Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse

1. a)1 h 45 min = 6 300 s et 6,3 km = 6 300 m : $v={\displaystyle \frac{6300}{6300}}=$ 1,0 m·s⁻¹ (0,5 pt), soit $1,0\times 3,6=$ 3,6 km·h⁻¹ (0,5 pt). (1)
2. b)$\Delta t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{2400}{1,0}}=2400$ s (0,5 pt), soit 40 min (0,5 pt). (1)
3. c)Référentiel du randonneur : le sac est immobile (0,5 pt). Référentiel terrestre : il est en mouvement, sur une trajectoire qui suit le sentier (0,5 pt). (1)
4. d)La valeur calculée est une vitesse moyenne : elle efface les arrêts, les montées et les descentes (0,5 pt). Seules des positions relevées à intervalles courts donneraient les vitesses instantanées (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Convertir avant de calculer : 1 h 45 min ne vaut pas 1,45 h, mais 1,75 h, soit 6 300 s.

1. a)7,5 ; 8,5 ; 9,5 ; 10,5 cm : elles augmentent de 1,0 cm à chaque intervalle (0,5 pt). Positions alignées, distances croissantes : mouvement rectiligne accéléré (0,5 pt). (1)
2. b)Avec $2\tau =0,100$ s : $v_2={\displaystyle \frac{0,160-0}{0,100}}=$ 1,60 m·s⁻¹ (0,5 pt) et $v_4={\displaystyle \frac{0,360-0,160}{0,100}}=$ 2,00 m·s⁻¹ (0,5 pt). (1)
3. c)$\Delta \overrightarrow{v}$ est porté par la droite du mouvement, dans le sens du mouvement car la vitesse augmente (0,5 pt) ; norme $2,00-1,60=$ 0,40 m·s⁻¹, flèche de 4,0 cm (0,5 pt). (1)
4. d)${\displaystyle \frac{0,085}{0,050}}=$ 1,70 m·s⁻¹ (0,5 pt) : c’est la vitesse moyenne entre $M_2$ et $M_3$, plus tard que $M_2$ ; le mobile accélérant, elle est trop grande. Il faut un intervalle centré sur $M_2$ (0,5 pt). (1)

Le point clé — La vitesse en un point se calcule avec les deux positions qui l’encadrent, divisées par 2τ.

1. a)$v_1=\sqrt{8,0^2+6,0^2}=\sqrt{100}=$ 10,0 m·s⁻¹ (0,5 pt), soit 36,0 km·h⁻¹ (0,5 pt). (1)
2. b)$v_{1y}=+6,0$ m·s⁻¹ est positive, l’axe y étant orienté vers le haut (0,5 pt) : le drone monte (0,5 pt). (1)
3. c)$\Delta \overrightarrow{v}(2,0-8,0;6,0-6,0)=(-6,0;0)$, de norme 6,0 m·s⁻¹ (0,5 pt) ; horizontal, de sens opposé à l’axe x (0,5 pt). (1)
4. d)$v_2=\sqrt{40}\approx 6,3$ m·s⁻¹, donc $v_2-v_1\approx$ −3,7 m·s⁻¹ (0,5 pt) : différent de la norme 6,0 m·s⁻¹, qui est positive et tient compte du changement de direction (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — La norme de Δv⃗ n’est pas la différence des valeurs : on soustrait les vecteurs, puis on calcule la norme.

1. a)$T={\displaystyle \frac{60}{30}}=$ 2,0 s (0,5 pt) ; $2\pi R=2\pi \times 1,8\approx$ 11,3 m (0,5 pt). (1)
2. b)$v={\displaystyle \frac{11,3}{2,0}}\approx$ 5,65 m·s⁻¹ (0,5 pt), soit environ 20 km·h⁻¹ (0,5 pt). (1)
3. c)Uniforme : la valeur de la vitesse est constante, la rotation étant régulière (0,5 pt). Vecteur vitesse non constant : il reste tangent au cercle, sa direction change (0,5 pt). (1)
4. d)Vecteurs opposés de même norme : $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =2v\approx$ 11,3 m·s⁻¹ (0,5 pt). Entre deux dates voisines, $\Delta \overrightarrow{v}$ est dirigé de E vers l’axe de rotation (0,5 pt). (1)

À retenir — Uniforme ne veut pas dire vecteur vitesse constant : sur un cercle, Δv⃗ pointe vers le centre.

1. a)L’élève confond la valeur et le vecteur vitesse (0,5 pt) : une valeur constante n’empêche pas la direction de changer, or $\Delta \overrightarrow{v}$ n’est nul que si direction, sens et norme sont conservés (0,5 pt). (1)
2. b)Le mouvement circulaire uniforme, par exemple l’extrémité d’une pale de ventilateur qui tourne régulièrement (0,5 pt) : $\Delta \overrightarrow{v}$ est dirigé vers le centre du cercle (0,5 pt). (1)
3. c)Le vecteur vitesse garde direction, sens et norme (0,5 pt) : le mouvement est rectiligne uniforme, ou le système est immobile (0,5 pt). (1)
4. d)Oui : sur une droite, tous les vecteurs vitesse ont la direction de la droite, donc leur différence aussi (0,5 pt). $\Delta \overrightarrow{v}$ a le même sens que $\overrightarrow{v}$ si le mouvement accélère, le sens opposé s’il ralentit (0,5 pt). (1)

Le point clé — Seul le mouvement rectiligne uniforme a un vecteur vitesse constant, donc Δv⃗ = 0⃗.