Fonctions racine carrée et cube

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

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Ces exercices corrigés sur « Fonctions racine carrée et cube » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Images et antécédents par la fonction racine carrée

Facile

On note $f$ la fonction racine carrée, définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = \sqrt{x}$ .

a) Calculer $f (49)$ , $f (0, 36)$ et $f (121)$ .
b) Déterminer l'antécédent de $13$ , puis celui de $0, 9$ par $f$ .
c) Le nombre $- 4$ a-t-il un antécédent par $f$ ? Justifier.
d) Peut-on calculer $f (- 16)$ ? Justifier.

a) $\sqrt{49} = 7$ car $7 \geq 0$ et $7^{2} = 49$ . De même $\sqrt{0, 36} = 0, 6$ car $0, 6 \geq 0$ et $0, 6^{2} = 0, 36$ , et $\sqrt{121} = 11$ car $11^{2} = 121$ . $f (49) = 7$ , $f (0, 36) = 0, 6$ , $f (121) = 11$ .

b) On cherche $x \geq 0$ tel que $\sqrt{x} = 13$ . Comme $13 \geq 0$ , cela équivaut à $x = 13^{2} = 169$ . Vérification : $\sqrt{169} = 13$ . De même, $\sqrt{x} = 0, 9 ⟺ x = 0, 9^{2} = 0, 81$ . Les antécédents sont 169 et 0,81.

c) Pour tout $x \geq 0$ , $\sqrt{x} \geq 0$ . L'égalité $\sqrt{x} = - 4$ est donc impossible. $- 4$ n'a pas d'antécédent par $f$ .

d) $- 16 \notin [0; + \infty [$ : aucun réel n'a pour carré $- 16$ , car un carré est toujours positif. $f (- 16)$ n'est pas défini.

Exercice 2 — Calculs avec la fonction cube

Facile

On note $g$ la fonction cube, définie sur $ℝ$ par $g (x) = x^{3}$ .

a) Calculer $g (4)$ , $g (- 5)$ et $g (0, 2)$ .
b) Calculer $g (- \frac{1}{3})$ et donner le résultat sous forme de fraction.
c) Déterminer le nombre dont l'image par $g$ est $343$ , puis celui dont l'image est $- 1 000$ .
d) Sachant que $g (2, 5) = 15, 625$ , donner $g (- 2, 5)$ sans calcul, en justifiant.

a) $g (4) = 4 \times 4 \times 4 = 64$ . $g (- 5) = (- 5) \times (- 5) \times (- 5) = 25 \times (- 5) = - 125$ (trois facteurs négatifs : produit négatif). $g (0, 2) = 0, 04 \times 0, 2 = 0, 008$ . $g (4) = 64$ , $g (- 5) = - 125$ , $g (0, 2) = 0, 008$ .

b) ${(- \frac{1}{3})}^{3} = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$ , donc $g (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27}$ .

c) $7^{3} = 49 \times 7 = 343$ . La fonction cube étant strictement croissante sur $ℝ$ , l'équation $x^{3} = 343$ a une seule solution : 7. De même, $(- 10)^{3} = - 1 000$ , donc le nombre cherché est $- 10$ .

d) La fonction cube est impaire : pour tout réel $x$ , $g (- x) = - g (x)$ . Donc $g (- 2, 5) = - 15, 625$ .

Exercice 3 — Comparer sans calculatrice

Facile

a) Comparer $\sqrt{17}$ et $\sqrt{19}$ .
b) Comparer $(- 3, 1)^{3}$ et $(- 2, 9)^{3}$ .
c) Ranger dans l'ordre croissant : $0, 45$ ; $0, 45^{2}$ ; $0, 45^{3}$ ; $\sqrt{0, 45}$ .
d) Comparer $5, 2^{2}$ et $5, 2^{3}$ .

a) $0 \leq 17 < 19$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , donc elle conserve l'ordre : $\sqrt{17} < \sqrt{19}$ .

b) $- 3, 1 < - 2, 9$ et la fonction cube est strictement croissante sur $ℝ$ (y compris pour les négatifs) : $(- 3, 1)^{3} < (- 2, 9)^{3}$ .

c) $0, 45 \in] 0; 1 [$ . D'après la propriété de comparaison, pour $x \in] 0; 1 [$ , $x^{3} < x^{2} < x < \sqrt{x}$ . Donc $0, 45^{3} < 0, 45^{2} < 0, 45 < \sqrt{0, 45}$ .

d) $5, 2 > 1$ , donc $x^{2} < x^{3}$ pour $x = 5, 2$ ; en effet $5, 2^{3} - 5, 2^{2} = 5, 2^{2} \times (5, 2 - 1) > 0$ . $5, 2^{2} < 5, 2^{3}$ .

