Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Fluide au repos : pression et statique des fluides

Description microscopique et macroscopique d’un fluide (masse volumique, pression, température) ; pression et force pressante ; loi de Mariotte et son test expérimental ; loi fondamentale de la statique des fluides et son test ; applications : tube en U, baromètre, plongée.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de première spécialité décrit un fluide au repos en cinq parties : du microscopique au macroscopique (masse volumique, pression, température) ; pression et force pressante, pression absolue et relative ; loi de Mariotte et son test avec un capteur de pression ; loi fondamentale de la statique des fluides et son test ; applications au tube en U, au baromètre de Torricelli et à la plongée.

Du microscopique au macroscopique : décrire un fluide

Ce qu’il faut savoir

Fluide. Un fluide est un milieu qui peut s’écouler et qui prend la forme du récipient qui le contient : les liquides et les gaz sont des fluides. On le décrit à deux échelles :

• à l’échelle microscopique, celle des entités qui le constituent (molécules, atomes ou ions), toujours en mouvement ;
• à l’échelle macroscopique, celle des mesures : un fluide au repos est décrit par trois grandeurs, sa masse volumique $ρ$ , sa pression $p$ et sa température $T$ .

	Liquide	Gaz
Distance entre entités	très faible : entités au contact	grande devant la taille des entités
Organisation	désordonnée	désordonnée
Mouvement	agitation, glissement des entités les unes sur les autres	agitation incessante, chocs entre entités et sur les parois
Compressibilité	quasi incompressible	très compressible
Ordre de grandeur de $ρ$	$10^{3}$ kg·m⁻³ (eau : $1, 00 \times 10^{3}$ )	1 kg·m⁻³ (air au sol : 1,2)

Modèle microscopique : entités d’un liquide et d’un gaz (les tailles ne sont pas à l’échelle).

Du microscopique au macroscopique.

• La température traduit l’agitation thermique : plus elle est élevée, plus les entités se déplacent vite en moyenne. En physique, on l’exprime souvent en kelvin (K) : $T = θ + 273, 15$ , avec $θ$ en °C.
• La pression traduit les chocs des entités sur une paroi : elle augmente avec le nombre de chocs par seconde sur chaque unité de surface et avec leur violence.
• La masse volumique traduit le nombre d’entités par unité de volume et la masse de chacune :

ρ = \frac{m}{V}

avec $m$ en kg, $V$ en m³ et $ρ$ en kg·m⁻³. En seconde, tu as appris à la mesurer pour identifier une espèce chimique (Espèces chimiques : corps purs et mélanges) ; ici, elle sert à décrire le fluide.

Exemples

Exemple 1 — une masse volumique. 25,0 mL d’acétone ont une masse de 19,6 g :

ρ = \frac{19, 6}{25, 0} = 0, 784 {g·mL}^{- 1}

Comme 1 g·mL⁻¹ = $10^{3}$ kg·m⁻³ : $ρ = 784$ kg·m⁻³.

Exemple 2 — l’air d’une salle de classe. Une salle mesure 8,0 m × 6,0 m × 3,0 m, soit $V = 144$ m³. Avec $ρ_{a i r} = 1, 2$ kg·m⁻³ : $m = ρ \times V = 1, 2 \times 144 \approx 173$ kg. Un gaz est peu dense, mais un grand volume d’air a une masse importante.

Exemple 3 — une température en kelvin. À 20 °C, $T = 20 + 273, 15 = 293, 15$ K.

Réflexe — je convertis avant de calculer : 1 L = $10^{- 3}$ m³, 1 mL = 1 cm³ = $10^{- 6}$ m³, et 1 g·mL⁻¹ = 1 g·cm⁻³ = 1 kg·L⁻¹ = $10^{3}$ kg·m⁻³. Pour interpréter, je relie la température à l’agitation, la pression aux chocs sur la paroi, la masse volumique au nombre d’entités par unité de volume.

Attention — une entité seule n’a ni pression ni température : ce sont des grandeurs macroscopiques, qui décrivent l’effet moyen d’un nombre gigantesque d’entités. Un gaz n’a pas de volume propre (il occupe tout le récipient), alors qu’un liquide garde son volume.

