Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Champ d’un condensateur plan et force électrique ; deuxième loi de Newton ; accélérer ou freiner une particule chargée ; énergie et électronvolt ; accélérateur linéaire ; déviation entre deux armatures.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le tube à rayons X d’un cabinet dentaire et la limite du modèle de Newton, l’imprimante à jet d’encre, un dispositif qui trie les électrons selon leur énergie, un petit accélérateur linéaire de protons et le tube d’un oscilloscope analogique, du spot lumineux au trait tracé par une tension sinusoïdale.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fixe le cadre : système, référentiel du laboratoire supposé galiléen, repère avec un axe selon ${\vec{v}}_{0}$ et un axe selon $\vec{E}$ .
Je compare les forces : $F = | q | E$ avec $E = \frac{U}{d}$ , et le poids $m g$ ; je ne néglige le poids qu’après cette comparaison.
J’applique la deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \frac{q \vec{E}}{m}$ (ou avec le poids), puis j’écris les équations horaires avec les conditions initiales.
Je choisis l’outil : énergie ( $Δ E_{c} = q U_{A B}$ ) pour une vitesse sans durée ; équations horaires pour une date, une position ou une déviation.
Je contrôle : unités (mètres, joules ou électronvolts), sens des forces selon le signe de $q$ , vitesse petite devant celle de la lumière.

Problème 1 · Le tube à rayons X d’un cabinet dentaire★★★Facile

Dans le tube à rayons X d’un appareil de radiographie dentaire, des électrons émis sans vitesse par une cathode chauffée sont accélérés, dans le vide, vers une anode métallique située à 1,5 cm. La tension entre la cathode et l’anode vaut 60 kV (pour les radiographies intrabuccales, on utilise des tensions de 60 à 70 kV). En frappant l’anode, les électrons y produisent les rayons X. On modélise le champ entre la cathode et l’anode par un champ uniforme ; le poids est négligé. Données :

e = 1, 60 \times 10^{- 19}

C ;

m_{e} = 9, 11 \times 10^{- 31}

kg ;

c = 3, 00 \times 10^{8}

m·s⁻¹.

1. Valeur du champ entre la cathode et l’anode : $E =$ × 10⁶ V·m⁻¹
$E = \frac{U}{d} = \frac{60 \times 10^{3}}{0, 015} =$ 4,0 × 10⁶ V·m⁻¹. Dans l’air, une telle valeur ferait éclater une étincelle : le tube est vidé de son air.
2. Valeur de la force électrique sur un électron : $F =$ × 10⁻¹³ N
$F = e E = 1, 60 \times 10^{- 19} \times 4, 0 \times 10^{6} =$ 6,4 × 10⁻¹³ N, dirigée de la cathode vers l’anode.
3. Énergie cinétique d’un électron à son arrivée sur l’anode : keV
Théorème de l’énergie cinétique, départ au repos : $E_{c} = e U$ , soit 60 keV pour une charge élémentaire sous 60 kV.
4. La même énergie en joules : × 10⁻¹⁵ J
$60 \times 10^{3} \times 1, 60 \times 10^{- 19} =$ 9,6 × 10⁻¹⁵ J.
5. Vitesse d’arrivée calculée avec $E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ : × 10⁸ m·s⁻¹
$v = \sqrt{\frac{2 \times 9, 6 \times 10^{- 15}}{9, 11 \times 10^{- 31}}} \approx$ 1,45 × 10⁸ m·s⁻¹.
6. Rapport de cette vitesse à la vitesse de la lumière :
$\frac{1, 45 \times 10^{8}}{3, 00 \times 10^{8}} \approx$ 0,48 : près de la moitié de la vitesse de la lumière. La mécanique de Newton n’est plus valable ici (la vitesse réelle est un peu plus faible) ; l’énergie gagnée, 60 keV, reste exacte, puisqu’elle vient du travail $e U$ .

Problème 2 · L’imprimante à jet d’encre★★★Moyen

Dans une imprimante à jet d’encre continu, des gouttes d’encre électrisées sont éjectées horizontalement à la vitesse

v_{0} = 18

m·s⁻¹, puis passent entre deux armatures de déviation de longueur

L = 1, 6

cm, distantes de

d = 1, 0

cm et soumises à une tension

U = 2, 5

kV. Le papier est à la distance

D = 1, 0

cm de la sortie des armatures. Une goutte a pour masse

m = 1, 3 \times 10^{- 10}

kg et pour charge

q = - 8, 0 \times 10^{- 13}

C ; elle entre au milieu des armatures. Repère : origine O à l’entrée des armatures,

O x

selon

{\vec{v}}_{0}

O y

dans le sens de la force électrique.

g = 9, 81

m·s⁻².

