Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

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Ces problèmes corrigés sur « Fonctions racine carrée et cube » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Durée de chute d'une bille

Moyen

On lâche une bille sans vitesse initiale depuis une hauteur $h$ , en mètres. En négligeant les frottements de l'air, la durée de la chute, en secondes, est donnée par $t (h) = \sqrt{\frac{h}{4, 9}}$ pour $h \geq 0$ .

1. Calculer la durée de chute depuis une hauteur de $19, 6$ m.
2. De quelle hauteur faut-il lâcher la bille pour que la chute dure exactement 3 s ?
3. Justifier que la durée de chute augmente lorsque la hauteur augmente.
4. a) Calculer $t (78, 4)$ .
4. b) Un élève affirme : « si on double la hauteur, on double la durée de chute ». Montrer qu'il se trompe, puis montrer que $t (4 h) = 2 t (h)$ pour tout $h \geq 0$ .
5. Un balcon est situé à 55 m du sol. Donner la durée de chute arrondie au centième de seconde.

1. $\frac{19, 6}{4, 9} = 4$ , donc $t (19, 6) = \sqrt{4} = 2$ . La chute dure 2 s.

2. On résout $\sqrt{\frac{h}{4, 9}} = 3$ avec $h \geq 0$ . Comme $3 \geq 0$ , cela équivaut à $\frac{h}{4, 9} = 3^{2} = 9$ , soit $h = 9 \times 4, 9 = 44, 1$ . Il faut lâcher la bille de 44,1 m.

3. Soient $0 \leq h_{1} < h_{2}$ . En divisant par $4, 9 > 0$ , l'ordre est conservé : $\frac{h_{1}}{4, 9} < \frac{h_{2}}{4, 9}$ . La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , $\sqrt{\frac{h_{1}}{4, 9}} < \sqrt{\frac{h_{2}}{4, 9}}$ , c'est-à-dire $t (h_{1}) < t (h_{2})$ . La durée de chute est une fonction strictement croissante de la hauteur.

4. a) $\frac{78, 4}{4, 9} = 16$ , donc $t (78, 4) = \sqrt{16} = 4$ s.

4. b) En doublant $19, 6$ m, on obtient $39, 2$ m et $t (39, 2) = \sqrt{\frac{39, 2}{4, 9}} = \sqrt{8} \approx 2, 83$ s, et non $2 \times 2 = 4$ s : l'élève se trompe. En revanche $78, 4 = 4 \times 19, 6$ donne bien le double de 2 s.

Cas général : soit $h \geq 0$ . Le nombre $2 t (h)$ est positif et $(2 t (h))^{2} = 4 \times {(\sqrt{\frac{h}{4, 9}})}^{2} = 4 \times \frac{h}{4, 9} = \frac{4 h}{4, 9}$ . Or $\sqrt{\frac{4 h}{4, 9}}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $\frac{4 h}{4, 9}$ . Donc $t (4 h) = 2 t (h)$ : pour doubler la durée, il faut quadrupler la hauteur.

5. $\frac{55}{4, 9} \approx 11, 2245$ et $\sqrt{11, 2245} \approx 3, 3503$ . La chute dure environ 3,35 s.

Problème 2 — Volume d'un cube et longueur de l'arête

Moyen

Un récipient a la forme d'un cube d'arête $a$ , en décimètres. Son volume intérieur est $V (a) = a^{3}$ , en dm³ ; 1 dm³ correspond à 1 L. On néglige l'épaisseur des parois.

1. Calculer le volume d'un cube d'arête $3, 6$ dm, en litres.
2. Un aquarium cubique contient exactement $91, 125$ L lorsqu'il est plein. Déterminer la longueur de son arête, en centimètres.
3. Une cuve cubique doit contenir 60 L. Montrer que son arête $a$ vérifie $3, 9 < a < 4$ , puis donner un encadrement de $a$ au millimètre près.
4. Montrer que si l'on double l'arête d'un cube, son volume est multiplié par 8.
5. On augmente l'arête d'un cube de 10 %. De quel pourcentage son volume augmente-t-il ?

1. $V (3, 6) = 3, 6^{3} = 12, 96 \times 3, 6 = 46, 656$ . Le cube contient 46,656 L.

2. On cherche $a > 0$ tel que $a^{3} = 91, 125$ . Or $4, 5^{3} = 20, 25 \times 4, 5 = 91, 125$ , et la fonction cube, strictement croissante, prend cette valeur une seule fois. Donc $a = 4, 5$ dm. L'arête mesure 45 cm.

3. $3, 9^{3} = 15, 21 \times 3, 9 = 59, 319$ et $4^{3} = 64$ . Comme $59, 319 < 60 < 64$ , la stricte croissance de la fonction cube donne $3, 9 < a < 4$ . Au millimètre, soit à $0, 01$ dm : $3, 91^{3} \approx 59, 776 < 60$ et $3, 92^{3} \approx 60, 236 > 60$ . Donc $3, 91 < a < 3, 92$ dm, c'est-à-dire entre 39,1 cm et 39,2 cm.

4. Pour une arête $a$ , le nouveau volume est $(2 a)^{3} = 2 a \times 2 a \times 2 a = 8 a^{3} = 8 V (a)$ . Le volume est multiplié par 8 (et non par 2).

5. La nouvelle arête vaut $1, 1 a$ , donc le volume devient $(1, 1 a)^{3} = 1, 1^{3} \times a^{3} = 1, 331 a^{3}$ . Le coefficient multiplicateur $1, 331$ correspond à une hausse de 33,1 %.

Problème 3 — Algorithme de balayage pour l'équation x³ = 30

Difficile

On considère la fonction Python suivante, où $k$ est un réel et $p a s$ un réel strictement positif.

def balayage(k, pas):
    x = 0
    while (x + pas)**3 <= k:
        x = x + pas
    return x

1. Justifier que l'équation $x^{3} = 30$ admet une unique solution réelle $α$ , et que $3 < α < 4$ .
2. On suppose $k > 0$ . Expliquer pourquoi la valeur $x$ renvoyée vérifie $x^{3} \leq k < (x + pas)^{3}$ , puis ce que cela signifie pour la solution de $x^{3} = k$ .
3. Déterminer, en détaillant, la valeur renvoyée par $b a l a y a g e (30, 0.1)$ . En déduire un encadrement de $α$ d'amplitude $0, 1$ .
4. Donner un encadrement de $α$ d'amplitude $0, 01$ , en justifiant par des calculs.
5. Un élève exécute $b a l a y a g e (- 30, 0.1)$ et obtient 0. Expliquer pourquoi ce résultat ne répond pas au problème, puis écrire une fonction $b a l a y a g e 2 (k, p a s)$ qui traite aussi les valeurs négatives de $k$ en utilisant l'imparité de la fonction cube.
6. En déduire un encadrement d'amplitude $0, 01$ de la solution de $x^{3} = - 30$ .

1. La fonction cube est strictement croissante sur $ℝ$ : elle prend chaque valeur réelle exactement une fois, donc $x^{3} = 30$ a une unique solution $α$ . De plus $3^{3} = 27 < 30 < 64 = 4^{3}$ , donc, par croissance, $3 < α < 4$ .

2. Au départ $x = 0$ et $0^{3} = 0 \leq k$ . La variable $x$ n'est remplacée par $x + pas$ que si $(x + pas)^{3} \leq k$ : la condition $x^{3} \leq k$ reste donc toujours vraie. La boucle s'arrête dès que $(x + pas)^{3} > k$ . À la sortie, $x^{3} \leq k < (x + pas)^{3}$ , et par croissance de la fonction cube : $x \leq α < x + pas$ . La fonction renvoie une valeur approchée par défaut de la solution, à « pas » près.

3. Tant que $(x + 0, 1)^{3} \leq 30$ , $x$ augmente de $0, 1$ . On a $3, 1^{3} = 9, 61 \times 3, 1 = 29, 791 \leq 30$ : la boucle atteint $x = 3, 1$ . Puis $3, 2^{3} = 32, 768 > 30$ : la boucle s'arrête. La fonction renvoie 3,1 (l'affichage peut être 3.1000000000000005, à cause des calculs en virgule flottante). Comme $3, 1^{3} \neq 30$ : $3, 1 < α < 3, 2$ .

4. $3, 10^{3} = 29, 791 < 30$ et $3, 11^{3} = 9, 6721 \times 3, 11 = 30, 080231 > 30$ . Par stricte croissance de la fonction cube, $3, 10 < α < 3, 11$ ; c'est d'ailleurs ce que renverrait $b a l a y a g e (30, 0.01)$ .

