À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Information chiffrée (proportions, pourcentages, évolutions) » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Proportion d'une sous-population, Pourcentage d'un nombre, Taux d'évolution, Coefficient multiplicateur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Proportion d'une sous-population
2 · Pourcentage d'un nombre
3 · Taux d'évolution
4 · Coefficient multiplicateur
5 · Évolutions successives
6 · Évolution réciproque
7 · Évolutions et graphiques
1Proportion d'une sous-population
Dans une population totale de n individus, une sous-population en contient p. La proportion (ou fréquence relative) de cette sous-population est :
Définition. La proportion de la sous-population dans la population est le réel :
$f = p / n$
où p est l'effectif de la sous-population et n l'effectif total. On a toujours 0 ≤ f ≤ 1.
Exemple. Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. La proportion de filles est f = 18/30 = 0,6, soit 60 %.
Astuce. Pour exprimer une proportion en pourcentage, on multiplie f par 100. Ici 0,6 × 100 = 60 %.
Effectif d'une sous-population : si on connaît la proportion f et l'effectif total n, l'effectif de la sous-population est p = f × n.
Exemple. Un lycée compte 850 élèves. 42 % pratiquent un sport en club. Effectif de sportifs = 0,42 × 850 = 357 élèves.
2Pourcentage d'un nombre
Calculer t % d'un nombre n signifie calculer $t/100 \times n$.
Règle. Prendre t % d'une valeur n revient à multiplier cette valeur par t/100 :
$t % de n = (t/100) \times n$
Exemple 1. 15 % de 240 = (15/100) × 240 = 0,15 × 240 = 36.
Exemple 2. Un article coûte 80 €. On applique une remise de 25 %. Remise = 0,25 × 80 = 20 €. Prix final = 80 − 20 = 60 €.
Attention ! « 10 % de réduction puis 10 % d'augmentation » ne revient pas à 0 % d'évolution globale. Les pourcentages s'appliquent à des bases différentes.
| Opération | Formule |
|---|
| t % de n | (t/100) × n |
| Proportion p dans n | p/n (× 100 pour %) |
| Valeur initiale depuis valeur finale | Valeur finale ÷ (1 + t/100) |
3Taux d'évolution
Quand une grandeur passe de la valeur Vi (initiale) à la valeur Vf (finale), le taux d'évolution mesure la variation relative :
Définition. Le taux d'évolution (ou taux de variation) est :
$t = (V_{f} - V_{i}) / V_{i}$
On l'exprime souvent en pourcentage : $t% = t \times 100$.
• Si t > 0 : augmentation. • Si t < 0 : diminution.
Exemple 1. Le prix d'un article passe de 50 € à 65 €.
t = (65 − 50) / 50 = 15/50 = 0,30 → augmentation de 30 %.
Exemple 2. L'effectif d'une association passe de 200 à 170.
t = (170 − 200) / 200 = −30/200 = −0,15 → diminution de 15 %.
Méthode : retrouver la valeur initiale. Si Vf et t sont connus :
$V_{i} = V_{f} / (1 + t)$
Exemple : un article vaut 84 € après une hausse de 5 %. Prix initial = 84 / 1,05 = 80 €.
4Coefficient multiplicateur
Plutôt que d'ajouter ou soustraire un pourcentage, on peut multiplier la valeur initiale par un coefficient.
Définition. Le coefficient multiplicateur (CM) associé à un taux d'évolution t est :
$CM = 1 + t$ (t étant exprimé en nombre décimal).
On a : Vf = CM × Vi.
| Évolution | Taux t | CM = 1 + t |
|---|
| Hausse de 20 % | +0,20 | 1,20 |
| Baisse de 15 % | −0,15 | 0,85 |
| Hausse de 3,5 % | +0,035 | 1,035 |
| Baisse de 100 % | −1 | 0 |
Exemple. Un loyer de 750 € augmente de 3 %. CM = 1,03. Nouveau loyer = 1,03 × 750 = 772,50 €.
Retrouver le taux depuis le CM. t = CM − 1 (exprimer en % en multipliant par 100).
