Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse

Système, référentiel et vecteur position ; vitesse moyenne et vitesse instantanée ; vecteur vitesse en coordonnées ; vecteur variation de vitesse construit sur une chronophotographie ou calculé en Python ; vecteur variation de vitesse et nature du mouvement.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le cheval de bois d’un carrousel, la distance d’arrêt d’une voiture à partir d’un relevé de positions, un mobile autoporteur sur une table inclinée, la vitesse d’un point du pneu d’un vélo selon le référentiel, et la traversée d’une rivière à la nage, avec le cap à prendre pour arriver juste en face.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je précise le système et le référentiel, et, s’il faut changer de référentiel, je vérifie que l’un est en translation par rapport à l’autre.
Je convertis : km·h⁻¹ en m·s⁻¹, cm et ms en m et s, distances du document en distances réelles.
J’encadre la date étudiée par les deux positions voisines, séparées de $2 τ$ .
Je travaille en coordonnées : $v_{x}$ , $v_{y}$ , puis $Δ v_{x}$ , $Δ v_{y}$ , en gardant les signes, et les normes par Pythagore.
Je conclus sur $Δ \vec{v}$ : direction, sens, norme, longueur de la flèche, et nature du mouvement.

Problème 1 · Le cheval de bois d’un carrousel★★★Facile

Un carrousel tourne régulièrement. Un cheval de bois placé à 6,0 m de l’axe fait un tour en 30 s. On étudie le point C, centre du cheval, dans le référentiel terrestre ; on néglige le mouvement de montée et de descente du cheval.

1. Le mouvement de C est uniforme.
C décrit un cercle de rayon 6,0 m à vitesse de valeur constante : mouvement circulaire uniforme, de période 30 s.
2. Distance parcourue par C en un tour : m
$2 π R = 2 π \times 6, 0 \approx 37, 7$ m.
3. Valeur de la vitesse de C : m·s⁻¹
$v = \frac{37, 7}{30} \approx 1, 26$ m·s⁻¹.
4. Vitesse de C en km·h⁻¹ :
$\frac{2 π \times 6, 0}{30} \times 3, 6 \approx 4, 52$ km·h⁻¹ : l’allure d’un piéton.
5. Norme de $Δ \vec{v}$ entre deux positions diamétralement opposées : m·s⁻¹
Les deux vecteurs vitesse ont même norme et des sens opposés : $Δ \vec{v} = {\vec{v}}_{2} - {\vec{v}}_{1} = - 2 {\vec{v}}_{1}$ , de norme $2 v \approx 2, 51$ m·s⁻¹.
6. Entre deux dates voisines, $Δ \vec{v}$ reporté en C est dirigé vers l’ du carrousel.
Mouvement circulaire uniforme : $Δ \vec{v}$ est dirigé vers le centre du cercle, sur l’axe du carrousel.

Problème 2 · La distance d’arrêt d’une voiture★★★Moyen

Une voiture roule en ligne droite à 90 km·h⁻¹. Le conducteur aperçoit un obstacle et commence à freiner 1,0 s plus tard (temps de réaction), sans changer de vitesse pendant cette seconde. Une caméra relève la position x de la voiture toutes les 0,50 s à partir du début du freinage :

t (s)	0	0,50	1,00	1,50	2,00	2,50
x (m)	0	11,75	22,00	30,75	38,00	43,75

On admet que la vitesse continue de diminuer au même rythme jusqu’à l’arrêt, atteint 52,1 m après le début du freinage.

