Lunette astronomique

Diamètre apparent. Un objet AB, perpendiculaire à la droite (OA) qui le joint à l’œil O, situé à la distance $d=OA$, est vu sous un angle $\alpha$, son diamètre apparent, tel que :

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{d}}$

Petits angles. Pour un angle petit exprimé en radians, $\tan \alpha \approx \alpha$, d’où $\alpha \approx {\displaystyle \frac{AB}{d}}$, avec AB et $d$ dans la même unité. Tant que $\alpha$ reste inférieur à 0,1 rad (environ 6°), l’écart est inférieur à 0,4 %. Les astres sont toujours vus sous de très petits angles.

Unités d’angle. $\pi$ rad $=180°$ ; $1°=60\prime$ (minutes d’angle) et $1\prime =60″$ (secondes d’angle). Ainsi $1\prime ={\displaystyle \frac{\pi }{10800}}$ rad $\approx 2,91\times {10}^{-4}$ rad et $1″\approx 4,85\times {10}^{-6}$ rad.

Pouvoir séparateur de l’œil. C’est le plus petit angle $\epsilon$ sous lequel l’œil distingue encore deux points : $\epsilon$ est de l’ordre de la minute d’angle, soit environ $3\times {10}^{-4}$ rad. Un objet vu sous un angle inférieur à $\epsilon$ apparaît comme un point ; deux points vus sous un écart angulaire inférieur à $\epsilon$ sont confondus.

Objet « à l’infini ». Un astre est si loin que tous les rayons issus d’un même point arrivent sur l’œil ou sur un instrument pratiquement parallèles entre eux. Les rayons issus du bord opposé arrivent parallèles entre eux eux aussi, avec une autre inclinaison : c’est cet écart d’inclinaison que mesure le diamètre apparent.

Rappels. En seconde, on a vu la lentille mince convergente, son centre optique O, ses foyers F et F′, sa distance focale $f\prime$, et que des rayons parallèles entre eux convergent en un point du plan focal image (Vision et image : lentille mince convergente et œil). En première, la vergence $C={\displaystyle \frac{1}{f\prime }}$ (en dioptries, δ, avec $f\prime$ en mètres) et la relation de conjugaison (Lumière : images, couleurs et photons). On les utilise ici pour l’objectif d’une lunette.

Image d’un objet à l’infini. L’objectif $L_1$, de centre optique $O_1$ et de distance focale $f{\prime }_1$, donne d’un objet à l’infini une image située dans son plan focal image. Le point A de l’astre situé sur l’axe a son image en $A_1=F{\prime }_1$. Les rayons issus du point B forment un faisceau parallèle incliné de $\alpha$ : ils convergent en un point $B_1$ du plan focal image, que l’on trouve avec le seul rayon qui passe par $O_1$, non dévié.

Taille de l’image intermédiaire. Dans le triangle $O_{1}F{\prime }_1{B}_1$, rectangle en $F{\prime }_1$ :

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_1}}$, soit $A_1{B}_1=f{\prime }_1\tan \alpha \approx f{\prime }_1\alpha$ ($\alpha$ en rad)

L’image $A_1{B}_1$ est réelle : un écran ou une feuille de calque placé dans le plan focal image la recueille. Elle est renversée : $B_1$ est de l’autre côté de l’axe par rapport à B. Sa taille est proportionnelle à $f{\prime }_1$ : plus l’objectif a une grande distance focale, plus l’image intermédiaire est grande.

Objet lointain mais pas infini. L’image se forme alors un peu au-delà de $F{\prime }_1$ (relation de conjugaison) : pour un objet situé à cent fois $f{\prime }_1$, elle n’est qu’à 1 % de $f{\prime }_1$ au-delà de $F{\prime }_1$. On assimile donc à un objet à l’infini tout objet très éloigné devant $f{\prime }_1$.

Modèle. Une lunette astronomique est modélisée par deux lentilles minces convergentes de même axe : l’objectif $L_1$, tourné vers l’objet, de grande distance focale $f{\prime }_1$, et l’oculaire $L_2$, contre lequel on place l’œil, de petite distance focale $f{\prime }_2$. L’objectif est donc la lentille de plus petite vergence.

Lunette afocale. La lunette est afocale quand le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire :

$F{\prime }_1=F_2$, d’où $O_1{O}_2=f{\prime }_1+f{\prime }_2$

L’image intermédiaire d’un objet à l’infini se forme alors dans le plan focal objet de l’oculaire : l’oculaire en donne une image finale à l’infini, qu’un œil normal observe sans accommoder, donc sans fatigue. Un faisceau de rayons parallèles qui entre dans une lunette afocale en ressort en faisceau de rayons parallèles.

Marche d’un faisceau issu d’un point B à l’infini.

① Le rayon incident qui passe par $O_1$ n’est pas dévié : il coupe le plan focal image de $L_1$ en $B_1$.
② Tous les rayons du faisceau incident convergent en $B_1$, puis divergent vers l’oculaire.
③ $B_1$ est dans le plan focal objet de $L_2$ : les rayons qui en sont issus ressortent parallèles entre eux ; leur direction est celle du rayon $(B_1{O}_2)$, qui traverse $L_2$ sans être dévié.
④ On trace donc le faisceau émergent parallèle à la droite $(B_1{O}_2)$ : il est incliné d’un angle $\alpha \prime$, de l’autre côté de l’axe, et l’image finale est renversée.