Exercice 4 — Équations avec la racine carrée

Moyen

Résoudre les équations suivantes dans l'ensemble des réels pour lesquels elles ont un sens.

a) $\sqrt{x} = 8, 5$
b) $\sqrt{x} = - 2, 5$
c) $3 \sqrt{x} - 4 = 11$
d) $\sqrt{2 x - 3} = 6$

a) $x$ doit vérifier $x \geq 0$ . Comme $8, 5 \geq 0$ , $\sqrt{x} = 8, 5 ⟺ x = 8, 5^{2} = 72, 25$ . $S = {72, 25}$ .

b) Une racine carrée est toujours positive ou nulle, elle ne peut pas valoir $- 2, 5$ . $S = \emptyset$ .

c) $3 \sqrt{x} - 4 = 11 ⟺ 3 \sqrt{x} = 15 ⟺ \sqrt{x} = 5$ . Comme $5 \geq 0$ , cela équivaut à $x = 25$ . Vérification : $3 \sqrt{25} - 4 = 15 - 4 = 11$ . $S = {25}$ .

d) L'expression a un sens si $2 x - 3 \geq 0$ , c'est-à-dire $x \geq 1, 5$ . Comme $6 \geq 0$ : $\sqrt{2 x - 3} = 6 ⟺ 2 x - 3 = 36 ⟺ 2 x = 39 ⟺ x = 19, 5$ . On a bien $19, 5 \geq 1, 5$ ; vérification : $\sqrt{2 \times 19, 5 - 3} = \sqrt{36} = 6$ . $S = {19, 5}$ .

Exercice 5 — Équations avec la fonction cube

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes.

a) $x^{3} = 216$
b) $x^{3} + 9 = - 18$
c) $2 x^{3} = - 0, 25$
d) $x^{3} = 20$ : justifier que cette équation a une unique solution $α$ , puis donner un encadrement de $α$ d'amplitude $0, 01$ .

Rappel utilisé : la fonction cube étant strictement croissante sur $ℝ$ , pour tout réel $k$ l'équation $x^{3} = k$ a exactement une solution.

a) $6^{3} = 36 \times 6 = 216$ , donc $S = {6}$ .

b) $x^{3} + 9 = - 18 ⟺ x^{3} = - 27$ . Or $(- 3)^{3} = - 27$ , donc $S = {- 3}$ .

c) $2 x^{3} = - 0, 25 ⟺ x^{3} = - 0, 125$ . Or $0, 5^{3} = 0, 125$ , donc par imparité $(- 0, 5)^{3} = - 0, 125$ . $S = {- 0, 5}$ .

d) L'équation a une unique solution $α$ d'après le rappel. Comme $2^{3} = 8 < 20 < 27 = 3^{3}$ , on a $2 < α < 3$ (croissance). Puis $2, 7^{3} = 19, 683 < 20 < 21, 952 = 2, 8^{3}$ , donc $2, 7 < α < 2, 8$ . Enfin $2, 71^{3} = 19, 902511 < 20$ et $2, 72^{3} = 20, 123648 > 20$ . $2, 71 < α < 2, 72$ .

