Fiche de révision : calcul littéral

Développer et réduire, identités remarquables dans les deux sens, factoriser et choisir la forme adaptée, expressions fractionnaires (valeurs interdites, simplification, même dénominateur), isoler une variable dans une formule.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Calcul littéral

Fiche méthode

(Maths 2nde · Nombres et calculs · Algèbre)

La démarche face à une expression

1. Je regarde la structure de l’expression : somme, produit, quotient, ou formule à transformer.

2. Je lis la consigne : développer (produit → somme), factoriser (somme → produit), simplifier un quotient, isoler une lettre.

3. J’applique la règle du cas : distributivité, identité remarquable, facteur commun, valeurs interdites, opérations inverses.

4. Je contrôle : je redéveloppe une factorisation, je teste $x = 1$ sur un développement, je fais une application numérique sur une formule.

Le réflexe — un résultat de calcul littéral se contrôle toujours : redévelopper ou tester une valeur prend dix secondes et évite la plupart des erreurs de signe.

Cas 1 · Développer et réduire

Réflexe — chaque produit à part ; parenthèse gardée après un « moins » ; termes de même degré regroupés ; contrôle avec x = 1.

Exemple. Questions types : « Développer et réduire… », « Démontrer que pour tout réel $x$ … ». Exemple : $E = 3 (2 x - 1) - (x + 4) (x - 2)$ .

$3 (2 x - 1) = 6 x - 3$ et $(x + 4) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 4 x - 8$ $= x^{2} + 2 x - 8$ .

$E = 6 x - 3 - (x^{2} + 2 x - 8)$ $= 6 x - 3 - x^{2} - 2 x + 8$ $= - x^{2} + 4 x + 5$ .

Contrôle en $x = 1$ : $3 \times 1 - 5 \times (- 1) = 8$ et $- 1 + 4 + 5 = 8$ .

Attention — −(x² + 2x − 8) = −x² − 2x + 8 : tous les signes changent.

Cas 2 · Développer avec une identité remarquable

Réflexe — je nomme a et b, j’écris a², 2ab, b² avec des parenthèses.

Exemple. Questions types : « Développer en précisant l’identité utilisée ». Exemple : $(5 x - 1)^{2}$ .

Identité $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ avec $a = 5 x$ et $b = 1$ .

$a^{2} = (5 x)^{2} = 25 x^{2}$ ; $2 a b = 2 \times 5 x \times 1 = 10 x$ ; $b^{2} = 1$ .

Donc $(5 x - 1)^{2} = 25 x^{2} - 10 x + 1$ .

Attention — (5x)² = 25x², pas 5x² ; et le double produit 2ab ne s’oublie jamais.

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Cas 3 · Factoriser

Réflexe — facteur commun d’abord ; sinon 3 termes → (a ± b)², 2 termes avec « − » → a² − b² ; je redéveloppe pour contrôler.

Exemple. Questions types : « Factoriser… », « Factoriser le plus possible ». Exemple : $25 - (x + 2)^{2}$ .

Deux termes séparés par un « moins » : $a^{2} - b^{2}$ avec $a = 5$ et $b = x + 2$ .

$25 - (x + 2)^{2}$ $= (5 - (x + 2)) (5 + (x + 2))$ $= (3 - x) (7 + x)$ .

Contrôle : $(3 - x) (7 + x) = 21 + 3 x - 7 x - x^{2}$ $= - x^{2} - 4 x + 21$ , et $25 - (x^{2} + 4 x + 4)$ $= - x^{2} - 4 x + 21$ .

Attention — b = x + 2 est une parenthèse entière : 5 − (x + 2) = 3 − x.

Cas 4 · Expressions fractionnaires

Réflexe — valeurs interdites d’abord ; même dénominateur pour une somme ; on ne simplifie qu’un facteur.

Exemple. Questions types : « Donner les valeurs interdites », « Écrire sous la forme d’un seul quotient ». Exemple : $\frac{2}{x} - \frac{1}{x + 5}$ .

Valeurs interdites : $0$ et $- 5$ .

Dénominateur commun $x (x + 5)$ : $\frac{2 (x + 5)}{x (x + 5)} - \frac{x}{x (x + 5)}$ $= \frac{2 x + 10 - x}{x (x + 5)}$ $= \frac{x + 10}{x (x + 5)}$ , pour $x \neq 0$ et $x \neq - 5$ .

Attention — le « moins » devant la seconde fraction porte sur tout son numérateur.

Cas 5 · Isoler une variable

Réflexe — j’enlève d’abord ce qui est ajouté ou soustrait, puis je divise par le facteur (non nul).

Exemple. Questions types : « Exprimer $ℓ$ en fonction de $P$ et de $L$ ». Exemple : périmètre d’un rectangle $P = 2 (L + ℓ)$ .

On divise par $2$ : $\frac{P}{2} = L + ℓ$ .

On soustrait $L$ : $ℓ = \frac{P}{2} - L$ .

Contrôle : $P = 30$ cm et $L = 9$ cm donnent $ℓ = 15 - 9 = 6$ cm, et $2 (9 + 6) = 30$ .

Attention — diviser par 2 porte sur tout le membre : P/2 = L + ℓ, pas P/2 = L + 2ℓ.

Les pièges

8 − (3x − 2) = 10 − 3x : le « moins » change le signe de −2.
(a + b)² ≠ a² + b² : il manque le double produit 2ab.
x² + 16 ne se factorise pas : une somme de deux carrés reste une somme.
(x + 5)/5 ne se simplifie pas en x : seul un facteur commun se simplifie.
1/a + 1/b ≠ 2/(a + b) : on passe au dénominateur commun ab.
Une forme simplifiée ne supprime pas les valeurs interdites du départ.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode de calcul littéral donne la démarche face à une expression (lire sa structure, appliquer la règle, contrôler), puis un exemple corrigé pour chaque cas : développer et réduire, développer avec une identité remarquable, factoriser une différence de deux carrés, écrire une somme de fractions sur un même dénominateur, isoler une variable dans le périmètre d’un rectangle. Elle se termine par les six pièges les plus coûteux en devoir.

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