeur déjà augmentée.

Réflexe — Je traduis chaque taux en coefficient $1 + t$ , je multiplie tous les coefficients, je retranche $1$ pour obtenir le taux global. Je garde toutes les décimales du produit et je n’arrondis qu’à la fin.

Attention — Une baisse de $40 %$ suivie d’une hausse de $40 %$ ne ramène pas à la valeur de départ : $0, 6 \times 1, 4 = 0, 84$ , il reste une baisse de $16 %$ .

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Évolution réciproque

Ce qu’il faut savoir

Évolution réciproque. L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient $C M$ est celle qui ramène la valeur d’arrivée $V_{2}$ à la valeur de départ $V_{1}$ . Son coefficient est l’inverse : $C M' = \frac{1}{C M}$ , et son taux est $t' = \frac{1}{C M} - 1$ .

Pourquoi. $V_{2} = C M \times V_{1}$ donne $V_{1} = \frac{1}{C M} \times V_{2}$ : on passe de $V_{2}$ à $V_{1}$ en multipliant par $\frac{1}{C M}$ .

La réciproque d’une hausse est une baisse, et la réciproque d’une baisse est une hausse, mais pas du même taux.

Exemples

Le cas classique. Après une hausse de $25 %$ , $C M = 1, 25$ et $C M' = \frac{1}{1, 25} = 0, 8$ : une baisse de $20 %$ suffit pour revenir au départ, pas de $25 %$ .

Réciproque d’une hausse. Après une hausse de $400 %$ , $C M = 1 + 4 = 5$ ; l’évolution réciproque a pour coefficient $\frac{1}{5} = 0, 2$ , soit $t' = 0, 2 - 1 = - 0, 8$ : une baisse de $80 %$ . Une hausse de $400 %$ s’annule par une baisse de $80 %$ , pas de $400 %$ (une baisse ne dépasse jamais $100 %$ ).

Réciproque d’une baisse. Après une baisse de $90 %$ , $C M = 0, 1$ ; la réciproque a pour coefficient $\frac{1}{0, 1} = 10$ , soit $t' = 10 - 1 = 9$ : il faut une hausse de $900 %$ pour revenir au départ.

Après plusieurs évolutions. Un tarif est multiplié par $1, 04$ , puis par $0, 95$ . Coefficient global : $1, 04 \times 0, 95 = 0, 988$ . Réciproque : $\frac{1}{0, 988} \approx 1, 012 1$ , soit une hausse d’environ $1, 21 %$ pour retrouver le tarif initial.

Réflexe — « Quel taux pour revenir à la valeur de départ ? » : je calcule le coefficient (global s’il y a plusieurs évolutions), je prends son inverse, puis je retranche $1$ .

Attention — La réciproque d’une hausse de $t %$ n’est pas une baisse de $t %$ : elle est toujours plus faible, car la baisse s’applique à une valeur plus grande. De même, la réciproque d’une baisse est une hausse plus forte.

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Pour aller plus loin

Fréquences et tableaux croisés. En statistique, une proportion calculée sur une série s’appelle une fréquence ; la somme des fréquences d’une répartition vaut $1$ . Les fréquences d’une série sont étudiées dans le chapitre Statistiques descriptives, et les tableaux croisés, avec les fréquences conditionnelles (« parmi les… »), dans Croisement de deux variables qualitatives.

Arbres pondérés. Le produit de deux proportions emboîtées se retrouve dans les arbres de probabilités : chapitre Probabilités.

En 1re. Dans l’enseignement de maths commun (sans spécialité), le taux d’évolution moyen et les indices base 100 prolongent ce chapitre ; en spécialité comme en tronc commun, une évolution de même taux répétée conduit aux suites géométriques.

À retenir

Proportion $= \frac{partie}{tout}$ , entre $0$ et $1$ ; partie $= p \times$ tout ; tout $= \frac{partie}{p}$ .
Pourcentage de pourcentage ( $B \subset A \subset E$ ) : on multiplie les proportions, on ne les additionne pas.
De $V_{1}$ à $V_{2}$ : variation absolue $V_{2} - V_{1}$ ; $C M = \frac{V_{2}}{V_{1}}$ ; taux $t = \frac{V_{2} - V_{1}}{V_{1}}$ ; $C M = 1 + t$ .
Évolutions successives : $C M = C M_{1} \times C M_{2}$ , puis $t = C M - 1$ .
Évolution réciproque : $C M' = \frac{1}{C M}$ , puis $t' = C M' - 1$ .
Écart entre deux pourcentages : en points ; taux d’évolution d’un pourcentage : en %.

Questions fréquentes

Comment retrouver le tout connaissant une partie et un pourcentage ?

On divise la partie par la proportion écrite en décimal : si 18 personnes représentent 15 % d’un groupe, le groupe compte 18 ÷ 0,15 = 120 personnes. On vérifie en calculant 0,15 × 120 = 18.

Comment calculer un pourcentage de pourcentage ?

Quand le second pourcentage porte sur la sous-population décrite par le premier (« parmi eux »), on multiplie les deux proportions écrites en décimal : 60 % des habitants, puis 15 % d’entre eux, donnent 0,60 × 0,15 = 0,09, soit 9 % des habitants. On ne les additionne jamais.

Quelle est la différence entre variation absolue et taux d’évolution ?

La variation absolue V₂ − V₁ s’exprime dans l’unité de la grandeur (€, habitants). Le taux d’évolution (V₂ − V₁) ÷ V₁ est sans unité et s’écrit en pourcentage ; il est lié au coefficient multiplicateur par CM = 1 + t. Pour un pourcentage qui évolue, la variation absolue se dit en points.

Comment calculer le taux global de plusieurs évolutions successives ?

On traduit chaque taux en coefficient multiplicateur (1 + t), on multiplie tous les coefficients, puis on retranche 1. Deux hausses de 10 % donnent 1,1 × 1,1 = 1,21, soit +21 % et non +20 %.

Comment calculer un taux d’évolution réciproque ?

On prend l’inverse du coefficient multiplicateur, puis on retranche 1. Après une hausse de 100 %, le coefficient vaut 2 et son inverse 0,5 : il faut une baisse de 50 % pour revenir à la valeur de départ, pas de 100 %.

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