1. Valeur de la force électrique subie par une goutte : $F =$ × 10⁻⁷ N
$E = \frac{2, 5 \times 10^{3}}{0, 010} = 2, 5 \times 10^{5}$ V·m⁻¹ ; $F = | q | E = 8, 0 \times 10^{- 13} \times 2, 5 \times 10^{5} =$ 2,0 × 10⁻⁷ N, dirigée vers l’armature positive (charge négative).
2. Rapport du poids de la goutte à la force électrique : $\frac{P}{F} \approx$ × 10⁻³
$P = 1, 3 \times 10^{- 10} \times 9, 81 \approx 1, 28 \times 10^{- 9}$ N, donc $\frac{P}{F} \approx$ 6,4 × 10⁻³ : moins de 1 %, on néglige le poids. L’écart n’est que de deux ordres de grandeur, contre plus de dix pour un électron.
3. Coordonnée $a_{y}$ de l’accélération d’une goutte : × 10³ m·s⁻²
Système {goutte}, référentiel de l’imprimante supposé galiléen : $a_{x} = 0$ et $a_{y} = \frac{| q | E}{m} = \frac{2, 0 \times 10^{- 7}}{1, 3 \times 10^{- 10}} \approx$ 1,54 × 10³ m·s⁻². Avec les conditions initiales : $x = v_{0} t$ et $y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ , d’où la parabole $y = \frac{a_{y}}{2 v_{0}^{2}} x^{2}$ .
4. Déviation d’une goutte à la sortie des armatures : mm
$t_{s} = \frac{0, 016}{18} \approx 8, 89 \times 10^{- 4}$ s ; $y_{s} = \frac{1}{2} \times 1, 538 \times 10^{3} \times (8, 89 \times 10^{- 4})^{2} \approx 6, 1 \times 10^{- 4}$ m, soit 0,61 mm, bien moins que les 5 mm disponibles.
5. Hauteur du point d’impact sur le papier, comptée depuis l’axe d’éjection : mm
Après les armatures, mouvement rectiligne uniforme : $\tan α = \frac{a_{y} t_{s}}{v_{0}} \approx 7, 6 \times 10^{- 2}$ , et $Y = y_{s} + D \tan α \approx 6, 1 \times 10^{- 4} + 7, 6 \times 10^{- 4} \approx$ 1,4 mm.
6. Tension à appliquer pour placer une goutte à 3,0 mm de l’axe : kV
$a_{y}$ est proportionnelle à $U$ , donc $Y$ aussi : $U' = 2, 5 \times \frac{3, 0}{1, 368} \approx$ 5,5 kV. La déviation en sortie devient environ 1,3 mm : la goutte ne touche pas les armatures.
7. Un technicien double la vitesse d’éjection (tension 2,5 kV). Hauteur du point d’impact : mm
$Y = \frac{a_{y} L}{v_{0}^{2}} (\frac{L}{2} + D)$ varie comme $\frac{1}{v_{0}^{2}}$ : doubler $v_{0}$ divise $Y$ par 4, $\frac{1, 368}{4} \approx$ 0,34 mm, et non par 2.

Problème 3 · Trier des électrons par leur énergie★★★Moyen

Un métal éclairé émet des électrons dont l’énergie cinétique initiale est comprise entre 0 et 5,0 eV. Ces électrons franchissent une première grille perpendiculairement à celle-ci, puis traversent un champ uniforme qui les freine, créé entre deux grilles parallèles distantes de

d = 1, 5

cm et soumises à une tension réglable

U

. Seuls les électrons qui franchissent la seconde grille sont comptés. Poids négligé ;

e = 1, 60 \times 10^{- 19}

C ;

