À propos de cette page
Ce cours de spécialité physique-chimie en première sur « Chute libre et mouvement dans un champ de pesanteur » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le champ de pesanteur uniforme, Définition de la chute libre, Équations horaires du mouvement, Mouvement de chute verticale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité physique-chimie.
Au programme
1 · Le champ de pesanteur uniforme
2 · Définition de la chute libre
3 · Équations horaires du mouvement
4 · Mouvement de chute verticale
5 · Mouvement parabolique (projectile)
6 · Portée, hauteur maximale et durée de vol
7 · Énergie mécanique en chute libre
1Le champ de pesanteur uniforme
La Terre exerce sur tout objet de masse $m$ une force gravitationnelle appelée poids. Près de la surface terrestre, ce champ est dit uniforme : il a la même intensité et la même direction en tout point d'une région donnée.
Définition. Le champ de pesanteur $\vec{g}$ est un champ vectoriel, vertical, dirigé vers le bas, d'intensité $g \approx 9{,}8$ m·s⁻² (valeur standard). Le poids d'un objet de masse $m$ est : $$\vec{P} = m\vec{g}$$
L'intensité du poids : $P = mg$ (en newtons, si $m$ en kg et $g$ en m·s⁻²).
Astuce. La valeur $g$ peut varier légèrement selon le lieu (à Paris $g \approx 9{,}81$ m·s⁻², à l'équateur $g \approx 9{,}78$ m·s⁻²). En classe, on utilise souvent $g = 9{,}8$ m·s⁻² ou la valeur indiquée dans l'énoncé.
| Grandeur | Symbole | Unité SI |
|---|
| Champ de pesanteur | $g$ | N·kg⁻¹ = m·s⁻² |
| Masse | $m$ | kg |
| Poids | $P$ | N (newton) |
2Définition de la chute libre
Définition. Un objet est en chute libre lorsque la seule force qui s'exerce sur lui est son poids. On néglige les frottements (air) et toute autre force de contact.
D'après la deuxième loi de Newton appliquée à l'objet de masse $m$ en chute libre :
$$\sum \vec{F} = m\vec{a} \implies \vec{P} = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$$
L'accélération d'un objet en chute libre est égale au champ de pesanteur $\vec{g}$ : elle est constante, verticale et dirigée vers le bas, indépendamment de la masse de l'objet.
Attention ! En réalité, l'air exerce des frottements (force de traînée). La chute libre est une idéalisation. On parle de chute libre quand les frottements sont négligeables (objet dense, vitesse modérée).
Exemple. Une bille de métal lâchée sans vitesse initiale et une plume dans le vide tombent avec la même accélération $g$. C'est ce qu'a démontré Galilée (et expérimenté en apesanteur lors des missions Apollo).
3Équations horaires du mouvement
On place le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec $\vec{j}$ orienté vers le haut. L'accélération de l'objet est $\vec{a} = -g\,\vec{j}$.
On intègre deux fois pour obtenir les équations horaires :
Équations horaires générales.
Composantes de la vitesse :
$$v_x(t) = v_{x0}$$
$$v_y(t) = v_{y0} - g\,t$$
Équations de position (avec $(x_0, y_0)$ position initiale) :
$$x(t) = x_0 + v_{x0}\,t$$
$$y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \frac{1}{2}g\,t^2$$
où $v_{x0}$ et $v_{y0}$ sont les composantes de la vitesse initiale $\vec{v_0}$.
Astuce méthode.- Définir le repère et l'instant $t=0$.
- Identifier $(x_0, y_0, v_{x0}, v_{y0})$.
- Écrire les équations horaires.
- Répondre aux questions en éliminant $t$ ou en résolvant l'équation horaire souhaitée.
Schéma : de la 2e loi de Newton aux équations horaires par intégration successive.
4Mouvement de chute verticale
Cas particulier : l'objet est lâché sans vitesse initiale (ou avec une vitesse initiale verticale).
Chute verticale depuis le repos. Si l'objet part de l'origine $(0, h)$ avec $v_0 = 0$ :
$$x(t) = 0 \quad\text{(le mouvement est vertical)}$$
$$y(t) = h - \frac{1}{2}g\,t^2$$
$$v_y(t) = -g\,t \quad (\text{vitesse croissante en module})$$
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré : la vitesse augmente proportionnellement au temps, la distance parcourue est proportionnelle à $t^2$.
