Diamètre apparent et pouvoir séparateur de l’œil ; image intermédiaire donnée par l’objectif ; modèle de la lunette afocale à deux lentilles minces convergentes, objectif et oculaire, marche d’un faisceau issu d’un point à l’infini ; grossissement G = f′₁/f′₂ établi et exploité ; données d’une lunette commerciale et maquette.
À propos de cette page
Cinq problèmes corrigés pas à pas : la maquette d’un groupe d’élèves au banc d’optique, la Lune et le cratère Copernic dans une lunette d’amateur, l’étoile double Mizar et Alcor, Uranus dans la grande lunette de Meudon et la Station spatiale internationale vue à l’œil nu puis dans une lunette.
5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je convertis : angles en radians, vergences en distances focales (f′ = 1/C), toutes les longueurs d’un même rapport dans la même unité.
Je repère les rôles : l’objectif a la plus grande distance focale ; réglage afocal F′₁ = F₂, donc O₁O₂ = f′₁ + f′₂.
Je calcule dans l’ordre : diamètre apparent α, image intermédiaire A₁B₁ ≈ f′₁ α, grossissement G = f′₁/f′₂, angle α′ = G α.
Pour une lunette commerciale, je contrôle la pupille de sortie D/G, le grossissement maximal utile (environ 2D) et le champ réel.
Je conclus en comparant α ou α′ au pouvoir séparateur de l’œil, et je vérifie l’ordre de grandeur (G supérieur à 1, image intermédiaire de quelques millimètres).
Problème 1 · La Station spatiale internationale★★★Facile
La Station spatiale internationale (ISS) mesure environ 109 m de bout en bout. Elle passe à environ 420 km d’un observateur placé sous sa trajectoire. Pouvoir séparateur de l’œil : rad.
1. Diamètre apparent de l’ISS : α ≈ × 10⁻⁴ rad (au centième)
2,60 × 10⁻⁴ rad.
2. Le même angle en minutes d’angle : ≈ ′ (au centième)
0,89′ : moins d’une minute, l’ISS est vue comme un point très brillant.
3. Distance maximale à laquelle elle serait vue comme un objet étendu : ≈ km (à l’unité)
m, soit 363 km : elle passe un peu trop loin.
4. Taille de son image intermédiaire avec un objectif de 600 mm : ≈ mm (au centième)
0,16 mm.
5. Dans une lunette de grossissement 40, elle est vue sous ≈ × 10⁻² rad (au centième)
1,04 × 10⁻² rad : sa forme apparaît.
6. Plus bas sur l’horizon, elle est à 1 500 km : grossissement minimal pour la voir étendue ≈ (au dixième)
rad ; 4,1.
Problème 2 · La maquette d’un groupe d’élèves★★★Moyen
Pour construire une maquette de lunette astronomique afocale, un groupe dispose de trois lentilles minces convergentes : de vergence δ, de vergence δ et de vergence δ. Pour la dernière partie, on rappelle la relation de conjugaison (axe orienté dans le sens de la lumière).
1. Distance focale de L_A : cm
m, soit 62,5 cm.
2. Distance focale de L_B : cm
m, soit 6,25 cm.
3. Distance focale de L_C : cm (au centième)
m, soit 31,25 cm.
4. Pour le plus grand grossissement, l’objectif est la lentille L
: il faut l’objectif de plus grande distance focale, , et l’oculaire de plus petite.
5. … et l’oculaire est la lentille L
L’oculaire est la lentille de plus petite distance focale, .
6. Grossissement obtenu : G =
10,0 (les couples - et - ne donnent que 2,0 et 5,0).
7. Distance entre les deux lentilles choisies : O₁O₂ = cm (au centième)
: 68,75 cm.
8. Un élève prend L_B comme objectif et L_A comme oculaire : G =
0,100 : les objets paraissent dix fois plus petits, c’est une lunette utilisée à l’envers.
9. Le groupe vise un clocher à 40,0 m avec L_A : l’image intermédiaire se forme à cm de l’objectif (au dixième)
m : m⁻¹, d’où m, soit 63,5 cm.
10. Pour voir le clocher sans accommoder, il faut reculer l’oculaire d’environ cm (au dixième)
L’image intermédiaire doit être dans le plan focal objet de l’oculaire : elle est cm au-delà de , d’où un recul d’environ 1,0 cm.
11. Écart relatif entre cette position et f′_A : % (au dixième)
1,6 % : à la précision de la maquette, le clocher peut être traité comme un objet à l’infini.
Problème 3 · L’étoile double Mizar et Alcor★★★Moyen
Dans la Grande Ourse, l’étoile Mizar et sa voisine Alcor sont séparées de 11,8′. Dans un instrument, Mizar se dédouble elle-même en deux étoiles, Mizar A et Mizar B, séparées de 14,4″. Pouvoir séparateur de l’œil : rad. Un élève dispose d’une lunette « 50/600 » et d’oculaires de 20 mm et 12 mm.