m_{e} = 9, 11 \times 10^{- 31}

kg ; 1 eV

= 1, 60 \times 10^{- 19}

1. Pour $U = 3, 0$ V, énergie cinétique initiale minimale d’un électron qui franchit la seconde grille : eV
Le travail de la force électrique vaut $- e U$ : $E_{c} (sortie) = E_{c 0} - e U$ . Une énergie cinétique ne peut pas être négative : l’électron ne franchit la seconde grille que si $E_{c 0} > e U$ , soit 3,0 eV. En réglant $U$ , on trie les électrons par énergie.
2. Vitesse d’entrée d’un électron de 5,0 eV : × 10⁶ m·s⁻¹
$E_{c 0} = 5, 0 \times 1, 60 \times 10^{- 19} = 8, 0 \times 10^{- 19}$ J ; $v_{0} = \sqrt{\frac{2 \times 8, 0 \times 10^{- 19}}{9, 11 \times 10^{- 31}}} \approx$ 1,3 × 10⁶ m·s⁻¹.
3. Sous $U = 3, 0$ V, vitesse de cet électron à la seconde grille : × 10⁵ m·s⁻¹
Il lui reste $5, 0 - 3, 0 = 2, 0$ eV $= 3, 2 \times 10^{- 19}$ J : $v = \sqrt{\frac{2 \times 3, 2 \times 10^{- 19}}{9, 11 \times 10^{- 31}}} \approx$ 8,4 × 10⁵ m·s⁻¹. Il a perdu 60 % de son énergie, mais seulement 37 % de sa vitesse.
4. Valeur de la décélération d’un électron entre les grilles : × 10¹³ m·s⁻²
$E = \frac{3, 0}{0, 015} = 2, 0 \times 10^{2}$ V·m⁻¹ ; $a = \frac{e E}{m_{e}} = \frac{1, 60 \times 10^{- 19} \times 2, 0 \times 10^{2}}{9, 11 \times 10^{- 31}} \approx$ 3,5 × 10¹³ m·s⁻², opposée au mouvement.
5. Un électron de 1,0 eV entre dans le même dispositif : distance parcourue avant de rebrousser chemin : mm
Par l’énergie : il s’arrête quand le travail résistant atteint 1,0 eV, c’est-à-dire après avoir « remonté » 1,0 V sur les 3,0 V : $ℓ = \frac{1, 0}{3, 0} \times 1, 5$ cm $=$ 5,0 mm. Vérification : $ℓ = \frac{v_{0}^{2}}{2 a}$ avec $v_{0} \approx 5, 93 \times 10^{5}$ m·s⁻¹.
6. Durée entre son entrée et son rebroussement : × 10⁻⁸ s
$v (t) = v_{0} - a t$ s’annule à $t = \frac{5, 93 \times 10^{5}}{3, 513 \times 10^{13}} \approx$ 1,7 × 10⁻⁸ s. Il repart ensuite vers la première grille et la franchit à la même vitesse, en sens inverse. Sa trajectoire est une droite et non une parabole : sa vitesse initiale est parallèle au champ.

Problème 4 · Un petit accélérateur linéaire de protons★★★Difficile

Un accélérateur linéaire reçoit des protons d’énergie cinétique 50 keV. Ils traversent ensuite 10 intervalles entre des tubes de glissement ; au passage de chaque intervalle, la tension entre les deux tubes voisins vaut 100 kV et accélère les protons. La tension alternative appliquée aux tubes a une fréquence

f = 20

MHz. Poids négligé ;

m_{p} = 1, 67 \times 10^{- 27}

kg ; 1 eV

= 1, 60 \times 10^{- 19}

1. Vitesse des protons à l’entrée de l’accélérateur : × 10⁶ m·s⁻¹
$E_{c 0} = 50 \times 10^{3} \times 1, 60 \times 10^{- 19} = 8, 0 \times 10^{- 15}$ J ; $v_{0} = \sqrt{\frac{2 \times 8, 0 \times 10^{- 15}}{1, 67 \times 10^{- 27}}} \approx$ 3,10 × 10⁶ m·s⁻¹.
2. Énergie cinétique à la sortie du 10ᵉ intervalle : MeV
$E_{c} = E_{c 0} + 10 \times e \times 100$ kV $= 50 + 1 000 = 1 050$ keV, soit 1,05 MeV.
3. Vitesse finale des protons : × 10⁷ m·s⁻¹
$E_{c} = 1, 05 \times 10^{6} \times 1, 60 \times 10^{- 19} = 1, 68 \times 10^{- 13}$ J ; $v = \sqrt{\frac{2 \times 1, 68 \times 10^{- 13}}{1, 67 \times 10^{- 27}}} \approx$ 1,42 × 10⁷ m·s⁻¹, moins de 5 % de la vitesse de la lumière : le modèle newtonien convient.
4. Durée passée par un proton dans chaque tube : ns
Le proton doit traverser chaque tube pendant que la tension s’inverse : une demi-période, $\frac{T}{2} = \frac{1}{2 f} = 2, 5 \times 10^{- 8}$ s, soit 25 ns.
5. Longueur du premier tube, parcouru juste après le 1ᵉʳ intervalle : cm
Après le 1ᵉʳ intervalle, $E_{c} = 150$ keV $= 2, 4 \times 10^{- 14}$ J, $v_{1} \approx 5, 36 \times 10^{6}$ m·s⁻¹ ; dans le tube, le champ est nul et le mouvement uniforme : $L_{1} = v_{1} \times \frac{T}{2} \approx 5, 36 \times 10^{6} \times 2, 5 \times 10^{- 8} \approx$ 13,4 cm.
6. Longueur du tube qui suit le 10ᵉ intervalle : cm
$L_{10} = v_{10} \times \frac{T}{2} \approx 1, 418 \times 10^{7} \times 2, 5 \times 10^{- 8} \approx$ 35,5 cm.
7. Rapport $\frac{L_{10}}{L_{1}} \approx$
$\frac{L_{10}}{L_{1}} = \frac{v_{10}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{1 050}{150}} = \sqrt{7} \approx$ 2,65 : ni 10 (nombre d’intervalles), ni 7 (rapport des énergies). Comme les protons ne partent pas du repos, ce n’est pas non plus $\sqrt{10}$ .