Exemple : CM = 0,72 → t = 0,72 − 1 = −0,28 → baisse de 28 %.
Attention ! Ne pas confondre « baisser de 20 % » (CM = 0,80) et « passer à 20 % de sa valeur » (CM = 0,20). Ce sont deux situations très différentes.
5Évolutions successives
Quand une grandeur subit plusieurs évolutions consécutives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Propriété. Si une grandeur subit successivement des évolutions de CM1, CM2, …, CMn, alors :
$CM_{global} = CM_{1} \times CM_{2} \times … \times CM_{n}$
Le taux global est : $t_{global} = CM_{global} - 1$.
Exemple. Un produit augmente de 10 % en janvier, puis baisse de 10 % en février.
CM1 = 1,10 ; CM2 = 0,90.
CMglobal = 1,10 × 0,90 = 0,99.
tglobal = 0,99 − 1 = −0,01 → baisse globale de 1 % (et non de 0 %).
Piège classique. +20 % puis −20 % ≠ 0 %. CM = 1,20 × 0,80 = 0,96 → baisse de 4 % au total.
Méthode.
1. Convertir chaque taux en CM (1 + t).
2. Multiplier tous les CM entre eux.
3. Le résultat moins 1 donne le taux global.
6Évolution réciproque
L'évolution réciproque (ou évolution inverse) est celle qui permet de revenir à la valeur initiale après une évolution donnée.
Propriété. Si une grandeur a subi une évolution de coefficient multiplicateur CM, l'évolution réciproque a pour coefficient multiplicateur :
$CM' = 1 / CM$
Le taux de l'évolution réciproque est $t' = (1/CM) - 1$.
Exemple 1. Un article a subi une hausse de 25 % (CM = 1,25). Pour retrouver le prix initial, le taux de réduction à appliquer est :
CM' = 1/1,25 = 0,8 → t' = −0,2 → il faut baisser de 20 % (et non de 25 %).
Exemple 2. Un vêtement est soldé à −30 % (CM = 0,70). Prix soldé = 63 €. Prix initial = 63 / 0,70 = 90 €. On peut aussi dire CM' = 1/0,70 ≈ 1,4286, soit une hausse d'environ 42,86 %.
Attention ! Pour annuler une hausse de t %, il faut appliquer une baisse de t/(1+t) × 100 %, pas de t %. La baisse est toujours inférieure à la hausse qu'elle compense.
7Évolutions et graphiques
L'information chiffrée se lit aussi sur des graphiques (courbes, histogrammes, diagrammes circulaires). Il faut savoir les interpréter avec précision.
Lecture d'un graphique.
• Identifier les axes et leurs unités.
• Lire les valeurs précises aux points clés.
• Calculer le taux d'évolution entre deux dates : t = (Vf − Vi) / Vi.
Diagramme circulaire. Chaque secteur représente une proportion f de l'ensemble. L'angle du secteur = f × 360°.
Exemple. Dans un diagramme circulaire, la catégorie A représente 45 % du total. L'angle de son secteur = 0,45 × 360 = 162°.
Pour comparer des évolutions, on peut également utiliser des indices : on choisit une année de référence (base 100) et on calcule l'indice des autres années.
Indice. Si V0 est la valeur de référence (base 100), l'indice d'une valeur V est :
$I = (V / V_{0}) \times 100$
Exemple. Ventes en 2020 : 500 unités (base 100). Ventes en 2024 : 650 unités. Indice 2024 = (650/500) × 100 = 130 → hausse de 30 % par rapport à 2020.
★À retenir
En bref :
• Proportion : f = p/n (entre 0 et 1 ; multiplier par 100 pour avoir le %).
• Taux d'évolution : t = (Vf − Vi) / Vi (positif = hausse, négatif = baisse).
• Coefficient multiplicateur : CM = 1 + t. On a Vf = CM × Vi.
• Évolutions successives : CMglobal = CM1 × CM2 × … ; tglobal = CMglobal − 1.
• Évolution réciproque : CM' = 1/CM ; t' = 1/CM − 1.
• Piège : +t % puis −t % ≠ 0 % d'évolution globale.