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Pression et force pressante

Ce qu’il faut savoir

Pression. Un fluide exerce sur toute surface en contact avec lui une force pressante. La pression est le quotient de la valeur de cette force par l’aire de la surface :

p = \frac{F}{S}

avec $F$ en newtons (N), $S$ en m² et $p$ en pascals (Pa) : 1 Pa = 1 N·m⁻². La pression est une grandeur scalaire : elle n’a pas de direction.

Unité	Équivalence	Usage
hectopascal (hPa)	1 hPa = $10^{2}$ Pa	météorologie
bar	1 bar = $10^{5}$ Pa = 1 000 hPa	pneus, plongée
pression atmosphérique normale	$1, 013 \times 10^{5}$ Pa = 1 013 hPa ≈ 1 bar	référence au niveau de la mer

Force pressante. Un fluide à la pression $p$ exerce sur une surface plane d’aire $S$ une force $\vec{F}$ :

• point d’application : le centre de la surface ;
• direction : perpendiculaire à la surface ;
• sens : du fluide vers la surface ;
• valeur : $F = p \times S$ .

Forces pressantes exercées par un gaz sur les parois de son récipient : perpendiculaires aux parois, du gaz vers la paroi ; même valeur ici, car les parois ont la même aire.

Paroi entre deux fluides. Une paroi qui sépare deux fluides aux pressions $p_{1}$ et $p_{2}$ subit deux forces pressantes de sens opposés : la force résultante a pour valeur $| p_{1} - p_{2} | \times S$ et elle est dirigée du côté de plus forte pression vers l’autre.

Mesurer une pression. Un capteur de pression ou un manomètre se place au contact du fluide. Un baromètre et les capteurs utilisés en TP mesurent en général la pression absolue $p$ ; un manomètre de gonflage mesure la pression relative (ou surpression) $p - p_{a t m}$ .

Exemples

Exemple 1 — une force pressante. Un fluide à $2, 0 \times 10^{5}$ Pa agit sur une paroi de 150 cm² $= 1, 50 \times 10^{- 2}$ m² :

F = p \times S = 2, 0 \times 10^{5} \times 1, 50 \times 10^{- 2} = 3, 0 \times 10^{3} N

perpendiculaire à la paroi, dirigée du fluide vers la paroi.

Exemple 2 — un piston entre deux fluides. Un piston de 12 cm² subit d’un côté une pression supérieure de 3,5 bar à celle de l’autre côté : $S = 12 \times 10^{- 4}$ m² et $Δ p = 3, 5 \times 10^{5}$ Pa.

F = Δ p \times S = 3, 5 \times 10^{5} \times 12 \times 10^{- 4} = 4, 2 \times 10^{2} N

perpendiculaire au piston, dirigée du côté de plus forte pression vers l’autre.

Réflexe — je convertis l’aire en m² (1 cm² = $10^{- 4}$ m²) et la pression en Pa (1 hPa = $10^{2}$ Pa, 1 bar = $10^{5}$ Pa), je calcule $F = p \times S$ , puis je donne la direction (perpendiculaire à la surface) et le sens (du fluide vers la surface). Deux fluides de part et d’autre : j’utilise la différence de pression.

Attention — 1 cm² = $10^{- 4}$ m², pas $10^{- 2}$ m². La pression n’a pas de direction : seule la force pressante en a une. Un manomètre de gonflage n’affiche pas la pression absolue : il faut lui ajouter la pression atmosphérique.

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Loi de Mariotte

Ce qu’il faut savoir

Loi de Mariotte (ou de Boyle-Mariotte). Pour une quantité de gaz fixée (récipient fermé, sans fuite) et à température constante, le produit de la pression par le volume reste constant :

p \times V = constante, soit p_{1} \times V_{1} = p_{2} \times V_{2}

Énoncée par Robert Boyle en 1662 puis, indépendamment, par Edme Mariotte en 1676, c’est un modèle de comportement des gaz, bien vérifié aux pressions usuelles. Si le volume est divisé par 2, la pression double.

Interprétation microscopique. Si l’on divise le volume par 2, il y a deux fois plus d’entités par unité de volume ; à température constante, leur agitation ne change pas : les chocs sur chaque unité de surface de paroi sont deux fois plus nombreux, la pression double.

Représentations graphiques. La courbe $p = f (V)$ est une branche d’hyperbole ; comme $p = \frac{k}{V}$ , la courbe $p = f (\frac{1}{V})$ est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $k = p \times V$ .

