Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

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Ce QCM sur « Fonctions racine carrée et cube » en seconde teste tes connaissances en mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de seconde. Au programme : L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Quel est l'ensemble de définition de la fonction racine carrée ?
- A. $ℝ$
- B. $[0; + \infty [$
- C. $] 0; + \infty [$
- D. $] - \infty; 0]$
Réponse
B. $[0; + \infty [$ — $\sqrt{x}$ existe pour tout $x \geq 0$ , y compris $x = 0$ ( $\sqrt{0} = 0$ ), et n'existe pas pour $x < 0$ .
Que vaut $\sqrt{81}$ ?
- A. $9$
- B. $- 9$
- C. $9$ ou $- 9$
- D. $40, 5$
Réponse
A. $9$ — $\sqrt{81}$ est le nombre positif dont le carré vaut 81 : c'est 9. Une racine carrée n'est jamais négative.
Quel est le sens de variation de la fonction cube sur $ℝ$ ?
- A. décroissante sur $ℝ$
- B. décroissante puis croissante
- C. croissante sur $ℝ$
- D. croissante puis décroissante
Réponse
C. croissante sur $ℝ$ — La fonction cube est strictement croissante sur tout $ℝ$ ; c'est la fonction carré qui est décroissante puis croissante.
La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport :
- A. à l'axe des abscisses
- B. à l'axe des ordonnées
- C. à la droite d'équation $y = x$
- D. à l'origine du repère
Réponse
D. à l'origine du repère — $(- x)^{3} = - x^{3}$ : la fonction cube est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Que vaut $(- 2)^{3}$ ?
- A. $6$
- B. $- 8$
- C. $8$
- D. $- 6$
Réponse
B. $- 8$ — $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) = 4 \times (- 2) = - 8$ : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif.
Quel point appartient à la courbe de la fonction racine carrée ?
- A. $(16; 4)$
- B. $(4; 16)$
- C. $(- 4; 2)$
- D. $(25; 125)$
Réponse
A. $(16; 4)$ — $\sqrt{16} = 4$ , donc $(16; 4)$ est sur la courbe. $(4; 16)$ est sur la parabole $y = x^{2}$ et $- 4$ n'a pas de racine carrée.
Pour $x \in] 0; 1 [$ , quelle inégalité est vraie ?
- A. $x < x^{3}$
- B. $x^{2} < x^{3}$
- C. $x^{3} < x$
- D. $\sqrt{x} < x$
Réponse
C. $x^{3} < x$ — Sur $] 0; 1 [$ : $x^{3} < x^{2} < x < \sqrt{x}$ . Les trois autres inégalités sont celles valables pour $x > 1$ .
L'équation $\sqrt{x} = - 3$ :
- A. a pour solution 9
- B. a pour solution −9
- C. a pour solutions 9 et −9
- D. n'a pas de solution
Réponse
D. n'a pas de solution — Une racine carrée est toujours positive ou nulle : elle ne peut pas valoir $- 3$ .

Niveau moyen — 8 questions

Quelle est la solution de l'équation $\sqrt{x} = 1, 1$ ?
- A. $1, 21$
- B. $0, 121$
- C. $2, 2$
- D. $1, 0488$
Réponse
A. $1, 21$ — $1, 1 \geq 0$ , donc $\sqrt{x} = 1, 1 ⟺ x = 1, 1^{2} = 1, 21$ .
Quelles sont les solutions de l'équation $x^{3} = - 512$ ?
- A. $x = 8$
- B. $x = - 8$
- C. $x = 8$ ou $x = - 8$
- D. aucune solution
Réponse
B. $x = - 8$ — $(- 8)^{3} = - 512$ et l'équation $x^{3} = k$ a une seule solution : $- 8$ . Et $8^{3} = 512 \neq - 512$ .
Quel est l'ensemble des solutions de $\sqrt{x} < 20$ ?
- A. $] - \infty; 400 [$
- B. $[0; 20 [$
- C. $[0; 400 [$
- D. $] 0; 400]$
Réponse
C. $[0; 400 [$ — $\sqrt{x} < \sqrt{400} ⟺ 0 \leq x < 400$ : il faut $x \geq 0$ pour que $\sqrt{x}$ existe, et 400 est exclu.
Si $x \in [0, 04; 0, 81]$ , alors $\sqrt{x}$ appartient à :
- A. $[0, 02; 0, 405]$
- B. $[0, 0016; 0, 6561]$
- C. $[0, 4; 0, 9]$
- D. $[0, 2; 0, 9]$
Réponse
D. $[0, 2; 0, 9]$ — La racine carrée est croissante : $\sqrt{0, 04} = 0, 2$ et $\sqrt{0, 81} = 0, 9$ .
Si $x \in [- 2; 3]$ , alors $x^{3}$ appartient à :
- A. $[- 8; 27]$
- B. $[0; 27]$
- C. $[- 6; 9]$
- D. $[8; 27]$
Réponse
A. $[- 8; 27]$ — La fonction cube est croissante sur $ℝ$ : $(- 2)^{3} = - 8 \leq x^{3} \leq 3^{3} = 27$ . Pas de minimum en 0 comme pour le carré.
Pour $a = 1, 4$ , quel rangement est correct ?
- A. $a^{3} < a^{2} < a < \sqrt{a}$
- B. $\sqrt{a} < a < a^{2} < a^{3}$
- C. $a < \sqrt{a} < a^{2} < a^{3}$
- D. $\sqrt{a} < a^{2} < a < a^{3}$
Réponse
B. $\sqrt{a} < a < a^{2} < a^{3}$ — $1, 4 > 1$ , donc $\sqrt{a} < a < a^{2} < a^{3}$ ( $\approx 1, 18 < 1, 4 < 1, 96 < 2, 744$ ).
Quelle est l'image de $- 0, 4$ par la fonction cube ?
- A. $- 0, 0064$
- B. $0, 064$
- C. $- 0, 064$
- D. $- 1, 2$
Réponse
C. $- 0, 064$ — $(- 0, 4)^{3} = 0, 16 \times (- 0, 4) = - 0, 064$ : le résultat est négatif et non égal à $3 \times (- 0, 4)$ .
Combien l'équation $x^{3} = 11$ a-t-elle de solutions réelles ?
- A. aucune
- B. deux, opposées
- C. trois
- D. une seule
Réponse
D. une seule — La fonction cube est strictement croissante sur $ℝ$ : elle prend la valeur 11 une seule fois ( $x \approx 2, 224$ ).

