Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : signe du trinôme et inéquations

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant, tableau de signes, inéquations du second degré, inéquations produit et quotient, position relative de deux courbes, trinôme de signe constant et paramètre.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Signe du trinôme et inéquations

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Algèbre · Second degré)

La démarche pour une inéquation du second degré

1. Je compare à $0$ : tout dans un membre, je développe et je réduis ; s’il y a un dénominateur, je note les valeurs interdites et je réduis au même dénominateur.

2. Je trouve les racines : forme factorisée lue directement, sinon $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

3. Je dresse le tableau de signes : « signe de $a$ à l’extérieur des racines » pour un trinôme, une ligne par facteur pour un produit ou un quotient.

4. Je lis les solutions : inégalité stricte, racines exclues ; large, racines incluses ; valeur interdite, toujours exclue.

Le réflexe — la réponse se justifie par trois éléments écrits : les racines, le signe de

a

et la règle « signe de

a

à l’extérieur des racines » ; un ensemble de solutions sans ces justifications ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Signe d’un trinôme

Réflexe — je repère a, je cherche les racines, puis signe de a à l’extérieur, signe de −a entre.

Exemple. Questions types : « Étudier le signe de $f (x)$ », « Dresser le tableau de signes ». Exemple : $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ .

$Δ = 2^{2} - 4 \times (- 1) \times 8 = 4 + 32 = 36 > 0$ : racines $\frac{- 2 - 6}{- 2} = 4$ et $\frac{- 2 + 6}{- 2} = - 2$ .

$a = - 1 < 0$ : $f (x)$ est négatif sur $] - \infty; - 2 [$ et sur $] 4; + \infty [$ , positif sur $] - 2; 4 [$ , nul en $- 2$ et en $4$ .

Attention — avec a < 0, c’est « négatif à l’extérieur » ; et Δ > 0 ne veut pas dire « positif ».

Cas 2 · Inéquation du second degré

Réflexe — tout dans un membre, racines, tableau, puis crochets selon l’inégalité.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℝ$ l’inéquation… ». Exemple : $2 x^{2} + x ⩾ 3$ .

$2 x^{2} + x ⩾ 3 ⟺ 2 x^{2} + x - 3 ⩾ 0$ . $Δ = 1 + 24 = 25$ : racines $\frac{- 1 - 5}{4} = - \frac{3}{2}$ et $\frac{- 1 + 5}{4} = 1$ .

$a = 2 > 0$ : positif ou nul à l’extérieur, racines incluses. $S =] - \infty; - \frac{3}{2}] \cup [1; + \infty [$ .

Attention — ne jamais diviser par x ni « prendre la racine » : x² > 9 ne donne pas x > 3.

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Cas 3 · Produit ou quotient

Réflexe — valeurs interdites, une ligne par facteur, règle des signes, double barre.

Exemple. Questions types : « Dresser le tableau de signes de $P (x)$ », « Résoudre $\frac{\dots}{\dots} ⩽ 0$ ». Exemple : $\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1} ⩽ 0$ .

Valeur interdite : $1$ . Numérateur $x (x + 2)$ : racines $- 2$ et $0$ , négatif entre. Dénominateur : négatif avant $1$ .

Quotient : $-$ sur $] - \infty; - 2 [$ , $+$ sur $] - 2; 0 [$ , $-$ sur $] 0; 1 [$ , $+$ après $1$ . $S =] - \infty; - 2] \cup [0; 1 [$ .

Attention — on ne multiplie pas par le dénominateur : son signe change.

Cas 4 · Position relative de deux courbes

Réflexe — signe de f(x) − g(x) : positif, la courbe de f est au-dessus ; nul, point commun.

Exemple. Questions types : « Étudier la position relative de $𝒞_{f}$ et $𝒞_{g}$ », « Coordonnées des points d’intersection ». Exemple : $f (x) = x^{2} - 4$ et $g (x) = 3 x + 6$ .

$f (x) - g (x) = x^{2} - 3 x - 10 = (x + 2) (x - 5)$ (racines $- 2$ et $5$ , $Δ = 49$ ).

$𝒞_{f}$ est en dessous de $𝒞_{g}$ sur $] - 2; 5 [$ , au-dessus à l’extérieur. Points communs : $(- 2; 0)$ et $(5; 21)$ , car $g (- 2) = 0$ et $g (5) = 21$ .

Attention — l’ordre de la soustraction décide quelle courbe est au-dessus ; un point commun a deux coordonnées.

Cas 5 · Signe constant, paramètre

Réflexe — « pour tout réel x » : signe de a ET Δ < 0, puis inéquation d’inconnue m.

Exemple. Questions types : « Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on … pour tout réel $x$ ? ». Exemple : $x^{2} + 2 (m - 1) x + 4 > 0$ pour tout $x$ .

$a = 1 > 0$ : il faut $Δ < 0$ . $Δ = 4 (m - 1)^{2} - 16 = 4 [(m - 1)^{2} - 4] = 4 (m - 3) (m + 1)$ .

Trinôme en $m$ de racines $- 1$ et $3$ , coefficient positif : négatif entre. Donc $m \in] - 1; 3 [$ .

Attention — Δ < 0 seul ne suffit pas, il faut aussi le bon signe de a ; si a dépend de m, la valeur qui l’annule se traite à part.

Les pièges

Le signe de Δ n’est pas le signe du trinôme : Δ dit combien il y a de racines.
Un crochet est toujours ouvert en −∞, en +∞ et sur une valeur interdite.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité.
x² < k (k > 0) donne ]−√k ; √k[, pas « x < √k ».
Pour un point commun, on calcule aussi l’ordonnée, avec f ou avec g.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes pour résoudre une inéquation du second degré, puis, pour chacun des cinq cas du cours, la question type et une réponse rédigée : tableau de signes d’un trinôme, inéquation, quotient avec valeur interdite, position relative de deux courbes, condition sur un paramètre. Elle se termine par les pièges classiques sur les crochets et le signe de a.

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