Loi de Mariotte ( $p \times V = 250$ bar·mL) : $p$ en fonction de $V$ (branche d’hyperbole) et $p$ en fonction de $\frac{1}{V}$ (droite passant par l’origine).

Tester la loi de Mariotte

On relie une seringue fermée à un capteur de pression branché sur un microcontrôleur (ou une interface d’acquisition) et l’on fait varier lentement le volume. Deux exploitations : calculer le produit $p \times V$ pour chaque mesure (il doit être constant aux erreurs de mesure près), ou tracer $p$ en fonction de $\frac{1}{V}$ (on doit obtenir une droite passant par l’origine). L’air contenu dans le tuyau et le capteur (« volume mort ») s’ajoute au volume lu sur la seringue.

Exemples

Exemple 1 — une compression. 250 mL d’air à 1,0 bar sont comprimés lentement, sans fuite, jusqu’à 100 mL :

p_{2} = \frac{p_{1} \times V_{1}}{V_{2}} = \frac{1, 0 \times 250}{100} = 2, 5 bar

Ce sont les deux points marqués sur les graphiques ci-dessus.

Exemple 2 — une seringue bouchée. Une seringue bouchée contient 48 mL d’air à 1 000 hPa ; on pousse lentement le piston jusqu’à 32 mL. La quantité d’air et la température restent constantes :

p_{2} = \frac{1 000 \times 48}{32} = 1 500 hPa

Les pressions restent en hPa et les volumes en mL : inutile de passer en unités SI, à condition de garder la même unité des deux côtés.

Réflexe — je vérifie les deux conditions (gaz enfermé sans fuite, température constante), j’écris $p_{1} \times V_{1} = p_{2} \times V_{2}$ , j’isole l’inconnue, et je garde la même unité de pression et la même unité de volume des deux côtés.

Attention — une compression rapide échauffe le gaz, et un gaz qui fuit perd des entités : dans les deux cas, $p \times V$ n’est plus constant. La loi de Mariotte concerne les gaz, pas les liquides, quasi incompressibles.

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Loi fondamentale de la statique des fluides

Ce qu’il faut savoir

Énoncé. Dans un fluide incompressible (masse volumique $ρ$ uniforme) et au repos, dans le champ de pesanteur $g$ supposé uniforme, la différence de pression entre deux points 1 et 2 est donnée, avec un axe $(O z)$ vertical orienté vers le haut, par :

p_{2} - p_{1} = ρ \times g \times (z_{1} - z_{2})

avec $p$ en Pa, $ρ$ en kg·m⁻³, $g$ en N·kg⁻¹ et $z$ en m. Cette relation est fournie dans les sujets : il faut savoir l’utiliser.

Axe $(O z)$ vertical orienté vers le haut : le point 2 est plus bas que le point 1 ( $z_{2} < z_{1}$ ), sa pression est plus grande.

Conséquences.

• Deux points d’un même fluide au repos situés à la même altitude ont la même pression : les surfaces de même pression sont des plans horizontaux.
• La pression augmente quand on descend.
• À la profondeur $h$ sous une surface libre où règne la pression $p_{0}$ : $p = p_{0} + ρ \times g \times h$ .
• La pression au fond d’un récipient ne dépend que de la hauteur de liquide, pas de la forme du récipient ni de la masse de liquide (c’est le « paradoxe hydrostatique »).

Ordre de grandeur. En mer ( $ρ \approx 1, 03 \times 10^{3}$ kg·m⁻³), $ρ \times g \times 10 \approx 1, 0 \times 10^{5}$ Pa : la pression augmente d’environ 1 bar tous les 10 m.

Tester la loi fondamentale

On place la sonde d’un capteur de pression à différentes profondeurs $h$ dans un liquide au repos. Le graphique $p = f (h)$ doit être une droite d’ordonnée à l’origine $p_{0}$ et de coefficient directeur $ρ \times g$ : on peut en déduire la masse volumique du liquide.

Limite. La loi suppose $ρ$ uniforme. Pour un gaz comme l’air, elle ne s’applique que sur un faible dénivelé : sur plusieurs kilomètres, la masse volumique de l’air diminue nettement avec l’altitude.

