Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions racine carrée et cube » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Fonctions racine carrée et cube » du programme officiel de mathématiques en seconde.

Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Fonctions racine carrée et cube » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

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Devoir surveillé – Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Racine carrée : images et équations

(4 pts)

a)Calculer $\sqrt{144}$ en justifiant.
b)Déterminer l'antécédent de $1, 9$ par la fonction racine carrée.
c)Résoudre l'équation $\sqrt{x} = - 7$ .
d)Résoudre l'équation $\sqrt{x} + 2 = 7, 3$ .

Exercice 2 – Fonction cube : calculs et imparité

(4 pts)

a)Calculer $(- 0, 9)^{3}$ .
b)Résoudre l'équation $x^{3} = 3 375$ .
c)Résoudre l'équation $2 x^{3} + 5 = 2 667$ .
d)Sachant que $3, 4^{3} = 39, 304$ , donner $(- 3, 4)^{3}$ en justifiant.

Exercice 3 – Comparer sans calculatrice

(4 pts)

a)Comparer $\sqrt{23, 5}$ et $\sqrt{23, 8}$ .
b)Comparer $(- 1, 7)^{3}$ et $(- 1, 75)^{3}$ .
c)Ranger dans l'ordre croissant : $0, 83$ ; $0, 83^{2}$ ; $0, 83^{3}$ ; $\sqrt{0, 83}$ .
d)Ranger dans l'ordre croissant : $2, 6$ ; $2, 6^{2}$ ; $2, 6^{3}$ ; $\sqrt{2, 6}$ .

Exercice 4 – Inéquations et encadrements

(4 pts)

a)Résoudre $\sqrt{x} \geq 2, 5$ .
b)Résoudre $\sqrt{x} < 0, 7$ .
c)Résoudre $x^{3} \leq 42, 875$ .
d)On sait que $- 1, 3 \leq x \leq 1, 6$ . Encadrer $x^{3}$ .

Exercice 5 – Positions relatives et raisonnement

(4 pts)

a)Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{3} - x^{2} = x^{2} (x - 1)$ .
b)En déduire, selon $x \geq 0$ , la position relative des courbes d'équations $y = x^{3}$ et $y = x^{2}$ .
c)Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $x^{3} \leq x^{2}$ .
d)Un élève écrit : « $\sqrt{x} \geq 3$ donc $x \geq \sqrt{3}$ ». Expliquer son erreur et donner l'ensemble des solutions correct.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Racine carrée : images et équations

(4 pts)

a) $12 \geq 0$ et $12^{2} = 144$ , donc $\sqrt{144} = 12$ . (1)
b) $\sqrt{x} = 1, 9 ⟺ x = 1, 9^{2} = 3, 61$ (car $1, 9 \geq 0$ ). (1)
c)Une racine carrée est positive ou nulle : $S = \emptyset$ . (1)
d) $\sqrt{x} = 5, 3 ⟺ x = 5, 3^{2} = 28, 09$ ; $S = {28, 09}$ . (1)

Erreur fréquente — Élever au carré sans regarder le signe du second membre : $\sqrt{x} = k$ n'a aucune solution si $k < 0$ .

Exercice 2 – Fonction cube : calculs et imparité

(4 pts)

a) $(- 0, 9)^{3} = 0, 81 \times (- 0, 9) = - 0, 729$ . (1)
b) $15^{3} = 225 \times 15 = 3 375$ et la solution est unique (cube strictement croissant) : $S = {15}$ . (1)
c) $2 x^{3} = 2 662 ⟺ x^{3} = 1 331 = 11^{3}$ , donc $S = {11}$ . (1)
d)La fonction cube est impaire : $(- 3, 4)^{3} = - 3, 4^{3} = - 39, 304$ . (1)

À retenir — L'équation $x^{3} = k$ a toujours exactement une solution, de même signe que $k$ : jamais de « ± ».

Exercice 3 – Comparer sans calculatrice

(4 pts)

a) $0 \leq 23, 5 < 23, 8$ et la racine carrée est croissante : $\sqrt{23, 5} < \sqrt{23, 8}$ . (1)
b) $- 1, 75 < - 1, 7$ et le cube est croissant sur $ℝ$ : $(- 1, 75)^{3} < (- 1, 7)^{3}$ . (1)
c) $0, 83 \in] 0; 1 [$ : $0, 83^{3} < 0, 83^{2} < 0, 83 < \sqrt{0, 83}$ . (1)
d) $2, 6 > 1$ : $\sqrt{2, 6} < 2, 6 < 2, 6^{2} < 2, 6^{3}$ . (1)

Repère — Le nombre 1 est la charnière : l'ordre entre $\sqrt{x}$ , $x$ , $x^{2}$ et $x^{3}$ s'inverse de part et d'autre de 1.

Exercice 4 – Inéquations et encadrements

(4 pts)

a) $2, 5^{2} = 6, 25$ et la racine carrée est croissante : $S = [6, 25; + \infty [$ . (1)
b) $0, 7^{2} = 0, 49$ , avec $x \geq 0$ : $S = [0; 0, 49 [$ . (1)
c) $3, 5^{3} = 42, 875$ et le cube est croissant sur $ℝ$ : $S =] - \infty; 3, 5]$ . (1)
d)Cube croissant : $(- 1, 3)^{3} \leq x^{3} \leq 1, 6^{3}$ , soit $- 2, 197 \leq x^{3} \leq 4, 096$ . (1)

Le point clé — Une fonction croissante conserve l'ordre ; pour la racine carrée, l'ensemble des solutions commence toujours à 0.

Exercice 5 – Positions relatives et raisonnement

(4 pts)

a) $x^{2} (x - 1) = x^{3} - x^{2}$ en développant. (1)
b) $x^{2} \geq 0$ : la différence a le signe de $x - 1$ . Sur $[0; 1]$ , $y = x^{3}$ est sous $y = x^{2}$ ; sur $[1; + \infty [$ , elle est au-dessus. (1)
c) $x^{2} (x - 1) \leq 0 ⟺ x = 0$ ou $x \leq 1$ ; avec $x \geq 0$ : $S = [0; 1]$ . (1)
d)Il faut élever au carré, pas prendre la racine : $\sqrt{x} \geq 3 ⟺ x \geq 9$ , $S = [9; + \infty [$ . (1)

Attention — Pour se débarrasser d'une racine carrée, on élève au carré les deux membres positifs, on ne reprend jamais la racine du second membre.

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonctions racine carrée et cube » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Racine carrée : images et équations/ 4 pts
Exercice 2 — Fonction cube : calculs et imparité/ 4 pts
Exercice 3 — Comparer sans calculatrice/ 4 pts
Exercice 4 — Inéquations et encadrements/ 4 pts
Exercice 5 — Positions relatives et raisonnement/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x, Méthodes, Pièges et erreurs classiques.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions racine carrée et cube » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonctions racine carrée et cube » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x.

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