Un peu d’histoire. La lunette de Galilée (1609) avait un oculaire divergent. En 1611, dans sa Dioptrice, Johannes Kepler décrit l’association de deux lentilles convergentes, qui donne une image renversée : c’est le modèle de la lunette astronomique étudiée ici.

Définition. Le grossissement d’une lunette compare l’angle $\alpha \prime$ sous lequel on voit l’image finale (inclinaison du faisceau émergent) à l’angle $\alpha$ sous lequel on voit l’objet à l’œil nu :

$G={\displaystyle \frac{\alpha \prime }{\alpha }}$ (sans unité)

La lunette est très courte devant la distance de l’astre : l’angle $\alpha$ vu de l’objectif est celui vu à l’œil nu.

Établir l’expression de G (lunette afocale). Le rayon issu de B qui passe par $O_1$ n’est pas dévié et atteint $B_1$ dans le plan focal image de $L_1$. Dans le triangle $O_{1}F{\prime }_1{B}_1$ : $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_1}}$. Le faisceau émergent est parallèle au rayon $(B_1{O}_2)$, non dévié ; comme $F_2=F{\prime }_1$, dans le triangle $O_2{F}_2{B}_1$ : $\tan \alpha \prime ={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_2}}$. Les angles sont petits : $\alpha \approx {\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_1}}$ et $\alpha \prime \approx {\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_2}}$, d’où :

$G={\displaystyle \frac{\alpha \prime }{\alpha }}={\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{f{\prime }_2}}$

Conséquences. L’image est vue sous l’angle $\alpha \prime =G\alpha$ : des détails invisibles à l’œil nu ($\alpha$ inférieur à $\epsilon$) deviennent discernables si $G\alpha$ dépasse $\epsilon$. Avec un même objectif, un oculaire de plus courte distance focale donne un plus grand grossissement. Si l’on inverse les deux lentilles, $G$ devient ${\displaystyle \frac{f{\prime }_2}{f{\prime }_1}}$, inférieur à 1 : les objets paraissent plus petits.

Grossissement ou grandissement ? Le grandissement $\gamma$ de première compare deux tailles ; pour une lunette afocale, objet et image finale sont à l’infini, leurs tailles n’ont pas de sens : on compare des angles.

La notation « D/f ». Une lunette vendue « 70/900 » a un objectif de diamètre $D=70$ mm et de distance focale $f{\prime }_1=900$ mm. Le rapport ${\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{D}}$ (ici environ 13) est son rapport d’ouverture.

Oculaires. Les oculaires sont interchangeables et désignés par leur distance focale (« 25 mm », « 10 mm ») : chacun donne un grossissement $G={\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{f{\prime }_2}}$. Une lentille de Barlow « ×2 », placée avant l’oculaire, double la distance focale effective de l’objectif, donc le grossissement.

Le diamètre de l’objectif. La lumière collectée est proportionnelle à l’aire de l’objectif, donc à $D^2$ : un grand objectif montre des astres moins lumineux. Il limite aussi la finesse des détails à cause de la diffraction (Diffraction et interférences).

Pupille de sortie. Un faisceau parallèle à l’axe, qui remplit l’objectif, converge en $F{\prime }_1=F_2$ et ressort parallèle à l’axe. D’après le théorème de Thalès dans les deux triangles de sommet $F{\prime }_1$, son diamètre à la sortie vaut :

$d=D{\displaystyle \frac{f{\prime }_2}{f{\prime }_1}}={\displaystyle \frac{D}{G}}$

Toute la lumière entre dans l’œil si $d$ ne dépasse pas le diamètre de la pupille, environ 7 mm dans le noir chez un jeune adulte (moins avec l’âge). D’où un grossissement minimal $G_{min}\approx {\displaystyle \frac{D}{7\text{mm}}}$.

Grossissement maximal utile. Au-delà d’environ $2D$ ($D$ en mm), une règle empirique des astronomes amateurs, l’image est plus grande mais plus floue (diffraction, turbulence de l’air) : aucun détail nouveau n’apparaît.

Champ. L’oculaire ne montre les rayons émergents que jusqu’à un angle maximal, son champ apparent. Le champ réel, portion du ciel visible, vaut environ ${\displaystyle \frac{\text{champ apparent}}{G}}$ : plus on grossit, moins on voit de ciel.

Maquette au laboratoire. Sur un banc d’optique, on aligne deux lentilles convergentes en visant un objet lointain (ou une mire placée dans le plan focal d’une lentille). Un calque placé entre les lentilles recueille l’image intermédiaire nette dans le plan focal image de l’objectif ; on règle l’oculaire pour voir l’image finale nette sans accommoder. Le grossissement se calcule par $G={\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{f{\prime }_2}}$, ou se mesure en comparant l’angle sous lequel une mire est vue dans la lunette à celui sous lequel elle est vue à l’œil nu.