Exemples

Exemple 1 — une différence de pression. Entre la surface d’un bassin d’eau ( $ρ = 1, 00 \times 10^{3}$ kg·m⁻³, $g = 9, 81$ N·kg⁻¹) et un point situé 5,0 m plus bas :

Δ p = ρ \times g \times Δ z = 1, 00 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 5, 0 \approx 4, 9 \times 10^{4} Pa

Exemple 2 — une pression au fond. Surface libre d’une cuve d’eau au point 1 ( $z_{1} = 0$ , $p_{1} = 1, 013 \times 10^{5}$ Pa), point 2 en $z_{2} = - 7, 5$ m :

p_{2} = p_{1} + ρ \times g \times (z_{1} - z_{2}) = 1, 013 \times 10^{5} + 1, 00 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 7, 5 \approx 1, 75 \times 10^{5} Pa

$p_{2} > p_{1}$ : le point le plus bas a la plus grande pression, le résultat est cohérent.

Réflexe — je vérifie que les deux points sont dans un même fluide au repos, continu entre eux ; j’oriente l’axe vers le haut ; je pars d’un point de pression connue (la surface libre, à $p_{0}$ ) ; je contrôle que le point le plus bas a la plus grande pression.

Attention — $ρ \times g \times h$ n’est qu’une différence de pression : la pression à la profondeur $h$ vaut $p_{0} + ρ \times g \times h$ , pas $ρ \times g \times h$ . Dans $ρ \times g \times h$ , tout est en unités SI (Pa, kg·m⁻³, m).

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Applications : tube en U, baromètre, plongée

Ce qu’il faut savoir

Vases communicants. Un même liquide au repos, soumis à la même pression au-dessus de ses surfaces libres, a toutes ses surfaces libres au même niveau, quelle que soit la forme des récipients qui communiquent (niveau à eau du maçon, réseau d’eau alimenté par un réservoir).

Tube en U à deux liquides non miscibles. Les points A (à l’interface entre les deux liquides) et B (dans l’autre branche, à la même altitude) sont dans le même liquide, continu entre eux : $p_{A} = p_{B}$ . En partant des surfaces libres, toutes deux à $p_{a t m}$ :

p_{a t m} + ρ_{1} \times g \times h_{1} = p_{a t m} + ρ_{2} \times g \times h_{2} donc ρ_{1} \times h_{1} = ρ_{2} \times h_{2}

Le liquide le moins dense forme la colonne la plus haute : les surfaces libres ne sont plus au même niveau.

Tube en U : la colonne de liquide L, moins dense que l’eau, est plus haute que la colonne d’eau au-dessus du niveau AB.

Baromètre de Torricelli (1643). Un tube rempli de mercure est retourné sur une cuve de mercure ; le mercure descend et, au-dessus de la colonne, règne le vide ( $p = 0$ ). Entre la surface de la cuve (à $p_{a t m}$ ) et le haut de la colonne, plus haut de $h$ , la loi fondamentale donne :

p_{a t m} - 0 = ρ_{H g} \times g \times h

La hauteur de la colonne mesure la pression atmosphérique : la pression atmosphérique normale, 101 325 Pa, correspond à une colonne de 760 mm de mercure.

Baromètre de Torricelli : la hauteur $h$ de la colonne de mercure mesure la pression atmosphérique.

Plongée. Un gaz enfermé dans un ballon souple ou dans les poumons est à la pression de l’eau qui l’entoure : la loi fondamentale donne cette pression, la loi de Mariotte donne le volume du gaz.

Exemples

Exemple 1 — un tube en U. Un liquide L ( $ρ_{L} = 750$ kg·m⁻³), non miscible à l’eau, forme une colonne de 10,0 cm au-dessus de l’interface A (figure). Au-dessus de B, l’eau monte de :

h_{e a u} = \frac{ρ_{L} \times h_{L}}{ρ_{e a u}} = \frac{750 \times 10, 0}{1 000} = 7, 50 cm

La surface libre du liquide L est donc 10,0 − 7,50 = 2,50 cm plus haut que celle de l’eau.