5. Avec $k = - 30$ , dès le premier test $(0 + 0, 1)^{3} = 0, 001 > - 30$ : la boucle ne s'exécute jamais et la fonction renvoie 0. Or $0^{3} = 0 \neq - 30$ ; la solution est négative, alors que le balayage ne part que vers la droite à partir de 0. L'algorithme suppose implicitement $k \geq 0$ . Comme la fonction cube est impaire, si $β^{3} = - k$ alors $(- β)^{3} = - β^{3} = k$ : il suffit de traiter $- k$ puis de changer de signe.

def balayage2(k, pas):
    if k < 0:
        return -balayage(-k, pas)
    return balayage(k, pas)

6. La solution de $x^{3} = - 30$ est $- α$ , car $(- α)^{3} = - α^{3} = - 30$ . De $3, 10 < α < 3, 11$ on tire, en multipliant par $- 1$ (ce qui change le sens) : $- 3, 11 < - α < - 3, 10$ .

Problème 4 — Écarts entre les courbes de référence

Difficile

Dans un repère, on considère sur $[0; + \infty [$ les courbes $𝒞_{1}$ d'équation $y = \sqrt{x}$ , $𝒞_{2}$ d'équation $y = x$ et $𝒞_{3}$ d'équation $y = x^{3}$ .

1. Préciser la position relative de $𝒞_{1}$ et $𝒞_{3}$ sur $[0; 1]$ , puis sur $[1; + \infty [$ , en justifiant.
2. Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $\sqrt{x} > x^{3}$ .
3. a) Montrer que pour tout réel $x \geq 0$ , $\sqrt{x} - x = \frac{1}{4} - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2}$ .
3. b) En déduire que l'écart vertical $\sqrt{x} - x$ entre $𝒞_{1}$ et $𝒞_{2}$ ne dépasse jamais $\frac{1}{4}$ , et déterminer pour quelle valeur de $x$ il est égal à $\frac{1}{4}$ .
4. Pour $x = 0, 3$ , donner des valeurs approchées au millième de $\sqrt{x}$ et de $x^{3}$ , et vérifier la cohérence avec les questions 1 et 3.
5. Un élève affirme : « sur $[0; 1]$ , l'écart $x - x^{3}$ entre $𝒞_{2}$ et $𝒞_{3}$ est lui aussi maximal pour $x = \frac{1}{4}$ ». Montrer qu'il se trompe.

1. D'après la propriété de comparaison du cours, pour $x \in] 0; 1 [$ , $x^{3} < x < \sqrt{x}$ , donc $x^{3} < \sqrt{x}$ : $𝒞_{3}$ est strictement en dessous de $𝒞_{1}$ . Pour $x > 1$ , $\sqrt{x} < x < x^{3}$ : $𝒞_{3}$ est strictement au-dessus de $𝒞_{1}$ . En $x = 0$ et $x = 1$ , les trois nombres sont égaux (à 0, puis à 1) : les courbes se coupent en $(0; 0)$ et $(1; 1)$ .

2. D'après la question 1, $\sqrt{x} > x^{3}$ est vraie pour $x \in] 0; 1 [$ , fausse en 0 et en 1 (égalité), fausse pour $x > 1$ . $S =] 0; 1 [$ .

3. a) Pour $x \geq 0$ , avec $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ et $(\sqrt{x})^{2} = x$ : ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} = x - \sqrt{x} + \frac{1}{4}$ . Donc $\frac{1}{4} - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} - x + \sqrt{x} - \frac{1}{4} = \sqrt{x} - x$ . L'égalité est démontrée.

3. b) Un carré est positif ou nul, donc $\sqrt{x} - x \leq \frac{1}{4}$ pour tout $x \geq 0$ . L'égalité a lieu si et seulement si $\sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0$ , c'est-à-dire $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ , soit $x = \frac{1}{4}$ . L'écart maximal vaut $\frac{1}{4}$ , atteint pour $x = \frac{1}{4}$ .

4. $\sqrt{0, 3} \approx 0, 548$ et $0, 3^{3} = 0, 027$ . On a bien $0, 027 < 0, 3 < 0, 548$ : $𝒞_{3}$ sous $𝒞_{2}$ , elle-même sous $𝒞_{1}$ (question 1). L'écart $\sqrt{0, 3} - 0, 3 \approx 0, 248$ est bien inférieur à $0, 25$ (question 3).

5. Pour $x = \frac{1}{4}$ : $x - x^{3} = 0, 25 - 0, 015625 = 0, 234375$ . Pour $x = 0, 5$ : $x - x^{3} = 0, 5 - 0, 125 = 0, 375$ . Comme $0, 375 > 0, 234375$ , l'écart n'est pas maximal en $\frac{1}{4}$ : l'élève se trompe. Le résultat de la question 3 concerne $\sqrt{x} - x$ et ne se transpose pas à une autre paire de courbes.

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