Problème 5 · Le tube d’un oscilloscope analogique★★★Difficile

Dans le tube d’un oscilloscope analogique, des électrons émis sans vitesse sont accélérés sous une tension

U_{1} = 1, 2

kV, puis entrent au milieu de deux armatures horizontales de déviation, de longueur

L = 2, 5

cm et distantes de

d = 8, 0

mm, entre lesquelles on applique la tension à étudier

U_{2}

. L’écran est à la distance

D = 20

cm de la sortie des armatures ; le point d’impact y forme un spot lumineux. Pour une vitesse d’entrée perpendiculaire au champ, la déviation sur l’écran vaut

Y = \frac{U_{2} L (D + L / 2)}{2 d U_{1}}

. Poids négligé ;

e = 1, 60 \times 10^{- 19}

C ;

m_{e} = 9, 11 \times 10^{- 31}

kg.

1. Vitesse des électrons à l’entrée des armatures : × 10⁷ m·s⁻¹
Théorème de l’énergie cinétique, départ au repos : $\frac{1}{2} m_{e} v_{0}^{2} = e U_{1}$ , donc $v_{0} = \sqrt{\frac{2 \times 1, 60 \times 10^{- 19} \times 1 200}{9, 11 \times 10^{- 31}}} \approx$ 2,05 × 10⁷ m·s⁻¹, environ 7 % de la vitesse de la lumière.
2. Durée de la traversée des armatures : × 10⁻⁹ s
Selon $O x$ , le mouvement est uniforme : $t_{s} = \frac{L}{v_{0}} = \frac{0, 025}{2, 053 \times 10^{7}} \approx$ 1,2 × 10⁻⁹ s.
3. Tension $U_{2}$ qui déplace le spot de 1,0 cm sur l’écran : V
$Y$ est proportionnelle à $U_{2}$ : $\frac{Y}{U_{2}} = \frac{0, 025 \times 0, 2125}{2 \times 8, 0 \times 10^{- 3} \times 1 200} \approx 2, 77 \times 10^{- 4}$ m par volt, donc $U_{2} = \frac{0, 010}{2, 767 \times 10^{- 4}} \approx$ 36 V.
4. Tension $U_{2}$ maximale pour que les électrons sortent des armatures : V
Il faut $y_{s} = \frac{e U_{2} L^{2}}{2 m_{e} d v_{0}^{2}} = \frac{U_{2} L^{2}}{4 d U_{1}} < \frac{d}{2}$ , soit $U_{2} < \frac{2 d^{2} U_{1}}{L^{2}} = \frac{2 \times (8, 0 \times 10^{- 3})^{2} \times 1 200}{0, 025^{2}} \approx$ 246 V.
5. Déviation maximale du spot sur l’écran : cm
$Y_{max} \approx 245, 8 \times 2, 767 \times 10^{- 4} \approx$ 6,8 cm : au-delà, les électrons s’arrêtent sur une armature et le spot disparaît.
6. On applique une tension sinusoïdale d’amplitude 50 V et de fréquence 1,0 kHz. Longueur du trait vertical observé sur l’écran : cm
Pendant les 1,2 ns de traversée, la tension (période 1,0 ms) ne varie pratiquement pas : chaque électron est dévié comme par une tension constante. Le spot balaie de $- 50$ V à $+ 50$ V : trait de longueur $2 \times 50 \times 2, 767 \times 10^{- 4} \approx$ 2,8 cm.
7. On double la tension d’accélération $U_{1}$ . Nouvelle longueur du trait : cm
$Y$ est inversement proportionnelle à $U_{1}$ : des électrons plus rapides restent moins longtemps entre les armatures. La longueur est divisée par 2 : 1,4 cm.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de physique-chimie à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs