Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie
Chute libre et mouvement dans un champ de pesanteur
Étude cinématique et dynamique des mouvements en chute libre et en projection — programme de 1re Spécialité
À propos de cette page
Le champ de pesanteur uniforme
La Terre exerce sur tout objet de masse $m$ une force gravitationnelle appelée poids. Près de la surface terrestre, ce champ est dit uniforme : il a la même intensité et la même direction en tout point d'une région donnée.
L'intensité du poids : $P = mg$ (en newtons, si $m$ en kg et $g$ en m·s⁻²).
| Grandeur | Symbole | Unité SI |
|---|---|---|
| Champ de pesanteur | $g$ | N·kg⁻¹ = m·s⁻² |
| Masse | $m$ | kg |
| Poids | $P$ | N (newton) |
Définition de la chute libre
D'après la deuxième loi de Newton appliquée à l'objet de masse $m$ en chute libre :
$$\sum \vec{F} = m\vec{a} \implies \vec{P} = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$$L'accélération d'un objet en chute libre est égale au champ de pesanteur $\vec{g}$ : elle est constante, verticale et dirigée vers le bas, indépendamment de la masse de l'objet.
Équations horaires du mouvement
On place le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec $\vec{j}$ orienté vers le haut. L'accélération de l'objet est $\vec{a} = -g\,\vec{j}$.
On intègre deux fois pour obtenir les équations horaires :
Composantes de la vitesse :
$$v_x(t) = v_{x0}$$
$$v_y(t) = v_{y0} - g\,t$$
Équations de position (avec $(x_0, y_0)$ position initiale) :
$$x(t) = x_0 + v_{x0}\,t$$
$$y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \frac{1}{2}g\,t^2$$
où $v_{x0}$ et $v_{y0}$ sont les composantes de la vitesse initiale $\vec{v_0}$.
- Définir le repère et l'instant $t=0$.
- Identifier $(x_0, y_0, v_{x0}, v_{y0})$.
- Écrire les équations horaires.
- Répondre aux questions en éliminant $t$ ou en résolvant l'équation horaire souhaitée.
Schéma : de la 2e loi de Newton aux équations horaires par intégration successive.
Mouvement de chute verticale
Cas particulier : l'objet est lâché sans vitesse initiale (ou avec une vitesse initiale verticale).
$$x(t) = 0 \quad\text{(le mouvement est vertical)}$$
$$y(t) = h - \frac{1}{2}g\,t^2$$
$$v_y(t) = -g\,t \quad (\text{vitesse croissante en module})$$
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré : la vitesse augmente proportionnellement au temps, la distance parcourue est proportionnelle à $t^2$.
$y = 0 \Rightarrow 20 - \frac{1}{2}\times 9{,}8\times t^2 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2\times 20}{9{,}8}} \approx 2{,}02$ s.
Vitesse à l'impact : $v = g\,t \approx 9{,}8 \times 2{,}02 \approx 19{,}8$ m·s⁻¹.
Graphique : évolution de la position et de la vitesse lors d'une chute libre verticale depuis 20 m.
Mouvement parabolique (projectile)
Lorsqu'un objet est lancé avec une vitesse initiale non verticale, il suit une trajectoire parabolique. Ce cas est fondamental en balistique.
On choisit l'origine à la position initiale du projectile : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$. La vitesse initiale fait un angle $\theta$ avec l'horizontale :
$$v_{x0} = v_0\cos\theta \qquad v_{y0} = v_0\sin\theta$$$$x(t) = v_0\cos\theta\cdot t$$
$$y(t) = v_0\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}g\,t^2$$
Équation de la trajectoire : en éliminant $t$ de la relation $t = \frac{x}{v_0\cos\theta}$, on obtient :
$$y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$$C'est bien une parabole ($y$ est une fonction du second degré en $x$).
$v_{x0} = 15\cos 30° \approx 13{,}0$ m·s⁻¹ ; $v_{y0} = 15\sin 30° = 7{,}5$ m·s⁻¹.
Portée, hauteur maximale et durée de vol
Pour un lancer depuis le sol (même hauteur d'atterrissage que de départ) :
$$T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$
Portée. Distance horizontale à l'impact :
$$x_{\max} = v_0\cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$$
Hauteur maximale. Atteinte quand $v_y = 0$, soit $t^* = \frac{v_0\sin\theta}{g}$ :
$$h_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$
La portée est maximale pour $\theta = 45°$ (car $\sin(2\times 45°) = \sin 90° = 1$).
$T = \frac{2\times 20\times \sin 45°}{9{,}8} \approx \frac{28{,}28}{9{,}8} \approx 2{,}89$ s.
$x_{\max} = \frac{20^2}{9{,}8} \approx 40{,}8$ m.
$h_{\max} = \frac{20^2 \times 0{,}5}{2\times 9{,}8} \approx 10{,}2$ m.
Graphique : la portée est maximale à 45° et symétrique de part et d'autre.
Énergie mécanique en chute libre
En chute libre (seule force = poids, force conservative), l'énergie mécanique se conserve.
$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{constante}$$
En chute libre entre deux points A et B :
$$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgy_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgy_B$$
On peut ainsi calculer la vitesse à n'importe quelle hauteur sans utiliser les équations horaires.
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9{,}8\times 15} \approx 17{,}1$ m·s⁻¹.
- En chute libre : $\vec{a} = \vec{g}$ (verticale, vers le bas, $g \approx 9{,}8$ m·s⁻²), indépendante de la masse.
- Équations horaires : $x = x_0 + v_{x0}t$ ; $y = y_0 + v_{y0}t - \frac{1}{2}gt^2$.
- Mouvement horizontal = uniforme ; mouvement vertical = uniformément accéléré.
- Trajectoire parabolique : $y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$.
- Portée max pour $\theta = 45°$ : $x_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$.
- Conservation de l'énergie : $E_m = \frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{cst}$.
Cours particuliers de spécialité physique-chimie à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de physique-chimie à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs