Lunette astronomique

Conversions d’angles et diamètres apparents (petits angles). On donne π rad = 180°.

1. 1,0° = × 10⁻² rad
   $1,0\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 1,75 × 10⁻² rad.
2. 0,25° = × 10⁻³ rad
   $0,25\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 4,36 × 10⁻³ rad.
3. 5,0′ = × 10⁻³ rad
   $5,0\prime ={\displaystyle \frac{5,0}{60}}°$, soit ${\displaystyle \frac{5,0}{60}}\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 1,45 × 10⁻³ rad.
4. 40″ = × 10⁻⁴ rad
   $40″={\displaystyle \frac{40}{3600}}°$, soit ${\displaystyle \frac{40}{3600}}\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 1,94 × 10⁻⁴ rad.
5. 3,0 × 10⁻³ rad = ′ (au dixième)
   $3,0\times {10}^{-3}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\approx 0,1719°$, puis $\times 60$ : 10,3′.
6. 0,12 rad = ° (au centième)
   $0,12\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\approx$ 6,88°. Pour aller vers les degrés, on multiplie par ${\displaystyle \frac{180}{\pi }}$.
7. Panneau de 2,0 m vu à 800 m : α ≈ × 10⁻³ rad
   $\alpha \approx {\displaystyle \frac{2,0}{800}}=$ $2,5\times {10}^{-3}$ rad.
8. Voiture de 4,5 m vue à 3,0 km : α ≈ × 10⁻³ rad
   $d=3000$ m : $\alpha \approx {\displaystyle \frac{4,5}{3000}}=$ $1,5\times {10}^{-3}$ rad.
9. Objet de 12 cm vu sous 4,0 × 10⁻⁴ rad : il est à d = m
   $d={\displaystyle \frac{AB}{\alpha }}={\displaystyle \frac{0,12}{4,0\times {10}^{-4}}}=$ 300 m.
10. Objet situé à 2,4 km, vu sous 5,0 × 10⁻³ rad : AB = m
    $AB=\alpha d=5,0\times {10}^{-3}\times 2400=$ 12 m.

Pouvoir séparateur de l’œil : ε = 3,0 × 10⁻⁴ rad. Les questions sont indépendantes.

1. ε exprimé en minutes d’angle : ε ≈ ′ (au centième)
   $3,0\times {10}^{-4}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\times 60\approx$ 1,03′ : environ une minute d’angle.
2. Distance maximale à laquelle on distingue les deux phares d’une voiture, écartés de 1,5 m : km
   Il faut ${\displaystyle \frac{1,5}{d}}\ge \epsilon$, soit $d\le {\displaystyle \frac{1,5}{3,0\times {10}^{-4}}}=5000$ m, soit 5,0 km.
3. Plus petit détail discernable sur la façade d’un château vu à 600 m : cm
   $AB=\epsilon d=3,0\times {10}^{-4}\times 600=0,18$ m, soit 18 cm.
4. Deux étoiles séparées de 0,80′ : écart angulaire = × 10⁻⁴ rad
   ${\displaystyle \frac{0,80}{60}}\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 2,33 × 10⁻⁴ rad.
5. À l’œil nu, ces deux étoiles sont vues (séparées ou confondues)
   2,33 × 10⁻⁴ rad est inférieur à $\epsilon =3,0\times {10}^{-4}$ rad : les deux étoiles sont vues confondues, en un seul point lumineux.
6. Un oiseau de 25 cm d’envergure est vu sous l’angle ε à la distance d ≈ m (à la dizaine)
   $d={\displaystyle \frac{0,25}{3,0\times {10}^{-4}}}\approx$ 830 m ; plus loin, il n’est plus qu’un point.

L’œil O est au niveau du pied A d’un immeuble de hauteur AB = 48 m, à la distance d = OA ; tan α = AB/d.

