Fiche de révision : équations de droites

Vecteur directeur et équation cartésienne (forme ax + by + c = 0 démontrée avec le déterminant), équation réduite et pente, droite passant par deux points et alignement, droites parallèles ou sécantes, point d’intersection de deux droites données par leur équation réduite.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Équations de droites

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Géométrie · Droites du plan)

La démarche face à une question sur une droite

1. Je repère ce qui est donné : deux points, un point et un vecteur directeur, un point et la pente, ou une équation.

2. Je choisis la forme : équation réduite pour une pente ou une intersection, équation cartésienne avec un vecteur directeur ; droite verticale si les deux abscisses sont égales.

3. Je calcule pas à pas : pente, puis ordonnée à l’origine (ou déterminant, puis développement).

4. Je contrôle en remplaçant les coordonnées d’un point connu, et je conclus par une phrase.

Le réflexe — chaque équation trouvée se vérifie avec un point de la droite : un contrôle de dix secondes évite de perdre tous les points de la question.

Cas 1 · Un point et un vecteur directeur

Réflexe — M(x ; y) sur la droite ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0 ; je développe ; vecteur directeur de ax + by + c = 0 : (−b ; a).

Exemple. Questions types : « Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ », « Donner un vecteur directeur ». Exemple : $A (3; - 2)$ et $\vec{u} (2; 3)$ .

Pour $M (x; y)$ : $\vec{A M} (x - 3; y + 2)$ .

$det (\vec{A M}, \vec{u})$ $= (x - 3) \times 3 - (y + 2) \times 2$ $= 3 x - 9 - 2 y - 4$ $= 3 x - 2 y - 13$ .

Équation : $3 x - 2 y - 13 = 0$ . Contrôle avec $A$ : $9 + 4 - 13 = 0$ .

Attention — le vecteur directeur de ax + by + c = 0 est (−b ; a), pas (a ; b).

Cas 2 · Équation réduite et pente

Réflexe — j’isole y : le nombre devant x est la pente m ; un point et la pente : p = y_A − m x_A.

Exemple. Questions types : « Donner l’équation réduite », « Déterminer la droite de pente $m$ passant par $A$ ». Exemples : $8 x + 2 y - 3 = 0$ ; pente $0, 5$ et $A (- 6; 1)$ .

$2 y = - 8 x + 3$ , donc $y = - 4 x + 1, 5$ : pente $- 4$ , ordonnée à l’origine $1, 5$ .

Pente $0, 5$ et $A (- 6; 1)$ : $p = 1 - 0, 5 \times (- 6) = 4$ , donc $y = 0, 5 x + 4$ .

Attention — x = k (droite verticale) n’a pas de pente ; dans y = 3 − 2x, la pente est −2.

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Cas 3 · Deux points, alignement

Réflexe — abscisses différentes : m = (y_B − y_A) ÷ (x_B − x_A), puis p avec A, contrôle avec B ; troisième point : je remplace dans l’équation.

Exemple. Questions types : « Déterminer l’équation réduite de $(A B)$ », « $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ? ». Exemple : $A (- 2; - 5)$ , $B (2; 7)$ , $C (5; 16)$ .

$m = \frac{7 - (- 5)}{2 - (- 2)}$ $= \frac{12}{4}$ $= 3$ et $p = - 5 - 3 \times (- 2) = 1$ : $(A B) : y = 3 x + 1$ (contrôle : $3 \times 2 + 1 = 7$ ).

Pour $C$ : $3 \times 5 + 1 = 16$ , donc $C \in (A B)$ : les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

Attention — même ordre en haut et en bas ; abscisses égales : droite x = x_A.

Cas 4 · Parallèles ou sécantes

Réflexe — réduites : je compare m puis p ; cartésiennes : ab′ − a′b, puis un point testé pour trancher.

Exemple. Questions types : « Les droites sont-elles parallèles ? », « strictement parallèles ou confondues ? ». Exemple : $d : 4 x - 6 y + 1 = 0$ et $d' : - 6 x + 9 y + 2 = 0$ .

$a b' - a' b$ $= 4 \times 9 - (- 6) \times (- 6)$ $= 36 - 36$ $= 0$ : parallèles.

Le point $(2; 1, 5)$ est sur $d$ ( $8 - 9 + 1 = 0$ ) ; dans $d'$ : $(- 12) + 13, 5 + 2$ $= 3, 5 \neq 0$ . Les droites sont strictement parallèles.

Attention — parallèles comprend confondues : il faut tester un point.

Cas 5 · Point d’intersection

Réflexe — m ≠ m′ ; mx + p = m′x + p′ donne x ; y avec une équation, contrôle avec l’autre.

Exemple. Question type : « Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $d$ et $d'$ ». Exemple : $d : y = - 0, 5 x + 3$ et $d' : y = 1, 5 x - 5$ .

Pentes $- 0, 5 \neq 1, 5$ : sécantes.

$- 0, 5 x + 3 = 1, 5 x - 5$ $⟺ 8 = 2 x$ $⟺ x = 4$ , puis $y = - 0, 5 \times 4 + 3 = 1$ ; contrôle : $1, 5 \times 4 - 5 = 1$ .

Point d’intersection : $(4; 1)$ .

Attention — la réponse est un point : deux coordonnées, pas seulement x.

Les pièges

Pente : (y_B − y_A) ÷ (x_B − x_A), jamais l’inverse.
Dans y = mx + p, m multiplie x ; p est l’ordonnée du point d’abscisse 0.
Une droite verticale x = k n’a ni pente ni équation réduite.
Une équation cartésienne n’est pas unique : comparer ab′ − a′b, pas les écritures.
Un dessin ne prouve ni un alignement ni un point d’intersection exact.
Pour tester un point, remplacer x ET y, puis comparer les deux membres.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question sur une droite, puis un exemple rédigé pour chacun des cinq cas : équation avec un point et un vecteur directeur, équation réduite et pente, droite par deux points et alignement, parallèles ou sécantes, point d’intersection. Elle se termine par les pièges classiques, comme le quotient de la pente inversé.

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