Qu'est-ce qu'une chute libre en physique ?

Un système est en chute libre lorsque le poids est la seule force extérieure qui s'exerce sur lui : on néglige les frottements de l'air, la poussée d'Archimède et toute action de contact. Un ballon lancé en l'air est donc en chute libre pendant toute sa montée et toute sa descente, même s'il ne tombe pas verticalement.

Quelles sont les équations horaires de la chute libre ?

Avec un axe vertical ascendant et une vitesse initiale de valeur v0 inclinée d'un angle α, on obtient x(t) = v0·cos(α)·t et y(t) = −½·g·t² + v0·sin(α)·t + y0. Les composantes de la vitesse sont vx = v0·cos(α), constante, et vy = −g·t + v0·sin(α).

Pourquoi la masse n'intervient-elle pas dans la chute libre ?

La deuxième loi de Newton donne m·a = m·g, donc a = g après simplification par la masse. Deux objets de masses différentes lâchés de la même hauteur ont la même accélération et touchent le sol en même temps, tant que les frottements de l'air restent négligeables.

Comment trouver l'équation de la trajectoire d'un projectile ?

On exprime la date t en fonction de l'abscisse grâce à x(t) = v0·cos(α)·t, puis on remplace t dans y(t). On obtient y = −g·x²/(2·v0²·cos²α) + x·tan(α) + y0 : une fonction du second degré en x, donc une portion de parabole.

Que vaut g et que représente cette grandeur ?

Au niveau du sol en France, g vaut environ 9,81 N·kg⁻¹ (ou 9,81 m·s⁻²). C'est la valeur du champ de pesanteur terrestre : elle relie la masse au poids par P = m·g et elle donne directement la valeur de l'accélération d'un système en chute libre.

Spécialité Physique-Chimie 1ʳᵉ

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Chute libre et mouvement dans un champ de pesanteur

Étude cinématique et dynamique des mouvements en chute libre et en projection — programme de 1re Spécialité

À propos de cette page

Ce cours de spécialité physique-chimie en première sur « Chute libre et mouvement dans un champ de pesanteur » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : champ de pesanteur, poids et chute libre, Décrire un mouvement : position, vitesse, variation de vitesse, La deuxième loi de Newton appliquée à la chute libre, Chute libre verticale : équations horaires. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité physique-chimie.

L'essentiel : champ de pesanteur, poids et chute libre

Champ de pesanteur uniforme. Au voisinage du sol, sur un domaine de quelques centaines de mètres, le champ de pesanteur

\vec{g}

est considéré comme uniforme : en tout point, même direction (verticale), même sens (vers le bas) et même valeur

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

Poids. Le poids d'un système de masse

m

est la force

\vec{P} = m \vec{g}

, de valeur

P = m g

(en N, avec

m

en kg et

g

en N·kg⁻¹). Le poids est vertical, dirigé vers le bas, et appliqué au centre de masse.

Chute libre. Un système est en chute libre lorsque, dans le référentiel d'étude, le poids est la seule force extérieure qui s'exerce sur lui : ni frottement de l'air, ni poussée d'Archimède, ni action de contact.

« Chute libre » ne veut pas dire « tomber verticalement ». Un ballon lancé en l'air, qui monte puis redescend, est en chute libre pendant tout son vol dès lors qu'on néglige l'air. C'est le bilan des forces qui définit la chute libre, pas la forme de la trajectoire.

Trois situations reviennent sans cesse, et la trajectoire ne dépend que du vecteur vitesse initiale :

Situation	Vitesse initiale	Trajectoire
Objet lâché	nulle	segment de droite verticale
Objet lancé verticalement	verticale	segment de droite verticale
Objet lancé horizontalement ou obliquement	non verticale	portion de parabole

Unité double.

g

s'écrit en N·kg⁻¹ quand on l'utilise comme champ (

P = m g

) et en m·s⁻² quand on l'utilise comme accélération (

a = g

). Les deux écritures désignent la même valeur numérique.

Décrire un mouvement : position, vitesse, variation de vitesse

Vecteur position. Dans un repère

(O; \vec{i}, \vec{j})

lié au référentiel, la position du point M à la date

t

est donnée par

\vec{O M} (t) = x (t) \vec{i} + y (t) \vec{j}

. Les fonctions

x (t)

y (t)

sont les équations horaires du mouvement.

Vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : ses coordonnées valent

v_{x} = \frac{d x}{d t}

v_{y} = \frac{d y}{d t}

. Il est toujours tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et sa valeur est

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

Vecteur accélération. Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse :

a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t}

a_{y} = \frac{d v_{y}}{d t}

. Il est orienté vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire.

Sur un enregistrement (chronophotographie, pointage vidéo) on ne dispose que de positions relevées toutes les $Δ t$ . On remplace alors les dérivées par des taux de variation encadrant le point :

Vitesse à partir d'un pointage.

\vec{v_{n}} \approx \frac{\vec{M_{n - 1} M_{n + 1}}}{2 Δ t}

, soit en coordonnées

v_{x, n} \approx \frac{x_{n + 1} - x_{n - 1}}{2 Δ t}

v_{y, n} \approx \frac{y_{n + 1} - y_{n - 1}}{2 Δ t}

Vecteur variation de vitesse. Entre deux points où la vitesse est connue,

Δ \vec{v} = \vec{v_{n + 1}} - \vec{v_{n - 1}}

, et l'accélération s'estime par

\vec{a_{n}} \approx \frac{Δ \vec{v}}{Δ t^{'}}

, où

Δ t^{'}

est la durée entre les deux dates où les vitesses ont été calculées.

Ne pas confondre les deux durées. Pour la vitesse on divise par

2 Δ t

(on saute un point) ; pour l'accélération on divise par l'écart réel entre les dates des deux vitesses utilisées. Une erreur d'un facteur 2 sur

g

vient presque toujours de là.

La deuxième loi de Newton appliquée à la chute libre

Deuxième loi de Newton. Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse

m

constante modélisé par un point matériel :

\sum {\vec{F}}_{e x t} = m \vec{a}

, où

\vec{a}

est l'accélération du centre de masse.

Accélération d'un système en chute libre (démonstration exigible).

Système : {l'objet}, de masse $m$ . Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
Bilan des forces extérieures : le poids $\vec{P} = m \vec{g}$ seul, puisque l'action de l'air est négligée.
Deuxième loi de Newton : $m \vec{g} = m \vec{a}$ .
La masse est non nulle, on simplifie : $\vec{a} = \vec{g}$ .

Ce résultat est le cœur du chapitre, et il se lit de trois façons :

Trois conséquences.
• L'accélération est constante en direction, en sens et en valeur : le mouvement est uniformément accéléré au sens vectoriel.
• Elle est indépendante de la masse : une bille de plomb et une bille de liège ont la même accélération dans le vide.
• Elle est verticale vers le bas, donc elle n'a aucune composante horizontale : la vitesse horizontale ne change jamais.

Exemple chiffré. Une balle de 145 g en chute libre :

P = 0, 145 \times 9, 81 = 1, 42

N et

a = \frac{P}{m} = \frac{1, 42}{0, 145} = 9, 81

m·s⁻². Changer la masse change le poids, jamais l'accélération.

Quand la chute libre n'est plus un bon modèle. Les frottements de l'air deviennent non négligeables si l'objet est léger, de grande surface, ou très rapide (parachutiste, balle de ping-pong, volant de badminton). L'accélération diminue alors au cours de la chute jusqu'à s'annuler : la vitesse atteint une valeur limite.

Chute libre verticale : équations horaires

On choisit un axe $O y$ vertical orienté vers le haut, d'origine au sol. L'objet est lâché sans vitesse initiale depuis l'altitude $h$ .

Du vecteur accélération aux équations horaires.
• Accélération :

a_{y} = - g

(le signe moins vient de l'orientation de l'axe).
• Vitesse, primitive de l'accélération avec

v_{y} (0) = 0

v_{y} (t) = - g t

.
• Position, primitive de la vitesse avec

y (0) = h

y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + h

Durée de chute et vitesse d'arrivée. On résout

y (t_{c}) = 0

t_{c} = \sqrt{\frac{2 h}{g}}

, puis

v = g t_{c} = \sqrt{2 g h}

. Ni l'une ni l'autre ne dépend de la masse.

Exemple rédigé. Un caillou est lâché du haut d'un immeuble de

h = 45, 0

t_{c} = \sqrt{\frac{2 \times 45, 0}{9, 81}} = \sqrt{9, 17} = 3, 03

v = 9, 81 \times 3, 03 = 29, 7

m·s⁻¹, soit

29, 7 \times 3, 6 = 107

km·h⁻¹. Une chute de 45 m suffit donc à atteindre la vitesse d'une voiture sur route.

Vitesse initiale verticale non nulle. Si l'objet est lancé vers le haut avec la vitesse

v_{0}

depuis l'altitude

y_{0}

v_{y} (t) = - g t + v_{0}

y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + y_{0}

. Le sommet est atteint quand

v_{y} = 0

, c'est-à-dire à

t_{s} = \frac{v_{0}}{g}

, et l'altitude maximale vaut

y_{0} + \frac{v_{0}^{2}}{2 g}

Le signe de $v_{0}$ . Avec un axe vers le haut, un lancer vers le haut donne

v_{0} > 0

, un lancer vers le bas donne

v_{0} < 0

. Si l'on oriente l'axe vers le bas, tous les signes s'inversent (

a_{y} = + g

). Les deux choix sont corrects — mais il faut s'y tenir jusqu'au bout.

Tir oblique : le mouvement parabolique

Le vecteur vitesse initiale a pour valeur $v_{0}$ et fait l'angle $α$ avec l'horizontale ; l'origine du repère est au point de lancement, $O x$ horizontal dans le sens du tir et $O y$ vertical vers le haut.

Conditions initiales.

v_{0 x} = v_{0} \cos α

v_{0 y} = v_{0} \sin α

Équations horaires. Comme

\vec{a} = \vec{g}

a_{x} = 0

a_{y} = - g

, donc

v_{x} (t) = v_{0} \cos α

(constante) et

v_{y} (t) = - g t + v_{0} \sin α

;

x (t) = v_{0} \cos α \times t

y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} \sin α \times t

Indépendance des deux mouvements. La projection horizontale du mouvement est rectiligne uniforme, la projection verticale est celle d'une chute libre verticale. Les deux se superposent sans s'influencer, parce que

\vec{g}

n'a pas de composante horizontale.

Équation de la trajectoire. On tire

t = \frac{x}{v_{0} \cos α}

de la première équation et on le remplace dans la seconde :

y = - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α

. C'est un polynôme du second degré en

x

: la trajectoire est une portion de parabole.

Flèche et portée (terrain horizontal). Sommet à

t_{s} = \frac{v_{0} \sin α}{g}

, d'où la flèche

y_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}

. Le retour au sol a lieu à

T = 2 t_{s}

, d'où la portée

x_{p} = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 α)}{g}

, maximale pour

α = 45 °

Exemple rédigé. Tir à

v_{0} = 20, 0

m·s⁻¹ avec

α = 30 °

v_{0 x} = 17, 3

m·s⁻¹ et

v_{0 y} = 10, 0

m·s⁻¹.
Trajectoire :

y = - 0, 0164 x^{2} + 0, 577 x

.
Flèche :

\frac{10, 0^{2}}{2 \times 9, 81} = 5, 10

m, atteinte à

t_{s} = 1, 02

s.
Portée :

\frac{20, 0^{2} \times \sin 60 °}{9, 81} = 35, 3

Angles complémentaires. Comme

\sin (2 α) = \sin (180 ° - 2 α)

, deux angles dont la somme fait

90 °

donnent la même portée — mais pas la même flèche ni la même durée de vol.

Méthodes

Méthode — Établir les équations horaires d'un mouvement dans un champ de pesanteur

Définir le système et le référentiel (terrestre, supposé galiléen).
Faire le bilan des forces extérieures et conclure à la chute libre.
Appliquer la deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \vec{g}$ , puis projeter sur les axes du repère choisi.
Primitiver deux fois en écrivant les conditions initiales $v_{x} (0), v_{y} (0), x (0), y (0)$ .
Traduire la question en équation ( $y = 0$ pour l'arrivée au sol, $v_{y} = 0$ pour le sommet, $x = d$ pour une cible) et résoudre.

Exemple rédigé. Une pierre est lancée vers le bas à

2, 50

m·s⁻¹ depuis un pont de

7, 50

m. Axe

O y

vers le haut, origine au sol :

v_{y} (t) = - 9, 81 t - 2, 50

y (t) = - 4, 905 t^{2} - 2, 50 t + 7, 50

y = 0

donne

4, 905 t^{2} + 2, 50 t - 7, 50 = 0

, de discriminant

Δ = 2, 50^{2} + 4 \times 4, 905 \times 7, 50 = 153, 4

t_{c} = \frac{- 2, 50 + 12, 39}{2 \times 4, 905} = 1, 01

s, puis

v = 2, 50 + 9, 81 \times 1, 01 = 12, 4

m·s⁻¹.

Méthode — Traiter un tir horizontal

Écrire $v_{0 x} = v_{0}$ et $v_{0 y} = 0$ : la vitesse initiale est entièrement horizontale.
Calculer la durée de chute avec la seule équation verticale : elle ne dépend pas de $v_{0}$ .
Reporter cette durée dans $x (t) = v_{0} t$ pour obtenir la portée.
Pour la vitesse d'impact, calculer $v_{x}$ et $v_{y}$ séparément, puis $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ et $\tan θ = \frac{| v_{y} |}{v_{x}}$ .

Exemple rédigé. Bille lancée horizontalement à

5, 60

m·s⁻¹ depuis

1, 45

m de haut.
Verticale :

t_{c} = \sqrt{\frac{2 \times 1, 45}{9, 81}} = 0, 544

s.
Horizontale :

x = 5, 60 \times 0, 544 = 3, 04

m. La bille touche le sol à

3, 04

m du pied de la table.

Méthode — Tester la chute libre sur un enregistrement

Calculer la vitesse en deux points, chacun par la relation $v_{n} \approx \frac{x_{n + 1} - x_{n - 1}}{2 Δ t}$ (et de même selon $y$ ).
Construire $Δ \vec{v}$ entre ces deux points : vérifier qu'il est vertical et dirigé vers le bas.
Calculer $a = \frac{Δ v}{Δ t^{'}}$ avec $Δ t^{'}$ l'écart entre les deux dates.
Comparer à $g$ par l'écart relatif $\frac{| a - g |}{g}$ : quelques pour cent valident le modèle.

Exemple rédigé. Pointage toutes les

Δ t = 40

ms ; on a trouvé

v_{3} = 1, 18

m·s⁻¹ et

v_{4} = 1, 57

m·s⁻¹, tous deux verticaux vers le bas.

a = \frac{1, 57 - 1, 18}{0, 040} = 9, 75

m·s⁻², soit un écart relatif

\frac{| 9, 75 - 9, 81 |}{9, 81} = 0, 6

%. Le modèle de la chute libre est validé.

Pièges et erreurs classiques

« Au sommet, la vitesse est nulle. » Faux pour un tir oblique : seule la composante verticale

v_{y}

s'annule. La composante horizontale

v_{0} \cos α

ne change jamais, donc au sommet

v = v_{0} \cos α \neq 0

. Ce n'est vrai que pour un lancer strictement vertical.

« La vitesse est nulle, donc l'accélération est nulle. » Vitesse et accélération sont indépendantes. En chute libre,

\vec{a} = \vec{g}

à chaque instant, y compris au sommet : c'est précisément elle qui fait passer

v_{y}

du positif au négatif.

« Plus lourd tombe plus vite. » Faux dans le modèle de la chute libre : la masse se simplifie dans

m \vec{g} = m \vec{a}

. Ce qui fait réellement tomber une feuille de papier plus lentement qu'une bille, ce sont les frottements de l'air — donc la sortie du modèle.

Oublier l'altitude de départ. Dans

y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} \sin α t + y_{0}

, le terme

y_{0}

disparaît souvent des copies. Sur un lancer franc au basket ou un service au tennis, il change complètement le résultat.

Confondre équation horaire et équation de trajectoire.

y (t)

décrit l'altitude en fonction du temps (parabole en

t

y (x)

décrit la forme géométrique du chemin suivi (parabole en

x

). On ne remplace jamais

x

par

t

: il faut passer par

t = \frac{x}{v_{0} \cos α}

Degrés et radians. Les angles de tir sont donnés en degrés : la calculatrice doit être en mode DEG. Un

\cos 30 °

calculé en radians donne

0, 15

au lieu de

0, 87

, et toute la suite est fausse.

En bref

Chute libre = le poids est la seule force extérieure ; la trajectoire peut être verticale ou parabolique.
Deuxième loi de Newton : $m \vec{g} = m \vec{a}$ donc $\vec{a} = \vec{g}$ , indépendante de la masse, constante, verticale vers le bas.
Chute verticale sans vitesse initiale : $t_{c} = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ et $v = \sqrt{2 g h}$ .
Tir oblique : $v_{x} = v_{0} \cos α$ constante, $v_{y} = - g t + v_{0} \sin α$ , $x = v_{0} \cos α t$ , $y = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} \sin α t + y_{0}$ .
Trajectoire : $y = - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α + y_{0}$ — flèche $\frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}$ , portée $\frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}$ , maximale à $45 °$ .
Sur un pointage : $v_{n} \approx \frac{x_{n + 1} - x_{n - 1}}{2 Δ t}$ puis $a \approx \frac{Δ v}{Δ t^{'}}$ — comparer à $g$ pour valider le modèle.

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