1. Vitesse de la voiture avant le freinage : m·s⁻¹
$\frac{90}{3, 6} = 25, 0$ m·s⁻¹.
2. Distance parcourue pendant le temps de réaction : m
Mouvement uniforme pendant 1,0 s : $25, 0 \times 1, 0 = 25, 0$ m.
3. Vitesse à la date t = 1,00 s : m·s⁻¹
Intervalle centré de 1,00 s : $v = \frac{30, 75 - 11, 75}{1, 00} = 19, 0$ m·s⁻¹.
4. Vitesse à la date t = 2,00 s : m·s⁻¹
$v = \frac{43, 75 - 30, 75}{1, 00} = 13, 0$ m·s⁻¹.
5. La valeur de la vitesse diminue de m·s⁻¹ toutes les 0,50 s.
À 0,50 s : $\frac{22, 00 - 0}{1, 00} = 22, 0$ m·s⁻¹ ; à 1,50 s : $\frac{38, 00 - 22, 00}{1, 00} = 16, 0$ m·s⁻¹. La suite 22,0 ; 19,0 ; 16,0 ; 13,0 baisse de 3,0 m·s⁻¹ par demi-seconde ; elle part bien de 25,0 m·s⁻¹ à t = 0.
6. Pendant le freinage, $Δ \vec{v}$ est de sens à celui du mouvement.
Trajectoire droite, vitesse qui diminue : mouvement rectiligne ralenti, $Δ \vec{v}$ de sens opposé au mouvement.
7. Durée totale du freinage : s
Il faut perdre 25,0 m·s⁻¹ à raison de 3,0 m·s⁻¹ toutes les 0,50 s : $\frac{25, 0}{3, 0} \times 0, 50 \approx 4, 17$ s.
8. Distance d’arrêt totale : m
Distance de réaction + distance de freinage : $25, 0 + 52, 1 = 77, 1$ m.

Problème 3 · Un mobile autoporteur sur une table inclinée★★★Moyen

Un mobile autoporteur est lâché sans vitesse initiale sur une table inclinée. Un dispositif marque sa position toutes les τ = 40 ms le long de la ligne de plus grande pente :

Position	M₁	M₂	M₃	M₄	M₅	M₆
x (m)	0	0,024	0,056	0,096	0,144	0,200

1. Chaque écart entre deux positions successives dépasse le précédent de m.
Écarts : 0,024 ; 0,032 ; 0,040 ; 0,048 ; 0,056 m. Chacun dépasse le précédent de 0,008 m : les écarts augmentent régulièrement.
2. Vitesse en $M_{2}$ : m·s⁻¹
$2 τ = 0, 080$ s ; $v_{2} = \frac{0, 056 - 0}{0, 080} = 0, 70$ m·s⁻¹.
3. Vitesse en $M_{5}$ : m·s⁻¹
$v_{5} = \frac{0, 200 - 0, 096}{0, 080} = 1, 30$ m·s⁻¹.
4. D’une date à la suivante, la vitesse augmente de m·s⁻¹.
$v_{3} = \frac{0, 096 - 0, 024}{0, 080} = 0, 90$ m·s⁻¹ et $v_{4} = \frac{0, 144 - 0, 056}{0, 080} = 1, 10$ m·s⁻¹ : 0,70 ; 0,90 ; 1,10 ; 1,30, soit 0,20 m·s⁻¹ de plus toutes les 40 ms.
5. Norme de $Δ \vec{v}$ entre les dates de $M_{2}$ et de $M_{5}$ : m·s⁻¹
Trajectoire droite : tous les vecteurs vitesse sont portés par la ligne de plus grande pente, et $‖ Δ \vec{v} ‖ = 1, 30 - 0, 70 = 0, 60$ m·s⁻¹.
6. Longueur de la flèche de ce $Δ \vec{v}$ à l’échelle 1 cm pour 0,10 m·s⁻¹ : cm
$\frac{0, 60}{0, 10} = 6, 0$ cm, flèche orientée vers le bas de la pente, comme le mouvement, puisque la vitesse augmente.
7. Le quotient $\frac{M_{1} M_{2}}{τ}$ n’est pas la vitesse en $M_{1}$ , mais la vitesse entre $M_{1}$ et $M_{2}$ .
$\frac{0, 024}{0, 040} = 0, 60$ m·s⁻¹ : c’est la vitesse moyenne entre $M_{1}$ et $M_{2}$ , proche de la vitesse au milieu de l’intervalle. En $M_{1}$ , le mobile est lâché sans vitesse ; aucun intervalle centré n’y est possible faute de position précédente.

Problème 4 · Un point du pneu d’un vélo★★★Difficile

Un cycliste roule en ligne droite à la vitesse constante de 5,1 m·s⁻¹. Les roues ont un rayon de 0,34 m et roulent sans glisser : un tour de roue fait avancer le vélo d’une circonférence. On étudie un point P du pneu de la roue avant. Le cadre du vélo est en translation par rapport à la route.