1. Pour d = 60 m : α = rad (au millième)
   $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{48}{60}}=0,80$, d’où $\alpha =\arctan (0,80)\approx$ 0,675 rad (calculatrice en radians).
2. Le même angle en degrés : ° (au dixième)
   $0,6747\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\approx$ 38,7° : ce n’est pas un petit angle.
3. La formule approchée donne 0,800 rad : écart relatif avec la valeur exacte ≈ % (au dixième)
   ${\displaystyle \frac{0,800-0,6747}{0,6747}}\approx$ 18,6 % : l’approximation des petits angles est ici inacceptable.
4. Pour d = 600 m, écart relatif entre 48/600 et la valeur exacte de α ≈ % (au centième)
   $\alpha =\arctan (0,080)\approx 0,079830$ rad et ${\displaystyle \frac{48}{600}}=0,080$ rad : écart $\approx$ 0,21 %, négligeable.
5. Distance à laquelle l’immeuble serait vu sous ε = 3,0 × 10⁻⁴ rad : km
   Angle petit : $d={\displaystyle \frac{48}{3,0\times {10}^{-4}}}=1,6\times {10}^5$ m, soit 160 km.

L’objet visé est à l’infini ; A₁B₁ est la taille de l’image intermédiaire donnée par l’objectif de distance focale f′₁.

1. f′₁ = 1,00 m ; α = 5,0 × 10⁻³ rad : A₁B₁ = mm
   $A_1{B}_1\approx f{\prime }_1\alpha =1000\times 5,0\times {10}^{-3}=$ 5,0 mm.
2. f′₁ = 650 mm ; α = 2,0 × 10⁻⁴ rad : A₁B₁ = mm
   $650\times 2,0\times {10}^{-4}=$ 0,13 mm.
3. f′₁ = 1,2 m ; α = 1,5 × 10⁻³ rad : A₁B₁ = mm
   $1200\times 1,5\times {10}^{-3}=$ 1,8 mm.
4. f′₁ = 400 mm ; α = 0,40° : A₁B₁ = mm (au centième)
   D’abord en radians : $0,40°\approx 6,981\times {10}^{-3}$ rad ; $A_1{B}_1\approx 400\times 6,981\times {10}^{-3}\approx$ 2,79 mm.
5. f′₁ = 2,0 m ; α = 30″ : A₁B₁ = mm (au centième)
   $30″\approx 1,45\times {10}^{-4}$ rad ; $A_1{B}_1\approx 2000\times 1,45\times {10}^{-4}\approx$ 0,29 mm.
6. A₁B₁ = 4,2 mm avec f′₁ = 700 mm : α = × 10⁻³ rad
   $\alpha \approx {\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_1}}={\displaystyle \frac{4,2}{700}}=$ $6,0\times {10}^{-3}$ rad.
7. A₁B₁ = 2,5 mm pour α = 2,0 × 10⁻³ rad : f′₁ = m
   $f{\prime }_1={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{\alpha }}={\displaystyle \frac{2,5}{2,0\times {10}^{-3}}}=1250$ mm, soit 1,25 m.
8. Objectif de vergence C₁ = 2,5 δ : f′₁ = cm
   $f{\prime }_1={\displaystyle \frac{1}{C_1}}={\displaystyle \frac{1}{2,5}}=0,40$ m, soit 40 cm.
9. Ce même objectif, α = 4,0 × 10⁻³ rad : A₁B₁ = mm
   $A_1{B}_1\approx 400\times 4,0\times {10}^{-3}=$ 1,6 mm.

Un objectif de distance focale f′₁ = 90 cm vise des étoiles. On repère les images sur un calque placé derrière lui.

1. Distance entre l’objectif et le calque pour que l’image d’une étoile soit nette : cm
   L’étoile est à l’infini : son image est dans le plan focal image, à 90 cm de l’objectif.
2. Une étoile située sur l’axe a pour image le point
   Son image est le foyer image F′₁ de l’objectif.
3. Écart entre les images de deux étoiles séparées de 2,0′ : mm (au centième)
   $2,0\prime \approx 5,82\times {10}^{-4}$ rad ; écart $\approx 900\times 5,82\times {10}^{-4}\approx$ 0,52 mm.
4. Même écart avec un objectif de 45 cm : mm (au centième)
   La taille de l’image est proportionnelle à $f{\prime }_1$ : $450\times 5,82\times {10}^{-4}\approx$ 0,26 mm, deux fois moins.
5. Étoile vue 3,0 × 10⁻³ rad au-dessus de l’axe : son image est à mm sous l’axe (objectif de 90 cm)
   Le rayon passant par $O_1$ n’est pas dévié : il coupe le plan focal de l’autre côté de l’axe, à $900\times 3,0\times {10}^{-3}=$ 2,7 mm sous l’axe (image renversée).

Un pylône de 96 m de haut, situé à 4,0 km, est photographié ; l’objectif forme l’image sur un capteur de 15,6 mm de hauteur.

1. Diamètre apparent du pylône : α = × 10⁻² rad
   $\alpha \approx {\displaystyle \frac{96}{4000}}=$ $2,4\times {10}^{-2}$ rad.
2. Hauteur de son image avec un objectif de 500 mm : mm
   Le pylône est très loin devant $f{\prime }_1$ : image dans le plan focal, $A_1{B}_1\approx 500\times 2,4\times {10}^{-2}=$ 12 mm.
3. Plus grande distance focale pour que l’image tienne dans la hauteur du capteur : mm
   $f{\prime }_1\le {\displaystyle \frac{15,6}{2,4\times {10}^{-2}}}=$ 650 mm.
4. Avec un objectif de 1 000 mm, distance minimale du pylône pour qu’il tienne entier : km (au dixième)
   Il faut $1000\times {\displaystyle \frac{96}{d}}\le 15,6$ (en mm), soit $d\ge {\displaystyle \frac{96\times 1000}{15,6}}\approx 6150$ m, soit 6,2 km.
5. Avec cet objectif de 1 000 mm et le pylône à 4,0 km, part de la hauteur du pylône qui tient sur le capteur : %
   Image complète : $1000\times 2,4\times {10}^{-2}=24$ mm ; seuls 15,6 mm tiennent : ${\displaystyle \frac{15,6}{24}}=$ 65 %.

Les lunettes sont réglées en afocal. Les trois dernières questions portent sur la lunette dessinée au-dessus d’une règle graduée en centimètres.

1. f′₁ = 1,40 m ; f′₂ = 20 mm : O₁O₂ = m
   $O_1{O}_2=1,40+0,020=$ 1,42 m (mêmes unités).
2. f′₁ = 600 mm ; f′₂ = 9,0 mm : O₁O₂ = mm
   $600+9,0=$ 609 mm.
3. C₁ = 1,0 δ ; C₂ = 50 δ : O₁O₂ = cm
   $f{\prime }_1={\displaystyle \frac{1}{1,0}}=1,0$ m $=100$ cm et $f{\prime }_2={\displaystyle \frac{1}{50}}=0,020$ m $=2,0$ cm : $O_1{O}_2=$ 102 cm.
4. O₁O₂ = 82,5 cm et f′₂ = 2,5 cm : f′₁ = cm
   $f{\prime }_1=O_1{O}_2-f{\prime }_2=82,5-2,5=$ 80 cm.
5. Lunette de longueur 1,018 m, objectif de 1,00 m : f′₂ = mm
   $f{\prime }_2=1,018-1,00=0,018$ m, soit 18 mm.
6. Lentilles de +4,0 δ et +25 δ : vergence de la lentille qui sert d’objectif : δ
   L’objectif a la plus grande distance focale, donc la plus petite vergence : 4,0 δ ($f\prime =25$ cm, contre 4,0 cm).
7. Lentilles de 30 cm et de 5,0 cm placées à 25 cm l’une de l’autre : pour un réglage afocal, il faut les écarter encore de cm
   Il faut $O_1{O}_2=30+5,0=35$ cm : écarter de 10 cm. 25 cm est la différence des focales, un piège classique.
8. Sur le schéma : f′₁ = cm
   De $L_1$ (graduation 0) à $F{\prime }_1$ : 50 cm.
9. Sur le schéma : f′₂ = cm
   De $F_2$ (50) à $L_2$ (60), ou de $L_2$ à $F{\prime }_2$ (70) : 10 cm.
10. Sur le schéma : O₁O₂ = cm
    $O_1{O}_2=50+10=$ 60 cm : on retrouve $f{\prime }_1+f{\prime }_2$.

Maquette afocale : f′₁ = 60 cm, f′₂ = 20 cm. Un faisceau issu d’un point B à l’infini, au-dessus de l’axe, arrive incliné de α = 0,050 rad (petits angles).

1. Le faisceau converge en B₁, à cm de O₁ mesurés le long de l’axe
   $B_1$ est dans le plan focal image de l’objectif, à 60 cm de $O_1$.
2. B₁ est à cm sous l’axe
   Rayon non dévié par $O_1$ : $A_1{B}_1\approx 60\times 0,050=$ 3,0 cm, sous l’axe.
3. Les rayons émergents sont parallèles à la droite
   $B_1$ est dans le plan focal objet de l’oculaire : les rayons ressortent parallèles au rayon non dévié $(B_1{O}_2)$.
4. Inclinaison du faisceau émergent : α′ ≈ rad
   $\tan \alpha \prime ={\displaystyle \frac{A_1{B}_1}{f{\prime }_2}}={\displaystyle \frac{3,0}{20}}=0,15$, d’où α′ ≈ 0,15 rad, de l’autre côté de l’axe.
5. Un rayon du faisceau qui frappe l’objectif 1,5 cm au-dessus de l’axe atteint l’oculaire à cm sous l’axe
   De l’objectif à $B_1$ (60 cm), il descend de $1,5+3,0=4,5$ cm ; il continue sur 20 cm de plus et descend encore de $4,5\times {\displaystyle \frac{20}{60}}=1,5$ cm : 4,5 cm sous l’axe.
6. Après l’oculaire, ce rayon monte de cm pour 100 cm parcourus le long de l’axe
   Il est parallèle à $(B_1{O}_2)$, de pente $0,15$ : 15 cm pour 100 cm.

Lunette afocale : f′₁ = 80 cm, f′₂ = 5,0 cm. Un faisceau de diamètre 40 mm, centré sur O₁, arrive incliné de α = 0,010 rad (B au-dessus de l’axe).

1. B₁ est à mm sous l’axe
   $A_1{B}_1\approx 800\times 0,010=$ 8,0 mm.
2. Le rayon qui frappe l’objectif 20 mm au-dessus de l’axe atteint l’oculaire à mm sous l’axe (au centième)
   Jusqu’à $B_1$ il descend de $20+8,0=28$ mm sur 800 mm ; sur les 50 mm suivants, encore $28\times {\displaystyle \frac{50}{800}}=1,75$ mm : 9,75 mm sous l’axe.
3. Le rayon qui frappe l’objectif 20 mm au-dessous de l’axe atteint l’oculaire à mm sous l’axe (au centième)
   Jusqu’à $B_1$ il descend de $8,0-20=-12$ mm (il remonte de 12 mm) ; ensuite il remonte de $12\times {\displaystyle \frac{50}{800}}=0,75$ mm : 7,25 mm sous l’axe.
4. Largeur du faisceau sur l’oculaire : mm
   $9,75-7,25=$ 2,5 mm, soit ${\displaystyle \frac{40}{16}}$ : le faisceau est 16 fois plus étroit.
5. Inclinaison du faisceau émergent : α′ ≈ rad
   $\tan \alpha \prime ={\displaystyle \frac{8,0}{50}}=0,16$, donc α′ ≈ 0,16 rad.
6. Rapport α′/α ≈
   ${\displaystyle \frac{0,16}{0,010}}=$ 16, égal à ${\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{f{\prime }_2}}={\displaystyle \frac{80}{5,0}}$.

Lunettes afocales : f′₁ est la distance focale de l’objectif, f′₂ celle de l’oculaire.

1. f′₁ = 1,80 m ; f′₂ = 25 mm : G =
   $G={\displaystyle \frac{1800}{25}}=$ 72 (les deux en mm).
2. f′₁ = 900 mm ; f′₂ = 7,5 mm : G =
   $G={\displaystyle \frac{900}{7,5}}=$ 120.
3. f′₁ = 80 cm ; f′₂ = 2,0 cm : G =
   $G={\displaystyle \frac{80}{2,0}}=$ 40.
4. C₁ = 0,50 δ ; C₂ = 40 δ : G =
   $f{\prime }_1=2,0$ m et $f{\prime }_2=0,025$ m : $G={\displaystyle \frac{2,0}{0,025}}=$ 80 (c’est aussi ${\displaystyle \frac{C_2}{C_1}}$).
5. G = 36 ; α = 4,0 × 10⁻⁴ rad : α′ = × 10⁻² rad
   $\alpha \prime =G\alpha =36\times 4,0\times {10}^{-4}=$ $1,44\times {10}^{-2}$ rad, soit $1,4\times {10}^{-2}$ rad avec deux chiffres significatifs.
6. α′ = 2,4 × 10⁻² rad avec G = 160 : α = × 10⁻⁴ rad
   $\alpha ={\displaystyle \frac{\alpha \prime }{G}}={\displaystyle \frac{2,4\times {10}^{-2}}{160}}=$ $1,5\times {10}^{-4}$ rad.
7. f′₁ = 1 200 mm ; on veut G = 200 : f′₂ = mm
   $f{\prime }_2={\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{G}}={\displaystyle \frac{1200}{200}}=$ 6,0 mm.
8. f′₂ = 12,5 mm ; G = 64 : f′₁ = mm
   $f{\prime }_1=Gf{\prime }_2=64\times 12,5=$ 800 mm.
9. α = 20″ et G = 100 : α′ ≈ × 10⁻³ rad (au centième)
   $20″\approx 9,696\times {10}^{-5}$ rad ; $\alpha \prime \approx 100\times 9,696\times {10}^{-5}\approx$ 9,70 × 10⁻³ rad.
10. Lentilles inversées : 10 mm du côté de l’objet, 1 000 mm du côté de l’œil : G =
    $G={\displaystyle \frac{10}{1000}}=$ 0,010 : les objets paraissent cent fois plus petits.

Lunette afocale : f′₁ = 1,20 m, f′₂ = 25 mm. Jupiter est vue à l’œil nu sous α = 2,3 × 10⁻⁴ rad ; ε = 3,0 × 10⁻⁴ rad.

1. Distance entre les lentilles : O₁O₂ = m (au millième)
   $F{\prime }_1=F_2$ : $O_1{O}_2=1,20+0,025=$ 1,225 m.
2. Grossissement : G =
   $G={\displaystyle \frac{1200}{25}}=$ 48.
3. Diamètre apparent de Jupiter dans la lunette : α′ ≈ × 10⁻² rad
   $\alpha \prime =48\times 2,3\times {10}^{-4}\approx$ $1,1\times {10}^{-2}$ rad.
4. α′ est environ fois plus grand que ε (à l’unité)
   ${\displaystyle \frac{1,10\times {10}^{-2}}{3,0\times {10}^{-4}}}\approx$ 37 : Jupiter, un point à l’œil nu ($\alpha$ inférieur à $\epsilon$), devient un disque.
5. Avec un oculaire de 50 mm, le grossissement devient
   $G={\displaystyle \frac{1200}{50}}=$ 24 : doubler $f{\prime }_2$ divise $G$ par deux.
6. Oculaire nécessaire pour voir Jupiter sous 2,0 × 10⁻² rad : f′₂ ≈ mm (à l’unité)
   $G={\displaystyle \frac{2,0\times {10}^{-2}}{2,3\times {10}^{-4}}}\approx 87,0$, puis $f{\prime }_2={\displaystyle \frac{1200}{G}}\approx$ 14 mm.

Maquette : f′₁ = 50,0 cm, f′₂ = 3,0 cm. Une mire à 50,0 m porte deux traits écartés de 10,0 cm ; vus dans la lunette, ils couvrent 1,60 m d’une règle vue à l’œil nu à côté de la mire.

1. Écart angulaire des traits à l’œil nu : α = × 10⁻³ rad
   $\alpha \approx {\displaystyle \frac{0,100}{50,0}}=$ $2,00\times {10}^{-3}$ rad.
2. Écart angulaire vu dans la lunette : α′ = × 10⁻² rad
   L’image couvre 1,60 m de la règle, à la même distance : $\alpha \prime \approx {\displaystyle \frac{1,60}{50,0}}=$ $3,20\times {10}^{-2}$ rad.
3. Grossissement mesuré : G =
   $G={\displaystyle \frac{\alpha \prime }{\alpha }}={\displaystyle \frac{3,20\times {10}^{-2}}{2,00\times {10}^{-3}}}=$ 16,0.
4. Grossissement attendu par le modèle : G = (au dixième)
   $G={\displaystyle \frac{f{\prime }_1}{f{\prime }_2}}={\displaystyle \frac{50,0}{3,0}}\approx$ 16,7.
5. Écart relatif entre la mesure et le modèle : % (au dixième)
   ${\displaystyle \frac{16,67-16,0}{16,67}}\approx$ 4,0 % : accord correct pour une mesure à l’œil.
6. Oculaire à utiliser avec cet objectif pour G = 25 : f′₂ = cm
   $f{\prime }_2={\displaystyle \frac{50,0}{25}}=$ 2,0 cm.

Lunette « 102/1 000 », oculaires de 25 mm, 10 mm et 5,0 mm, lentille de Barlow ×2 ; pupille de l’œil : 7 mm ; champ apparent des oculaires : 50°.