Exercice 6 — Inéquations et encadrements

Moyen

a) Résoudre $\sqrt{x} \leq 6, 5$ .
b) Résoudre $\sqrt{x} > 0, 3$ .
c) Résoudre $x^{3} < - 729$ .
d) On sait que $0, 64 \leq x \leq 30, 25$ . Encadrer $\sqrt{x}$ .
e) On sait que $- 1, 9 \leq x \leq 3$ . Encadrer $x^{3}$ .

a) $x$ doit être positif. Comme $6, 5 \geq 0$ et $6, 5^{2} = 42, 25$ : $\sqrt{x} \leq \sqrt{42, 25} ⟺ x \leq 42, 25$ (croissance stricte de la racine carrée). $S = [0; 42, 25]$ .

b) $0, 3^{2} = 0, 09$ et $\sqrt{x} > \sqrt{0, 09} ⟺ x > 0, 09$ . $S =] 0, 09; + \infty [$ (ces nombres sont bien positifs).

c) $(- 9)^{3} = - 729$ . La fonction cube étant strictement croissante sur $ℝ$ , $x^{3} < (- 9)^{3} ⟺ x < - 9$ . $S =] - \infty; - 9 [$ .

d) L'intervalle est inclus dans $[0; + \infty [$ et la racine carrée conserve l'ordre : $\sqrt{0, 64} \leq \sqrt{x} \leq \sqrt{30, 25}$ , soit $0, 8 \leq \sqrt{x} \leq 5, 5$ .

e) La fonction cube conserve l'ordre sur $ℝ$ : $(- 1, 9)^{3} \leq x^{3} \leq 3^{3}$ . Or $1, 9^{3} = 3, 61 \times 1, 9 = 6, 859$ . $- 6, 859 \leq x^{3} \leq 27$ .

Exercice 7 — Imparité de la fonction cube

Moyen

On note $𝒞$ la courbe représentative de la fonction cube dans un repère d'origine $O$ .

a) Montrer que pour tout réel $x$ , $(- x)^{3} = - x^{3}$ .
b) Justifier que le point $A (1, 5; 3, 375)$ appartient à $𝒞$ . Donner les coordonnées de son symétrique $A^{'}$ par rapport à $O$ et vérifier que $A^{'} \in 𝒞$ .
c) La fonction $h$ définie sur $ℝ$ par $h (x) = x^{3} + 1$ est-elle impaire ? Justifier.
d) Montrer que la fonction $k$ définie sur $ℝ$ par $k (x) = x^{3} - 4 x$ est impaire.

a) $(- x)^{3} = (- x) \times (- x) \times (- x)$ . Or $(- x) \times (- x) = x^{2}$ , donc $(- x)^{3} = x^{2} \times (- x) = - x^{3}$ . La fonction cube est impaire.

b) $1, 5^{3} = 2, 25 \times 1, 5 = 3, 375$ , donc $A \in 𝒞$ . Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ a des coordonnées opposées : $A^{'} (- 1, 5; - 3, 375)$ . D'après a), $(- 1, 5)^{3} = - 1, 5^{3} = - 3, 375$ : $A^{'} \in 𝒞$ .

c) $h (1) = 1 + 1 = 2$ et $h (- 1) = - 1 + 1 = 0$ . Si $h$ était impaire, on aurait $h (- 1) = - h (1) = - 2$ . Or $0 \neq - 2$ : $h$ n'est pas impaire (un seul contre-exemple suffit).

d) $ℝ$ est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel $x$ : $k (- x) = (- x)^{3} - 4 (- x) = - x^{3} + 4 x = - (x^{3} - 4 x) = - k (x)$ . La fonction $k$ est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exercice 8 — Position relative de la droite y = x et de la courbe de la racine carrée

Difficile

a) Montrer que pour tout réel $x \geq 0$ , $x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)$ .
b) En déduire le signe de $x - \sqrt{x}$ selon les valeurs de $x$ , puis la position relative de la droite d'équation $y = x$ et de la courbe d'équation $y = \sqrt{x}$ sur $[0; + \infty [$ .
c) Résoudre l'équation $\sqrt{x} = x$ .
d) Un élève affirme : « la racine carrée d'un nombre positif est toujours plus petite que ce nombre ». Expliquer son erreur à l'aide d'un exemple.

a) Pour $x \geq 0$ , on développe : $\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} = x - \sqrt{x}$ , car $(\sqrt{x})^{2} = x$ . L'égalité est démontrée.

b) Le facteur $\sqrt{x}$ est positif ou nul. Pour le second : $\sqrt{x} - 1 \geq 0 ⟺ \sqrt{x} \geq \sqrt{1} ⟺ x \geq 1$ , par croissance stricte de la racine carrée. Donc :

