Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse

Un tramway roule en ligne droite à vitesse constante. Un contrôleur marche dans l’allée ; un sac est posé sur un siège.

1. Dans le référentiel du tramway, le sac est .
   Sa position par rapport au tramway ne change pas : il est immobile dans ce référentiel.
2. Dans le référentiel terrestre, le mouvement du sac est rectiligne .
   Le sac suit le tramway, qui roule en ligne droite à vitesse constante : mouvement rectiligne uniforme.
3. Un passager affirme : « le contrôleur avance à 1,2 m·s⁻¹ ». Pour que la phrase ait un sens, il doit préciser le .
   La vitesse du contrôleur n’est pas la même par rapport au tramway et par rapport au sol : il faut préciser le référentiel.
4. Pour étudier le mouvement de Mars autour du Soleil, on choisit le référentiel .
   Le référentiel héliocentrique (centre du Soleil, directions d’étoiles lointaines) est adapté aux planètes.
5. Pour étudier le mouvement d’un satellite autour de la Terre, on choisit le référentiel .
   Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre : il convient à la Lune et aux satellites.

Dans un repère lié au sol, un mobile occupe la position A (0,50 ; 0,20) à la date t_A, puis la position B (2,30 ; 1,60) à la date t_A + 0,25 s. Les coordonnées sont en mètres.

1. Norme du vecteur position $\overrightarrow{OA}$ : m
   $OA=\sqrt{0,{50}^2+0,{20}^2}=\sqrt{0,29}\approx 0,54$ m.
2. Coordonnée $x$ du vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ : m
   $x_B-x_A=2,30-0,50=1,80$ m.
3. Coordonnée $y$ du vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ : m
   $y_B-y_A=1,60-0,20=1,40$ m.
4. Distance AB : m
   $AB=\sqrt{1,{80}^2+1,{40}^2}=\sqrt{3,24+1,96}=\sqrt{5,20}\approx 2,28$ m.
5. Si la trajectoire entre A et B est courbe, la distance parcourue est à AB.
   Les coordonnées ne donnent que le départ et l’arrivée ; le chemin réel, s’il est courbe, est plus long que le segment [AB] : la distance parcourue est supérieure à AB.

Par temps calme, sans vent, des gouttes de pluie de taille moyenne tombent verticalement à 6,0 m·s⁻¹ dans le référentiel terrestre. Une voiture roule en ligne droite à 28,8 km·h⁻¹ : elle est en translation par rapport au sol. Repère : axe x horizontal dans le sens de la voiture, axe y vertical vers le haut.

1. Vitesse de la voiture : m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{28,8}{3,6}}=8,0$ m·s⁻¹.
2. Coordonnée $v_x$ d’une goutte dans le référentiel de la voiture : m·s⁻¹
   ${\overrightarrow{v}}_{/\text{sol}}={\overrightarrow{v}}_{/\text{voiture}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{voiture}/\text{sol}}$, donc ${\overrightarrow{v}}_{/\text{voiture}}=(0;-6,0)-(8,0;0)=(-8,0;-6,0)$ : $v_x=-8,0$ m·s⁻¹.
3. Valeur de la vitesse d’une goutte dans le référentiel de la voiture : m·s⁻¹
   $v=\sqrt{8,0^2+6,0^2}=\sqrt{100}=10,0$ m·s⁻¹.
4. Angle des traces de pluie sur la vitre latérale avec la verticale : °
   $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{8,0}{6,0}}$, d’où $\alpha \approx 53,1$° : les traces sont nettement inclinées.
5. Dans le référentiel de la voiture, les gouttes se dirigent vers l’ de la voiture.
   $v_x<0$ : par rapport à la voiture, les gouttes reculent en tombant, vers l’arrière. Les traces obliques ne viennent pas du vent : elles viennent du changement de référentiel.

Donner les résultats avec trois chiffres significatifs.

1. Un TER parcourt 47,5 km en 38,0 min. Sa vitesse moyenne vaut m·s⁻¹
   $d=47500$ m et $\Delta t=38,0\times 60=2280$ s, donc $v_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{47500}{2280}}\approx 20,8$ m·s⁻¹.
2. Cette vitesse moyenne vaut km·h⁻¹
   ${\displaystyle \frac{47,5}{38,0÷60}}=75,0$ km·h⁻¹. On multiplie la valeur non arrondie par 3,6 : partir de 20,8 donnerait 74,9, un écart dû à l’arrondi.
3. Un véhicule roule à 108 km·h⁻¹, soit m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{108}{3,6}}=30,0$ m·s⁻¹.
4. À la vitesse moyenne du TER, la durée pour parcourir 12,0 km est s
   $\Delta t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{12000\times 2280}{47500}}=576$ s, soit 9 min 36 s. Avec la valeur arrondie 20,8 m·s⁻¹, on trouverait 577 s : on garde la valeur exacte dans les calculs.

Un mobile se déplace en ligne droite ; ses positions sont enregistrées toutes les τ = 25 ms. Abscisses, en mètres : M₁ : 0 ; M₂ : 0,030 ; M₃ : 0,068 ; M₄ : 0,114 ; M₅ : 0,168.

1. Vitesse $v_2$ : m·s⁻¹
   Intervalle centré, $2\tau =0,050$ s : $v_2={\displaystyle \frac{0,068-0}{0,050}}=1,36$ m·s⁻¹.
2. Vitesse $v_3$ : m·s⁻¹
   $v_3={\displaystyle \frac{0,114-0,030}{0,050}}=1,68$ m·s⁻¹.
3. Vitesse $v_4$ : m·s⁻¹
   $v_4={\displaystyle \frac{0,168-0,068}{0,050}}=2,00$ m·s⁻¹.
4. Le mouvement du mobile est rectiligne .
   Trajectoire droite et vitesse qui augmente (de 0,32 m·s⁻¹ d’une date à la suivante) : mouvement rectiligne accéléré.

Un cycliste monte un col sur 6,0 km à la vitesse moyenne de 12 km·h⁻¹, puis redescend les mêmes 6,0 km à 36 km·h⁻¹.

1. Durée de la montée : min
   $\Delta t={\displaystyle \frac{6,0}{12}}=0,50$ h, soit 30 min.
2. Durée de la descente : min
   $\Delta t={\displaystyle \frac{6,0}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ h, soit 10 min.
3. Vitesse moyenne sur l’aller-retour : km·h⁻¹
   $v_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{12}{40÷60}}=18$ km·h⁻¹.
4. Cette vitesse moyenne vaut m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{18}{3,6}}=5,0$ m·s⁻¹.
5. La moyenne des deux vitesses, 24 km·h⁻¹, est fausse : le cycliste roule fois plus longtemps à 12 km·h⁻¹ qu’à 36 km·h⁻¹.
   30 min contre 10 min : 3 fois plus longtemps à la vitesse la plus faible, qui pèse donc davantage dans la vitesse moyenne.

Un mobile est photographié toutes les τ = 0,10 s. Dans un repère dont l’axe y est vertical vers le haut, on relève M₃ (0,62 ; 0,45) et M₅ (1,10 ; 0,81), en mètres.

1. Durée entre les dates de $M_3$ et de $M_5$ : s
   $2\tau =2\times 0,10=0,20$ s.
2. Coordonnée $v_{4x}$ : m·s⁻¹
   $v_{4x}={\displaystyle \frac{1,10-0,62}{0,20}}={\displaystyle \frac{0,48}{0,20}}=2,4$ m·s⁻¹.
3. Coordonnée $v_{4y}$ : m·s⁻¹
   $v_{4y}={\displaystyle \frac{0,81-0,45}{0,20}}={\displaystyle \frac{0,36}{0,20}}=1,8$ m·s⁻¹.
4. Valeur de la vitesse $v_4$ : m·s⁻¹
   $v_4=\sqrt{2,4^2+1,8^2}=\sqrt{5,76+3,24}=\sqrt{9,00}=3,0$ m·s⁻¹.
5. Longueur de la flèche de ${\overrightarrow{v}}_4$ à l’échelle 1 cm pour 0,5 m·s⁻¹ : cm
   ${\displaystyle \frac{3,0}{0,5}}=6,0$ cm, flèche tracée en $M_4$, vers la droite et vers le haut ($v_{4y}>0$ : le mobile monte).

Une chronophotographie est imprimée à l’échelle 1/4 : 1 cm sur le document représente 4 cm en réalité. L’intervalle entre deux images est τ = 60 ms. On mesure sur le document M₃M₅ = 4,5 cm ; le segment [M₃M₅] est horizontal et le mobile va vers la droite.

1. Distance réelle $M_3{M}_5$ : m
   $4,5\times 4=18$ cm $=0,18$ m.
2. Valeur de la vitesse $v_4$ : m·s⁻¹
   $v_4={\displaystyle \frac{0,18}{2\times 0,060}}={\displaystyle \frac{0,18}{0,12}}=1,5$ m·s⁻¹.
3. Cette vitesse vaut km·h⁻¹
   $1,5\times 3,6=5,4$ km·h⁻¹.
4. Longueur de la flèche de ${\overrightarrow{v}}_4$ à l’échelle 1 cm pour 0,25 m·s⁻¹ : cm
   ${\displaystyle \frac{1,5}{0,25}}=6,0$ cm.
5. Le vecteur ${\overrightarrow{v}}_4$ est horizontal, orienté vers la .
   Il est parallèle à la corde $M_3{M}_5$ et orienté dans le sens du mouvement : vers la droite.

Un ballon de basket est filmé de profil ; une image toutes les τ = 40 ms. Dans un repère d’axe x horizontal et d’axe y vertical vers le haut, on relève M₅ (1,84 ; 3,05) et M₇ (2,32 ; 2,85), en mètres.

1. Coordonnée $v_{6x}$ : m·s⁻¹
   $\Delta t=2\tau =0,080$ s ; $v_{6x}={\displaystyle \frac{2,32-1,84}{0,080}}={\displaystyle \frac{0,48}{0,080}}=6,0$ m·s⁻¹.
2. Coordonnée $v_{6y}$ : m·s⁻¹
   $v_{6y}={\displaystyle \frac{2,85-3,05}{0,080}}={\displaystyle \frac{-0,20}{0,080}}=-2,5$ m·s⁻¹ : le ballon descend.
3. Valeur de la vitesse $v_6$ : m·s⁻¹
   $v_6=\sqrt{6,0^2+2,5^2}=\sqrt{42,25}=6,5$ m·s⁻¹.
4. Angle du vecteur vitesse sous l’horizontale : °
   $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2,5}{6,0}}$, d’où $\alpha \approx 22,6$° sous l’horizontale.
5. Longueur de la flèche à l’échelle 1 cm pour 2,0 m·s⁻¹ : cm
   ${\displaystyle \frac{6,5}{2,0}}=3,25$ cm, soit environ 3,3 cm, tracée en $M_6$.

Un mobile a pour vecteur vitesse ${\overrightarrow{v}}_1(5,0;-3,0)$ à la date $t_1$, puis ${\overrightarrow{v}}_3(5,0;-7,8)$ à la date $t_3=t_1+0,60$ s, en m·s⁻¹. L’axe y est vertical vers le haut.

1. Valeur de la vitesse à la date $t_1$ : m·s⁻¹
   $v_1=\sqrt{5,0^2+(-3,0{)}^2}=\sqrt{34}\approx 5,8$ m·s⁻¹.
2. Coordonnée $\Delta v_x$ entre $t_1$ et $t_3$ : m·s⁻¹
   $5,0-5,0=0$.
3. Coordonnée $\Delta v_y$ entre $t_1$ et $t_3$ : m·s⁻¹
   $-7,8-(-3,0)=-4,8$ m·s⁻¹.
4. Norme de $\Delta \overrightarrow{v}$ : m·s⁻¹
   $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{0^2+4,8^2}=4,8$ m·s⁻¹ : une norme est positive. La valeur de la vitesse, elle, passe de 5,8 à $\sqrt{85,84}\approx 9,3$ m·s⁻¹, soit une variation de 3,4 m·s⁻¹ seulement.
5. $\Delta \overrightarrow{v}$ est vertical, dirigé vers le .
   Seule sa coordonnée verticale est non nulle, et elle est négative : $\Delta \overrightarrow{v}$ est vertical, vers le bas.

Une balle est lancée. Une caméra enregistre ses positions toutes les τ = 60 ms dans un repère d’axe y vertical vers le haut. En mètres : M₁ (0 ; 0), M₂ (0,180 ; 0,126), M₃ (0,360 ; 0,217), M₄ (0,540 ; 0,273), M₅ (0,720 ; 0,294).

1. Coordonnée $v_{2x}$ : m·s⁻¹
   $2\tau =0,120$ s ; $v_{2x}={\displaystyle \frac{0,360-0}{0,120}}=3,00$ m·s⁻¹.
2. Coordonnée $v_{2y}$ : m·s⁻¹
   $v_{2y}={\displaystyle \frac{0,217-0}{0,120}}\approx 1,81$ m·s⁻¹.
3. Valeur de la vitesse $v_2$ : m·s⁻¹
   $v_2=\sqrt{3,{00}^2+1,{81}^2}\approx \sqrt{12,27}\approx 3,50$ m·s⁻¹.
4. Coordonnée $v_{4y}$ : m·s⁻¹
   $v_{4y}={\displaystyle \frac{0,294-0,217}{0,120}}\approx 0,642$ m·s⁻¹ ; et $v_{4x}={\displaystyle \frac{0,720-0,360}{0,120}}=3,00$ m·s⁻¹, inchangée.
5. Norme de $\Delta \overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_4-{\overrightarrow{v}}_2$ : m·s⁻¹
   $\Delta \overrightarrow{v}(3,00-3,00;0,642-1,808)=(0;-1,17)$ : vertical, vers le bas, de norme 1,17 m·s⁻¹.

Positions M₀ à M₅ d’une bille, relevées toutes les 0,05 s (coordonnées en mètres, axe y vers le haut). Le programme Python ci-dessous est exécuté.

tau = 0.05
x = [0, 0.10, 0.20, 0.30, 0.40, 0.50]
y = [0, 0.1375, 0.25, 0.3375, 0.40, 0.4375]
vx, vy = [], []
for i in range(1, len(x) - 1):
    vx.append((x[i+1] - x[i-1]) / (2*tau))
    vy.append((y[i+1] - y[i-1]) / (2*tau))
dvx = [vx[j+1] - vx[j-1] for j in range(1, len(vx) - 1)]
dvy = [vy[j+1] - vy[j-1] for j in range(1, len(vy) - 1)]

1. Nombre de vecteurs vitesse calculés :
   i va de 1 à 4 : seules $M_1$ à $M_4$ ont deux positions voisines. On obtient 4 vecteurs vitesse.
2. Premier élément de vy, vitesse verticale en $M_1$ : m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{0,25-0}{0,10}}=2,5$ m·s⁻¹.
3. Valeur de la vitesse en $M_1$ : m·s⁻¹
   vx[0] $={\displaystyle \frac{0,20-0}{0,10}}=2,0$ m·s⁻¹, donc $v_1=\sqrt{2,0^2+2,5^2}=\sqrt{10,25}\approx 3,2$ m·s⁻¹.
4. Valeur commune des éléments de dvy : m·s⁻¹
   vy vaut 2,5 ; 2,0 ; 1,5 ; 1,0 : $1,5-2,5=-1,0$ et $1,0-2,0=-1,0$. Chaque élément vaut −1,0 m·s⁻¹ (à l’arrondi de calcul de Python près).
5. Durée séparant les deux vecteurs vitesse de chaque différence : s
   vy[j-1] et vy[j+1] sont les vitesses en $M_j$ et en $M_{j+2}$ : leurs dates sont séparées de $2\tau =0,10$ s, et le $\Delta \overrightarrow{v}$ est tracé en $M_{j+1}$.
6. dvx ne contient que des zéros : chaque $\Delta \overrightarrow{v}$ est donc .
   $\Delta v_x=0$ et $\Delta v_y<0$ : $\Delta \overrightarrow{v}$ est vertical, dirigé vers le bas, et le même sur chaque intervalle.

Une pierre de curling glisse en ligne droite sur la glace. Filmées d’en haut, ses positions prises toutes les 0,50 s sont alignées et, sur ce court trajet, régulièrement espacées de 1,10 m.

1. Le mouvement de la pierre est rectiligne .
   Positions alignées : rectiligne ; écarts égaux pour des durées égales : uniforme.
2. Valeur de la vitesse : m·s⁻¹
   $v={\displaystyle \frac{1,10}{0,50}}=2,2$ m·s⁻¹.
3. Entre deux positions, le vecteur variation de vitesse est le vecteur .
   Même direction, même sens, même norme : ${\overrightarrow{v}}_{i+1}={\overrightarrow{v}}_i$, donc $\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, le vecteur nul.
4. Une autre pierre laisse des écarts de 1,10 ; 1,00 ; 0,90 ; 0,80 m : son mouvement est rectiligne .
   Écarts qui diminuent sur une droite : mouvement rectiligne ralenti.
5. Pour cette seconde pierre, $\Delta \overrightarrow{v}$ est de sens à celui du mouvement.
   La valeur de la vitesse diminue : $\Delta \overrightarrow{v}$ est porté par la trajectoire, de sens opposé au mouvement.

Pendant l’essorage, le tambour d’un lave-linge, de rayon 24 cm, tourne régulièrement à 800 tours par minute. On étudie un point P de la paroi du tambour, dans le référentiel du lave-linge.

1. Période de rotation : s
   800 tours en 60 s : $T={\displaystyle \frac{60}{800}}=0,075$ s.
2. Distance parcourue par P en un tour : m
   $2\pi R=2\pi \times 0,24\approx 1,51$ m.
3. Valeur de la vitesse de P : m·s⁻¹
   $v={\displaystyle \frac{2\pi \times 0,24}{0,075}}\approx 20,1$ m·s⁻¹, plus de 70 km·h⁻¹.
4. Le vecteur vitesse de P n’est pas constant, car sa change.
   Il reste tangent au cercle : sa direction tourne sans cesse, même si sa norme est constante.
5. Entre deux dates voisines, $\Delta \overrightarrow{v}$ est dirigé vers le du tambour.
   Mouvement circulaire uniforme : $\Delta \overrightarrow{v}$ pointe vers le centre, sur l’axe de rotation.

Une bille attachée à un fil décrit un cercle horizontal de rayon 0,80 m à la vitesse de valeur constante 4,0 m·s⁻¹. Un élève écrit : « la valeur de la vitesse ne change pas, donc $\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ».

1. Durée d’un tour : s
   $T={\displaystyle \frac{2\pi R}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \times 0,80}{4,0}}\approx 1,26$ s.
2. Norme de $\Delta \overrightarrow{v}$ entre deux positions séparées d’un quart de tour : m·s⁻¹
   Le vecteur vitesse a tourné de 90° : avec ${\overrightarrow{v}}_1(4,0;0)$ et ${\overrightarrow{v}}_2(0;4,0)$, $\Delta \overrightarrow{v}(-4,0;4,0)$, de norme $4,0\sqrt{2}\approx 5,7$ m·s⁻¹, bien loin de zéro.
3. Norme de $\Delta \overrightarrow{v}$ entre deux positions séparées d’un sixième de tour : m·s⁻¹
   Les deux vecteurs vitesse, de norme 4,0 m·s⁻¹, font un angle de 60° : reportés depuis un même point, ils forment avec $\Delta \overrightarrow{v}$ un triangle équilatéral, donc $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =4,0$ m·s⁻¹.
4. Pour deux positions voisines encadrant un point M, $\Delta \overrightarrow{v}$ reporté en M est dirigé vers le du cercle.
   Les deux vecteurs vitesse ont même norme : $\Delta \overrightarrow{v}$, reporté en M, est porté par la droite (OM), orienté vers le centre O.
5. L’élève a confondu la valeur de la vitesse et le vitesse.
   La norme est constante, mais la direction change : le vecteur vitesse n’est pas constant, donc $\Delta \overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$.