Exemple numérique. Un objet est lâché depuis $h = 20$ m. Quand touche-t-il le sol ?
$y = 0 \Rightarrow 20 - \frac{1}{2}\times 9{,}8\times t^2 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2\times 20}{9{,}8}} \approx 2{,}02$ s.
Vitesse à l'impact : $v = g\,t \approx 9{,}8 \times 2{,}02 \approx 19{,}8$ m·s⁻¹.
Graphique : évolution de la position et de la vitesse lors d'une chute libre verticale depuis 20 m.
5Mouvement parabolique (projectile)
Lorsqu'un objet est lancé avec une vitesse initiale non verticale, il suit une trajectoire parabolique. Ce cas est fondamental en balistique.
On choisit l'origine à la position initiale du projectile : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$. La vitesse initiale fait un angle $\theta$ avec l'horizontale :
$$v_{x0} = v_0\cos\theta \qquad v_{y0} = v_0\sin\theta$$
Équations horaires du mouvement parabolique.
$$x(t) = v_0\cos\theta\cdot t$$
$$y(t) = v_0\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}g\,t^2$$
Équation de la trajectoire : en éliminant $t$ de la relation $t = \frac{x}{v_0\cos\theta}$, on obtient :
$$y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$$
C'est bien une parabole ($y$ est une fonction du second degré en $x$).
Exemple. Un ballon est lancé à $v_0 = 15$ m·s⁻¹ à $\theta = 30°$.
$v_{x0} = 15\cos 30° \approx 13{,}0$ m·s⁻¹ ; $v_{y0} = 15\sin 30° = 7{,}5$ m·s⁻¹.
Attention ! Le mouvement horizontal est uniforme ($v_x = \text{constante}$) et le mouvement vertical est uniformément accéléré ($a_y = -g$). Il faut toujours traiter les deux axes séparément.
6Portée, hauteur maximale et durée de vol
Pour un lancer depuis le sol (même hauteur d'atterrissage que de départ) :
Durée totale de vol. $y(T) = 0$ avec $T > 0$ :
$$T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$
Portée. Distance horizontale à l'impact :
$$x_{\max} = v_0\cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$$
Hauteur maximale. Atteinte quand $v_y = 0$, soit $t^* = \frac{v_0\sin\theta}{g}$ :
$$h_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$
La portée est maximale pour $\theta = 45°$ (car $\sin(2\times 45°) = \sin 90° = 1$).
Application numérique. $v_0 = 20$ m·s⁻¹, $\theta = 45°$, $g = 9{,}8$ m·s⁻².
$T = \frac{2\times 20\times \sin 45°}{9{,}8} \approx \frac{28{,}28}{9{,}8} \approx 2{,}89$ s.
$x_{\max} = \frac{20^2}{9{,}8} \approx 40{,}8$ m.
$h_{\max} = \frac{20^2 \times 0{,}5}{2\times 9{,}8} \approx 10{,}2$ m.
Graphique : la portée est maximale à 45° et symétrique de part et d'autre.
7Énergie mécanique en chute libre
En chute libre (seule force = poids, force conservative), l'énergie mécanique se conserve.
Conservation de l'énergie mécanique.
$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{constante}$$
En chute libre entre deux points A et B :
$$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgy_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgy_B$$
On peut ainsi calculer la vitesse à n'importe quelle hauteur sans utiliser les équations horaires.
Exemple. Un objet lâché depuis $h = 15$ m. Vitesse juste avant l'impact ($y=0$) :
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9{,}8\times 15} \approx 17{,}1$ m·s⁻¹.
Astuce. La conservation de l'énergie mécanique est souvent plus rapide que les équations horaires quand on cherche une vitesse à une hauteur donnée, sans s'intéresser aux durées.
★À retenir
À retenir :
• En chute libre : $\vec{a} = \vec{g}$ (verticale, vers le bas, $g \approx 9{,}8$ m·s⁻²), indépendante de la masse.
• Équations horaires : $x = x_0 + v_{x0}t$ ; $y = y_0 + v_{y0}t - \frac{1}{2}gt^2$.
• Mouvement horizontal = uniforme ; mouvement vertical = uniformément accéléré.
• Trajectoire parabolique : $y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$.
• Portée max pour $\theta = 45°$ : $x_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$.
• Conservation de l'énergie : $E_m = \frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{cst}$.