1. Rapport d’ouverture f′₁/D ≈ (au dixième)
   « 102/1 000 » : $D=102$ mm et $f{\prime }_1=1000$ mm, d’où ${\displaystyle \frac{1000}{102}}\approx$ 9,8.
2. Grossissement avec l’oculaire de 25 mm : G =
   $G={\displaystyle \frac{1000}{25}}=$ 40.
3. Grossissement avec l’oculaire de 5,0 mm : G =
   $G={\displaystyle \frac{1000}{5,0}}=$ 200.
4. Grossissement maximal utile ≈
   $2\times 102=$ 204 environ.
5. Oculaire de 10 mm avec la Barlow ×2 : G =
   Focale effective $2\times 1000=2000$ mm : $G={\displaystyle \frac{2000}{10}}=$ 200.
6. Pupille de sortie avec l’oculaire de 25 mm : d = mm (au centième)
   $d={\displaystyle \frac{D}{G}}={\displaystyle \frac{102}{40}}=$ 2,55 mm.
7. Grossissement minimal pour une pupille de sortie de 7 mm au plus : G ≈ (à l’unité)
   $G\ge {\displaystyle \frac{102}{7}}\approx$ 15.
8. Champ réel avec l’oculaire de 25 mm : ° (au centième)
   ${\displaystyle \frac{50}{40}}=$ 1,25°.
9. Champ réel avec l’oculaire de 5,0 mm : °
   ${\displaystyle \frac{50}{200}}=$ 0,25° : cinq fois moins de ciel.

Deux lunettes, A « 60/700 » et B « 90/500 », sont utilisées avec le même oculaire de 10 mm.

1. Grossissement de A :
   ${\displaystyle \frac{700}{10}}=$ 70.
2. Grossissement de B :
   ${\displaystyle \frac{500}{10}}=$ 50 : le plus grand diamètre ne donne pas le plus grand grossissement.
3. Pupille de sortie de A : mm (au centième)
   ${\displaystyle \frac{60}{70}}\approx$ 0,86 mm.
4. Pupille de sortie de B : mm
   ${\displaystyle \frac{90}{50}}=$ 1,8 mm : image plus lumineuse.
5. Rapport des quantités de lumière collectées par B et par A :
   Proportionnel à l’aire, donc à $D^2$ : ${\left({\displaystyle \frac{90}{60}}\right)}^2=$ 2,25.
6. Oculaire qui donne à A son grossissement maximal utile : f′₂ ≈ mm (au dixième)
   $G_{max}\approx 2\times 60=120$, d’où $f{\prime }_2={\displaystyle \frac{700}{120}}\approx$ 5,8 mm.

Lunette « 127/1 200 », oculaire de 6,0 mm, Barlow ×2. Lors d’une opposition, Mars est vue sous 18″ ; on veut la voir sous au moins 4,0′.

1. Diamètre apparent de Mars : α = × 10⁻⁵ rad (au centième)
   $18″={\displaystyle \frac{18}{3600}}°$, soit $\approx$ 8,73 × 10⁻⁵ rad.
2. Angle visé, 4,0′ : × 10⁻³ rad (au centième)
   ${\displaystyle \frac{4,0}{60}}\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}\approx$ 1,16 × 10⁻³ rad.
3. Grossissement minimal : G ≈ (au dixième)
   $G={\displaystyle \frac{\alpha \prime }{\alpha }}$ avec les deux angles dans la même unité : ${\displaystyle \frac{4,0\prime }{18″}}={\displaystyle \frac{240″}{18″}}\approx$ 13,3 ; il faut $G\ge 13,3$.
4. Plus grande distance focale d’oculaire qui convient : mm
   $G\ge {\displaystyle \frac{240}{18}}$, donc $f{\prime }_2\le 1200\times {\displaystyle \frac{18}{240}}=$ 90 mm.
5. Grossissement avec l’oculaire de 6,0 mm et la Barlow : G =
   ${\displaystyle \frac{2\times 1200}{6,0}}=$ 400.
6. Grossissement au-delà duquel cette lunette ne montre plus de détails nouveaux ≈
   $2\times 127=$ 254 : 400 dépasse cette limite, l’image serait floue.
7. Pupille de sortie avec 6,0 mm et Barlow : mm (au centième)
   ${\displaystyle \frac{127}{400}}\approx$ 0,32 mm : image très sombre.