Niveau difficile — 8 questions

L'affirmation « pour tout réel $x \geq 0$ , $\sqrt{x} \leq x$ » est :
- A. fausse, par exemple pour $x = 0, 16$
- B. vraie, car la racine diminue les nombres
- C. vraie, car $\sqrt{x} \leq x^{2}$
- D. fausse, car $\sqrt{x}$ peut être négatif
Réponse
A. fausse, par exemple pour $x = 0, 16$ — $\sqrt{0, 16} = 0, 4 > 0, 16$ : contre-exemple. L'inégalité n'est vraie que pour $x = 0$ ou $x \geq 1$ ; et $\sqrt{x}$ n'est jamais négatif.
Si $a < b$ (réels quelconques), laquelle de ces inégalités est toujours vraie ?
- A. $a^{2} < b^{2}$
- B. $a^{3} < b^{3}$
- C. $\sqrt{a} < \sqrt{b}$
- D. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
Réponse
B. $a^{3} < b^{3}$ — Seule la fonction cube est croissante sur tout $ℝ$ . Contre-exemple pour le carré : $- 3 < 1$ mais $9 > 1$ ; $\sqrt{a}$ n'existe pas si $a < 0$ .
Pourquoi la fonction racine carrée n'est-elle ni paire ni impaire ?
- A. car $\sqrt{x}$ est toujours positif ou nul
- B. car elle est croissante sur son domaine
- C. car $[0; + \infty [$ n'est pas centré en 0
- D. car sa courbe passe par l'origine
Réponse
C. car $[0; + \infty [$ n'est pas centré en 0 — La parité n'a de sens que sur un ensemble symétrique par rapport à 0 : $\sqrt{1}$ existe mais pas $\sqrt{- 1}$ .
Un élève écrit : « l'équation $x^{3} = 1, 728$ a deux solutions, $1, 2$ et $- 1, 2$ ». Il a :
- A. juste, car $(- 1, 2)^{3} = 1, 728$
- B. juste, comme pour $x^{2} = 1, 44$
- C. faux, car $1, 2$ n'est pas solution
- D. faux, car $(- 1, 2)^{3} = - 1, 728$
Réponse
D. faux, car $(- 1, 2)^{3} = - 1, 728$ — $1, 2^{3} = 1, 728$ mais $(- 1, 2)^{3} = - 1, 728$ : la seule solution est $1, 2$ . Le « ± » ne concerne que le carré.
Pour $x \geq 1$ , quel enchaînement est vrai ?
- A. $\sqrt{x} \leq x \leq x^{3}$
- B. $x^{3} \leq x \leq \sqrt{x}$
- C. $x \leq \sqrt{x} \leq x^{3}$
- D. $\sqrt{x} \leq x^{3} \leq x$
Réponse
A. $\sqrt{x} \leq x \leq x^{3}$ — Sur $[1; + \infty [$ : $\sqrt{x} \leq x \leq x^{2} \leq x^{3}$ . L'ordre $x^{3} \leq x \leq \sqrt{x}$ est celui de $[0; 1]$ .
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\sqrt{x} \geq - 2$ ?
- A. $] - \infty; 4]$
- B. $[0; + \infty [$
- C. $\emptyset$
- D. $ℝ$
Réponse
B. $[0; + \infty [$ — Pour tout $x \geq 0$ , $\sqrt{x} \geq 0 > - 2$ : l'inéquation est vraie dès que $\sqrt{x}$ existe. On n'élève pas au carré un membre négatif.
Soit $0 < a < 1$ . Lequel de ces nombres est le plus grand ?
- A. $a^{2} \times a$
- B. $a^{2}$
- C. $\sqrt{a}$
- D. $a$
Réponse
C. $\sqrt{a}$ — Sur $] 0; 1 [$ : $a^{3} < a^{2} < a < \sqrt{a}$ , et $a^{2} \times a = a^{3}$ est le plus petit.
Sur l'intervalle $[- 2; 2]$ , la fonction cube atteint son minimum en :
- A. $x = 0$
- B. $x = 2$
- C. elle n'a pas de minimum
- D. $x = - 2$
Réponse
D. $x = - 2$ — La fonction cube est croissante : sur $[- 2; 2]$ , son minimum est $(- 2)^{3} = - 8$ , atteint en $- 2$ . Le minimum en 0 est une confusion avec le carré.

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