1. Distance parcourue par le vélo pendant un tour de roue : m
$2 π R = 2 π \times 0, 34 \approx 2, 14$ m.
2. Période de rotation de la roue : s
$T = \frac{2, 14}{5, 1} \approx 0, 419$ s.
3. Nombre de tours de roue par minute :
$\frac{60}{0, 419} \approx 143$ tours par minute.
4. Dans le référentiel du cadre, la vitesse de P est égale à la vitesse du .
Dans ce référentiel, l’axe est fixe : P décrit un cercle à $v = \frac{2 π R}{T} = \frac{2, 14}{0, 419} \approx 5, 1$ m·s⁻¹, la vitesse du vélo : c’est la traduction du roulement sans glissement.
5. Vitesse de P dans le référentiel terrestre quand P est au sommet de la roue : m·s⁻¹
Au sommet, ${\vec{v}}_{P / cadre}$ est horizontal vers l’avant, comme ${\vec{v}}_{cadre / sol}$ : $5, 1 + 5, 1 = 10, 2$ m·s⁻¹, soit 36,7 km·h⁻¹.
6. Vitesse de P dans le référentiel terrestre quand P touche la route : m·s⁻¹
Au contact, ${\vec{v}}_{P / cadre}$ est horizontal vers l’arrière, de valeur 5,1 m·s⁻¹ : la somme avec ${\vec{v}}_{cadre / sol}$ est nulle. Le point de contact est immobile sur la route : le pneu ne glisse pas.
7. Vitesse de P dans le référentiel terrestre quand P est à l’avant de la roue, à hauteur de l’axe : m·s⁻¹
La roue tourne vers l’avant : à l’avant, ${\vec{v}}_{P / cadre}$ est vertical, vers le bas, de valeur 5,1 m·s⁻¹. Avec ${\vec{v}}_{cadre / sol} (5, 1; 0)$ : ${\vec{v}}_{P / sol} (5, 1; - 5, 1)$ , de valeur $5, 1 \sqrt{2} \approx 7, 2$ m·s⁻¹. La trajectoire de P dans le référentiel terrestre est une suite d’arches (une cycloïde), et non un cercle.

Problème 5 · Traverser une rivière à la nage★★★Difficile

Une rivière de 45 m de large a un courant régulier de 0,70 m·s⁻¹, parallèle aux berges : l’eau est en translation par rapport à la berge. Un nageur part d’une rive et nage à 1,20 m·s⁻¹ par rapport à l’eau, en se dirigeant perpendiculairement aux berges. Un radeau dérive avec le courant.

1. Durée de la traversée : s
Seule la vitesse du nageur par rapport à l’eau, perpendiculaire aux berges, le rapproche de l’autre rive : $\frac{45}{1, 20} = 37, 5$ s.
2. Distance dont il est déporté vers l’aval : m
Pendant 37,5 s, le courant l’entraîne parallèlement aux berges : $0, 70 \times 37, 5 \approx 26, 3$ m.
3. Valeur de sa vitesse dans le référentiel de la berge : m·s⁻¹
${\vec{v}}_{/ berge} = {\vec{v}}_{/ eau} + {\vec{v}}_{eau / berge}$ , deux vecteurs perpendiculaires : $\sqrt{1, 20^{2} + 0, 70^{2}} = \sqrt{1, 93} \approx 1, 39$ m·s⁻¹.
4. Angle de sa trajectoire avec la perpendiculaire aux berges : °
$\tan α = \frac{0, 70}{1, 20}$ , d’où $α \approx 30, 3$ ° : une droite oblique vers l’aval.
5. Dans le référentiel du radeau, la trajectoire du nageur est une droite aux berges.
Le radeau est immobile par rapport à l’eau : dans son référentiel, le courant n’existe plus, et le nageur va tout droit, perpendiculairement aux berges, à 1,20 m·s⁻¹. Les deux descriptions sont justes, dans deux référentiels différents.
6. Pour arriver juste en face, angle à viser vers l’amont par rapport à la perpendiculaire aux berges : °
La composante de ${\vec{v}}_{/ eau}$ parallèle aux berges doit compenser le courant : $1, 20 \times \sin β = 0, 70$ , d’où $\sin β \approx 0, 583$ et $β \approx 35, 7$ °.
7. Durée de cette traversée : s
Il reste, perpendiculairement aux berges, $\sqrt{1, 20^{2} - 0, 70^{2}} = \sqrt{0, 95} \approx 0, 975$ m·s⁻¹ : $\frac{45}{0, 975} \approx 46, 2$ s. Arriver en face coûte presque 9 s de plus.

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