Fiche de révision : loi des grands nombres et simulation

Probabilité d’un modèle et fréquence observée, loi des grands nombres (version du programme), simulation en Python ; fluctuation d’échantillonnage et estimation d’une probabilité par une fréquence pour interpréter les simulations.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Loi des grands nombres et simulation

Fiche méthode

(Maths 2nde · Statistiques et probabilités · Loi des grands nombres)

La démarche face à une question de hasard

1. Je trie les nombres : probabilité (calculée sur le modèle) ou fréquence (comptée sur des résultats réels) ; effectif $k$ et taille $n$ .

2. Je calcule $f = \frac{k}{n}$ , la probabilité $p$ du modèle s’il y en a un, puis l’écart $| f - p |$ .

3. Je regarde la taille $n$ : petite, la fréquence peut fluctuer beaucoup ; grande, elle est proche de $p$ sauf exception.

4. Je conclus par une phrase : fluctuation normale, loi des grands nombres, estimation $p \approx f$ , ou doute sur le modèle.

Le réflexe — une fréquence ne « prouve » jamais une probabilité : on écrit « proche », « environ », « on peut douter », jamais « égal » ni « prouvé ».

Cas 1 · Probabilité ou fréquence

Réflexe — calcul sur le modèle → probabilité ; comptage de résultats réels → fréquence $f = \frac{k}{n}$ .

Exemple. Questions types : « Calculer la probabilité », « Calculer la fréquence observée et l’écart ». Exemple : un sac contient $5$ jetons dont $2$ jaunes ; sur $150$ tirages au hasard avec remise, le jaune sort $54$ fois.

Modèle : $p = \frac{2}{5} = 0, 4$ .

Réalité : $f = \frac{54}{150} = 0, 36$ .

Écart : $| 0, 36 - 0, 4 | = 0, 04$ .

Attention — $54$ est un effectif ; la fréquence est $54$ divisé par $150$ .

Cas 2 · Échantillon et fluctuation

Réflexe — je repère la taille $n$ et le nombre de succès de chaque échantillon, puis je compare les fréquences.

Exemple. Questions types : « Donner la taille de l’échantillon », « Nommer le phénomène ». Exemple : deux échantillons de $40$ tirages avec remise dans la même urne donnent $13$ puis $19$ boules blanches.

$f_{1} = \frac{13}{40} = 0, 325$ et $f_{2} = \frac{19}{40} = 0, 475$ .

Même urne, même taille, fréquences différentes : c’est la fluctuation d’échantillonnage.

Aucun des deux résultats n’est faux.

Attention — le hasard n’a pas de mémoire : après plusieurs échecs, la probabilité de succès ne change pas.

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Cas 3 · Loi des grands nombres

Réflexe — j’écris l’énoncé exact, puis je compare les écarts $| f - p |$ quand $n$ grandit.

Exemple. Questions types : « Quelle propriété ces résultats illustrent-ils ? », « L’écart en nombre a grandi : est-ce une contradiction ? ». Exemple : $50 000$ lancers d’une pièce équilibrée, $25 120$ piles.

Écart en nombre : $25 120 - 25 000 = 120$ .

Fréquence : $\frac{25 120}{50 000} = 0, 5024$ , écart $0, 0024$ .

L’écart en nombre est grand, mais la fréquence est proche de $0, 5$ : c’est ce que dit la loi des grands nombres.

Attention — la loi ne parle que de la fréquence, et seulement pour $n$ grand.

Cas 4 · Estimer une probabilité

Réflexe — je regroupe les données, $p \approx \frac{total des succès}{total des répétitions}$ , puis $N \times p$ pour prévoir.

Exemple. Questions types : « Proposer une valeur approchée de $p$ », « Combien de succès peut-on prévoir ? ». Exemple : un gobelet lancé $2 500$ fois tombe $1 715$ fois sur le côté.

$f = \frac{1 715}{2 500} = 0, 686$ : grand échantillon, donc $p \approx 0, 686$ .

Sur $200$ lancers, on attend environ $200 \times 0, 686 = 137, 2$ , soit à peu près $137$ chutes sur le côté.

Attention — on ne fait pas la moyenne des fréquences de séries de tailles différentes.

Cas 5 · Simulation en Python

Réflexe — random() < p = succès ; compteur dans la boucle ; return après la boucle.

Exemple. Questions types : « Que représente la variable ? », « Que renvoie la fonction ? », « Compléter le test ». Exemple : une joueuse marque un tir au but avec la probabilité $0, 8$ .

from random import random

def tirs(n):
    buts = 0
    for t in range(n):
        if random() < 0.8:
            buts = buts + 1
    return buts / n

buts compte les buts sur $n$ tirs ; la fonction renvoie leur fréquence, proche de $0, 8$ quand $n$ est grand.

Attention — random() > 0.8 serait vrai avec la probabilité $1 - 0, 8$ , pas $0, 8$ .

Les pièges

Confondre fréquence et probabilité : $f$ change à chaque échantillon, $p$ est fixe.
Confondre effectif et fréquence : $54$ succès n’est pas une fréquence, $\frac{54}{150}$ en est une.
Croire à la compensation : une pièce qui a donné plusieurs faces n’a pas « plus de chances » de donner pile.
Appliquer la loi des grands nombres à $10$ lancers : elle ne dit rien pour un petit échantillon.
Regrouper des séries en faisant la moyenne de leurs fréquences au lieu du total des succès divisé par le total des répétitions.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question de hasard, puis un exemple rédigé pour chacun des cinq cas : sac de jetons jaunes, deux échantillons d’une même urne, 50 000 lancers de pièce, gobelet lancé 2 500 fois et fonction Python de tirs au but. Elle se termine par cinq pièges et se télécharge en PDF.

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