Lunette astronomique

1. a)$\alpha \approx {\displaystyle \frac{80}{11000}}\approx$ 7,27 × 10⁻³ rad (0,5 pt) ; $\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\times 60\approx$ 25′ (0,5 pt). (1)
2. b)L’angle est très petit devant 0,1 rad et exprimé en radians : $\tan \alpha \approx \alpha$ (0,5 pt). ${\displaystyle \frac{\alpha }{\epsilon }}\approx 24$ : l’avion est vu comme un objet étendu, pas comme un point (0,5 pt). (1)
3. c)Il faut ${\displaystyle \frac{80}{d}}\ge \epsilon$, soit $d\le {\displaystyle \frac{80}{3,0\times {10}^{-4}}}\approx 2,7\times {10}^5$ m (0,5 pt), soit environ 270 km (0,5 pt). (1)
4. d)$\alpha \prime =G\alpha =12\times 7,27\times {10}^{-3}\approx$ 8,7 × 10⁻² rad (1 pt). (1)

Erreur fréquente — Convertir dans le mauvais sens : pour passer des radians aux degrés, on multiplie par 180/π.

1. a)L’objectif est la lentille de 40,0 cm (grande distance focale, côté objet), l’oculaire celle de 10,0 cm (0,5 pt). $40,0+10,0=50,0$ cm $=O_1{O}_2$ : $F{\prime }_1=F_2$, la lunette est afocale (0,5 pt). (1)
2. b)On trace le rayon incident qui passe par $O_1$, non dévié ; il coupe le plan focal image de l’objectif en $B_1$ (0,5 pt). $A_1{B}_1=f{\prime }_1\tan \alpha =40,0\times 0,10=$ 4,0 cm, sous l’axe (0,5 pt). (1)
3. c)$B_1$ est dans le plan focal objet de l’oculaire : on trace la droite $(B_1{O}_2)$ et l’on fait ressortir tous les rayons parallèles à elle (0,5 pt). $\tan \alpha \prime ={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_2}}={\displaystyle \frac{4,0}{10,0}}=$ 0,40 (0,5 pt).
   (1)
4. d)${\displaystyle \frac{\tan \alpha \prime }{\tan \alpha }}={\displaystyle \frac{0,40}{0,10}}=4,0={\displaystyle \frac{40,0}{10,0}}$ : c’est le grossissement (0,5 pt). Le faisceau émergent monte alors que le faisceau incident descend : l’image finale est renversée (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Faire ressortir les rayons parallèles à l’axe : ils sont parallèles à la droite (B₁O₂).

1. a)$F{\prime }_1=F_2$ (0,5 pt) ; $O_1{O}_2=f{\prime }_1+f{\prime }_2=1,05+0,015=$ 1,065 m (0,5 pt). (1)
2. b)$G={\displaystyle \frac{1050}{15}}=$ 70 (1 pt), les deux distances en mm. (1)
3. c)$\alpha \prime =G\alpha =70\times 8,5\times {10}^{-5}\approx$ 5,95 × 10⁻³ rad (0,5 pt). À l’œil nu, $\alpha$ est inférieur à $\epsilon$ : Mars est un point ; dans la lunette, $\alpha \prime \approx 20\epsilon$ : on voit un disque (0,5 pt). (1)
4. d)$G$ est inversement proportionnel à $f{\prime }_2$ : $G={\displaystyle \frac{1050}{30}}=35$ (0,5 pt). Doubler $f{\prime }_2$ divise $G$ par deux (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Croire que G augmente avec la distance focale de l’oculaire : G = f′₁/f′₂ diminue quand f′₂ augmente.

1. a)$f{\prime }_1+f{\prime }_2=69,0$ cm (afocale) et $f{\prime }_1=45f{\prime }_2$ (grossissement) (0,5 pt) ; $46f{\prime }_2=69,0$ cm, d’où f′₂ = 1,50 cm et f′₁ = 67,5 cm (0,5 pt). (1)
2. b)$C_1={\displaystyle \frac{1}{0,675}}\approx$ 1,48 δ (0,5 pt) ; $C_2={\displaystyle \frac{1}{0,0150}}\approx$ 66,7 δ (0,5 pt). (1)
3. c)$A_1{B}_1\approx f{\prime }_1\alpha =675\times 4,0\times {10}^{-3}=$ 2,7 mm (0,5 pt), dans le plan focal image de l’objectif, confondu avec le plan focal objet de l’oculaire (0,5 pt). (1)
4. d)$d={\displaystyle \frac{D}{G}}={\displaystyle \frac{54}{45}}=$ 1,2 mm (0,5 pt) ; grossissement maximal utile $\approx 2\times 54=$ 108 : 45 est bien en deçà (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Oublier la relation d’afocalité : la longueur de la lunette fixe f′₁ + f′₂, le grossissement fixe f′₁/f′₂.

1. a)$G={\displaystyle \frac{900}{f{\prime }_2}}$ : 36, 100 et 225 (1 pt). (1)
2. b)$G_{max}\approx 2\times 80=160$ (0,5 pt). Avec la Barlow : 72, 200 et 450. Dépassent 160 : l’oculaire de 4,0 mm seul (225), et avec la Barlow ceux de 9,0 mm (200) et de 4,0 mm (450) (0,5 pt). (1)
3. c)$d={\displaystyle \frac{80}{36}}\approx$ 2,2 mm (0,5 pt). $G_{min}={\displaystyle \frac{80}{7}}\approx 11,4$, d’où $f{\prime }_2\le {\displaystyle \frac{900}{11,4}}\approx$ 79 mm (0,5 pt). (1)
4. d)Champ réel : ${\displaystyle \frac{52}{36}}\approx 1,{44}^{\circ }$, plus que 1,2° : l’amas entier est visible (0,5 pt). Avec 9,0 mm : ${\displaystyle \frac{52}{100}}=0,{52}^{\circ }$, on n’en voit qu’une partie (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Choisir le plus fort grossissement possible : au-delà d’environ 2D, l’image est plus grande mais plus floue, et le champ se rétrécit.