Exemple 2 — un baromètre. Une colonne de mercure ( $ρ_{H g} = 13, 6 \times 10^{3}$ kg·m⁻³) de 760 mm correspond à :

p_{a t m} = 13, 6 \times 10^{3} \times 9, 81 \times 0, 760 \approx 1, 01 \times 10^{5} Pa

Avec de l’eau, 13,6 fois moins dense, il faudrait une colonne d’environ 10,3 m : c’est pourquoi on utilise le mercure.

Réflexe — je choisis deux points à la même altitude dans un même liquide continu (pression égale), j’exprime la pression de chacun à partir d’une surface libre ou du vide, puis j’égale les deux expressions.

Attention — deux points à la même altitude n’ont la même pression que s’ils sont dans le même liquide, relié de façon continue. Dans un tube en U à deux liquides, les surfaces libres ne sont pas au même niveau : la règle des vases communicants ne vaut que pour un seul liquide.

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Pour aller plus loin

Dans les chapitres voisins. La force pressante entre dans le bilan des forces qui s’exercent sur un système : Forces et approche de la deuxième loi de Newton. Le champ de pesanteur $g$ utilisé ici est étudié dans Interactions fondamentales et notion de champ.

Plus tard. En terminale, la loi de Mariotte devient un cas particulier du modèle du gaz parfait, qui relie pression, volume, quantité de matière et température (Système thermodynamique : gaz parfait et premier principe) ; la différence de pression entre le haut et le bas d’un objet immergé explique la poussée d’Archimède, et l’on étudie les fluides en mouvement : débit, relation de Bernoulli (Écoulement d’un fluide : débit et relation de Bernoulli).

À retenir

Un fluide au repos est décrit par sa masse volumique $ρ = \frac{m}{V}$ , sa pression $p$ et sa température $T$ , qui traduisent le nombre d’entités par unité de volume, leurs chocs sur les parois et leur agitation.
Force pressante sur une surface plane : $F = p \times S$ (N, Pa, m²), perpendiculaire à la surface, du fluide vers la surface ; 1 bar = $10^{5}$ Pa = 1 000 hPa.
Loi de Mariotte : quantité de gaz fixée, température constante : $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ ; $p$ est proportionnelle à $\frac{1}{V}$ .
Loi fondamentale (fluide incompressible au repos, axe vers le haut) : $p_{2} - p_{1} = ρ g (z_{1} - z_{2})$ ; sous une surface libre, $p = p_{0} + ρ g h$ .
Deux points d’un même liquide au repos à la même altitude ont la même pression : tube en U ( $ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2}$ ), baromètre ( $p_{a t m} = ρ_{H g} g h$ ).

Questions fréquentes

Comment relier la pression et la température d’un fluide au comportement de ses molécules ?

La température traduit l’agitation thermique des entités : plus elle est élevée, plus elles se déplacent vite en moyenne. La pression traduit leurs chocs sur les parois : elle augmente avec le nombre de chocs par seconde sur chaque unité de surface et avec leur violence. La masse volumique traduit le nombre d’entités par unité de volume et leur masse.

Comment calculer une force pressante ?

F = p × S, avec p en pascals et S en m² (1 cm² = 10⁻⁴ m²). La force est perpendiculaire à la surface, dirigée du fluide vers la surface. Si la paroi sépare deux fluides, la force résultante vaut |p₁ − p₂| × S, du côté de plus forte pression vers l’autre.

Que dit la loi de Mariotte ?

Pour une quantité de gaz fixée et à température constante, le produit p × V reste constant : p₁ × V₁ = p₂ × V₂. Si le volume est divisé par 2, la pression double. La loi ne s’applique plus si le gaz fuit ou s’échauffe, par exemple lors d’une compression rapide.

Quelle est la loi fondamentale de la statique des fluides ?

Dans un fluide incompressible au repos, avec un axe (Oz) vertical orienté vers le haut : p₂ − p₁ = ρ × g × (z₁ − z₂). La pression augmente quand on descend ; à la profondeur h sous une surface libre à la pression p₀, p = p₀ + ρ × g × h. Dans l’eau, cela fait environ 1 bar de plus tous les 10 m.

Comment fonctionne un baromètre à mercure ?

Un tube rempli de mercure est retourné sur une cuve de mercure : au-dessus de la colonne règne le vide. La loi fondamentale donne p(atm) = ρ(Hg) × g × h : la hauteur h de la colonne mesure la pression atmosphérique. La pression atmosphérique normale correspond à 760 mm de mercure.

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