1. Écart angulaire Mizar-Alcor : × 10⁻³ rad (au centième)
3,43 × 10⁻³ rad.
2. Cet écart vaut environ fois ε (à l’unité)
11 : Mizar et Alcor se séparent à l’œil nu.
3. Écart angulaire Mizar A-Mizar B : × 10⁻⁵ rad (au dixième)
6,98 × 10⁻⁵ rad, bien moins que .
4. Grossissement minimal pour séparer Mizar A et Mizar B : ≈ (au dixième)
Il faut , soit 4,3.
5. Grossissement avec l’oculaire de 20 mm :
30.
6. Écart A-B vu dans la lunette avec cet oculaire : × 10⁻³ rad (au centième)
2,09 × 10⁻³ rad, environ sept fois : les deux étoiles sont bien séparées.
7. Pupille de sortie avec l’oculaire de 12 mm : mm
et 1,0 mm.
8. Limite empirique du grossissement de la lunette « 50/600 » ≈
100 : les deux oculaires restent en deçà.
Problème 4 · La Lune et le cratère Copernic dans une lunette d’amateur★★★Difficile
Une lunette d’amateur a un objectif de distance focale mm et de diamètre 70 mm ; elle est livrée avec trois oculaires de 25 mm, 10 mm et 6,0 mm et utilisée en réglage afocal. Données : cratère Copernic, 93 km de diamètre ; Lune, 3 474 km de diamètre ; distance Terre-Lune, km ; pouvoir séparateur de l’œil rad ; champ apparent des oculaires : 0,87 rad, d’où un champ réel d’environ .
1. Grossissement avec l’oculaire de 25 mm : (au dixième)
36,4.
2. Grossissement avec l’oculaire de 10 mm :
91,0.
3. Grossissement avec l’oculaire de 6,0 mm : ≈ (à l’unité)
152.
4. Diamètre apparent de Copernic vu de la Terre : α_C ≈ × 10⁻⁴ rad
2,42 × 10⁻⁴ rad.
5. Rapport α_C/ε ≈ (au centième)
0,81 : inférieur à 1, le cratère n’est pas discernable à l’œil nu.
6. Avec l’oculaire de 25 mm, le cratère est vu sous ≈ × 10⁻³ rad
8,8 × 10⁻³ rad, environ 30 fois : nettement visible dès le plus faible grossissement.
7. Diamètre apparent de la Lune : α_L ≈ × 10⁻³ rad (au centième)
9,05 × 10⁻³ rad.
8. Taille de l’image intermédiaire de la Lune : ≈ mm (au dixième)
Dans le plan focal image de l’objectif : 8,2 mm.
9. Plus grand grossissement qui montre la Lune entière dans le champ : ≈ (à l’unité)
Il faut , soit 96 : oculaires de 25 mm et 10 mm, pas celui de 6,0 mm.
10. Une lentille de Barlow double la focale effective ; avec l’oculaire de 6,0 mm : G ≈ (à l’unité)
303.
11. Grossissement maximal utile de la lunette d’amateur ≈
140 : le « grossissement 300 » du fabricant est exact par le calcul, mais l’image y serait floue.
12. Avec ce grossissement de 300 environ, part du diamètre de la Lune visible dans le champ : ≈ %
Champ réel rad, à comparer à : 32 % du diamètre.
Problème 5 · La grande lunette de Meudon★★★Difficile
La grande lunette de l’observatoire de Meudon, construite à la fin du XIXᵉ siècle, possède un objectif visuel de 83 cm de diamètre ; on prend m. On l’utilise en réglage afocal avec un oculaire de distance focale 40 mm pour observer la planète Uranus, à peine visible à l’œil nu, dont le diamètre apparent vaut 3,7″ ; rad.
1. Distance entre l’objectif et l’oculaire : O₁O₂ = m (au centième)
1,79 × 10⁻⁵ rad : bien moins que , un point à l’œil nu.
4. Taille de l’image intermédiaire d’Uranus : ≈ mm (au centième)
0,29 mm, dans le plan focal image.
5. Diamètre apparent d’Uranus dans la lunette : α′ ≈ × 10⁻³ rad (au dixième)
7,2 × 10⁻³ rad, soit environ 24 fois : on voit un petit disque.
6. Pupille de sortie : ≈ mm (au dixième)
2,1 mm.
7. Oculaire qui donnerait une pupille de sortie de 7 mm : f′₂ ≈ mm (à l’unité)
, puis 135 mm.
8. Elle collecte environ fois plus de lumière qu’une lunette de 70 mm (à l’unité)
Rapport des aires : 141.
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