• sur $[0; 1]$ , $x - \sqrt{x} \leq 0$ : la droite $y = x$ est en dessous de la courbe de $\sqrt{x}$ ;

• sur $[1; + \infty [$ , $x - \sqrt{x} \geq 0$ : la droite est au-dessus de la courbe.

c) $\sqrt{x} = x ⟺ \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = 0 ⟺ \sqrt{x} = 0$ ou $\sqrt{x} = 1 ⟺ x = 0$ ou $x = 1$ . $S = {0; 1}$ : ce sont les abscisses des points communs.

d) Pour $x = 0, 01$ : $\sqrt{0, 01} = 0, 1$ et $0, 1 > 0, 01$ . L'affirmation est fausse. D'après b), elle n'est vraie que pour $x \geq 1$ ; sur $] 0; 1 [$ , la racine carrée d'un nombre est plus grande que ce nombre.

Exercice 9 — Croissance de la racine carrée et encadrement de √101

Difficile

a) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leq a < b$ . Montrer que $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .
b) En déduire que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
c) Montrer que $\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{\sqrt{101} + 10}$ .
d) En déduire que $10 < \sqrt{101} < 10, 05$ .

a) Comme $b > a \geq 0$ , on a $b > 0$ donc $\sqrt{b} > 0$ , et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ : le quotient existe. Or $(\sqrt{b} - \sqrt{a}) (\sqrt{b} + \sqrt{a}) = (\sqrt{b})^{2} - (\sqrt{a})^{2} = b - a$ (identité remarquable). En divisant par $\sqrt{b} + \sqrt{a} \neq 0$ : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .

b) Si $0 \leq a < b$ , alors $b - a > 0$ et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ , donc le quotient est strictement positif : $\sqrt{b} - \sqrt{a} > 0$ , soit $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ . La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

c) On applique a) avec $a = 100$ et $b = 101$ : $\sqrt{101} - \sqrt{100} = \frac{101 - 100}{\sqrt{101} + \sqrt{100}}$ . Comme $\sqrt{100} = 10$ : $\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{\sqrt{101} + 10}$ .

d) Le quotient est strictement positif, donc $\sqrt{101} > 10$ . Par suite $\sqrt{101} + 10 > 20$ , et en passant aux inverses (nombres positifs) : $\frac{1}{\sqrt{101} + 10} < \frac{1}{20} = 0, 05$ . Ainsi $0 < \sqrt{101} - 10 < 0, 05$ , d'où $10 < \sqrt{101} < 10, 05$ (la calculatrice donne $\sqrt{101} \approx 10, 0499$ ).

Exercice 10 — Inéquation cubique par factorisation

Difficile

a) Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
b) Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3$ , puis en déduire le signe de $x^{2} + 2 x + 4$ .
c) En déduire l'ensemble des solutions de $x^{3} \geq 8$ sans utiliser les variations de la fonction cube.
d) Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $(x + 3)^{3} < 8$ .

a) On développe : $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8$ . L'égalité est vraie pour tout réel $x$ .

b) $(x + 1)^{2} + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 3 = x^{2} + 2 x + 4$ . Un carré est positif ou nul, donc $(x + 1)^{2} + 3 \geq 3 > 0$ . Pour tout réel $x$ , $x^{2} + 2 x + 4 > 0$ .

c) $x^{3} \geq 8 ⟺ x^{3} - 8 \geq 0 ⟺ (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) \geq 0$ . Le second facteur étant strictement positif, le produit a le signe de $x - 2$ . Donc $x^{3} \geq 8 ⟺ x \geq 2$ . $S = [2; + \infty [$ .

d) On pose $X = x + 3$ . D'après a) et b), $X^{3} < 8 ⟺ (X - 2) (X^{2} + 2 X + 4) < 0 ⟺ X < 2$ . Donc $x + 3 < 2 ⟺ x < - 1$ . $S =] - \infty; - 1 [$ . Vérification : pour $x = - 2$ , $(1)^{3} = 1 < 8$ ; pour $x = 0$ , $3^{3} = 27 > 8$ .

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