Combien de temps dure ce contrôle sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » ?

240 minutes pour 4 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 240 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale.

Spécialité Mathématiques Terminale

Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, expression en repère orthonormé, orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan, distances

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.

⬇ Télécharger le sujet (PDF) ⬇ Télécharger le corrigé (PDF)

Sujet et corrigé prêts à imprimer.

Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 240 min · Noté sur 20

240:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Devoir surveillé – Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Durée : 240 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Produit scalaire, angle et aire d'un triangle

(5 pts)

a)L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A (3; 1; - 2)$ , $B (7; - 3; 0)$ et $C (5; 3; 2)$ . Calculer les longueurs $A B$ et $A C$ .
b)Calculer le produit scalaire $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .
c)En déduire une mesure de l'angle $\hat{B A C}$ , arrondie au dixième de degré.
d)Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(A B)$ .
e)Montrer que $C H = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ .
f)En déduire l'aire exacte du triangle $A B C$ , puis sa valeur arrondie au centième.

Exercice 2 – Plans, droite et projeté orthogonal

(5 pts)

a)L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans $P : 2 x - y + 2 z - 7 = 0$ et $Q : x + 2 y - 3 = 0$ , le point $A (1; - 1; 2)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique ${\begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$ ( $t \in R$ ). Vérifier que $A$ appartient à $P$ et donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $P$ .
b)Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $P$ . Est-elle contenue dans $P$ ?
c)Montrer que les plans $P$ et $Q$ sont perpendiculaires.
d)Montrer que la droite $Δ$ de représentation paramétrique $x = 1 - 4 s$ , $y = 1 + 2 s$ , $z = 3 + 5 s$ ( $s \in R$ ) est la droite d'intersection des plans $P$ et $Q$ .
e)Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $K$ du point $B (4; 2; - 1)$ sur le plan $P$ .
f)En déduire la distance du point $B$ au plan $P$ . Le point $A$ est-il le point de $P$ le plus proche de $B$ ? Justifier.

Exercice 3 – Distance d'un sommet à un plan dans un pavé droit

(5 pts)

a) $A B C D E F G H$ est un pavé droit : $A B C D$ et $E F G H$ sont des faces opposées, $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , et $A B = 2$ , $A D = 3$ , $A E = 1$ . On munit l'espace du repère orthonormé $(A; \vec{ı}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ tel que $\vec{A B} = 2 \vec{ı}$ , $\vec{A D} = 3 \vec{ȷ}$ et $\vec{A E} = \vec{k}$ . Donner les coordonnées des points $C$ , $F$ , $G$ et $H$ .
b)Montrer que le vecteur $\vec{n} (3; 2; 6)$ est normal au plan $(C F H)$ .
c)En déduire une équation cartésienne du plan $(C F H)$ .
d)Déterminer une représentation paramétrique de la droite $Δ$ passant par $G$ et orthogonale au plan $(C F H)$ , puis les coordonnées du point d'intersection $L$ de $Δ$ et de $(C F H)$ .
e)Calculer la distance $G L$ .
f)Calculer le volume du tétraèdre $G C F H$ , puis en déduire l'aire du triangle $C F H$ .

Exercice 4 – Vrai ou faux (justifier chaque réponse)

(5 pts)

a)Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. L'espace est muni d'un repère orthonormé. Affirmation 1 : les vecteurs $\vec{u} (1; - 3; 2)$ et $\vec{v} (4; 2; 1)$ sont orthogonaux.
b)Affirmation 2 : la droite de représentation paramétrique $x = 2 + t$ , $y = 1 - 2 t$ , $z = t$ ( $t \in R$ ) coupe le plan d'équation $x + y + z = 5$ .
c)Affirmation 3 : deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
d)Affirmation 4 : deux plans perpendiculaires à un même troisième plan sont parallèles.
e)Affirmation 5 : la distance du point $M (3; 0; - 1)$ au plan d'équation $2 x + 3 y + 6 z + 2 = 0$ est égale à $\frac{2}{7}$ .
f)Affirmation 6 : le projeté orthogonal du point $S (1; 2; 3)$ sur la droite passant par l'origine $O$ et dirigée par $\vec{w} (1; 1; 0)$ est le point $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; 0)$ .

Bon courage !

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Corrigé et barème – Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Durée : 240 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques Terminale

Exercice 1 – Produit scalaire, angle et aire d'un triangle

(5 pts)

a) $\vec{A B} (4; - 4; 2)$ , $A B = \sqrt{16 + 16 + 4} = 6$ ; $\vec{A C} (2; 2; 4)$ , $A C = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ . (0,833333)
b) $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8 - 8 + 8 = 8$ . (0,833333)
c) $\cos \hat{B A C} = \frac{8}{6 \times 2 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{9} \approx 0, 272$ , donc $\hat{B A C} \approx 74, 2^{\circ}$ . (0,833333)
d) $\vec{A H} = k \vec{A B}$ et $\vec{H C} \cdot \vec{A B} = 0$ donnent $8 - 36 k = 0$ , $k = \frac{2}{9}$ : $H (\frac{35}{9}; \frac{1}{9}; - \frac{14}{9})$ . (0,833333)
e) $A H = \frac{2}{9} \times 6 = \frac{4}{3}$ ; triangle $A H C$ rectangle en $H$ : $C H^{2} = A C^{2} - A H^{2} = 24 - \frac{16}{9} = \frac{200}{9}$ , donc $C H = \frac{\sqrt{200}}{3} = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ . (0,833333)
f) $A = \frac{1}{2} \times A B \times C H = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{10 \sqrt{2}}{3} = 10 \sqrt{2} \approx 14, 14$ unités d'aire. (0,833333)

Erreur fréquente — Pour le projeté sur $(A B)$ , le coefficient est $k = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{A B^{2}}$ : diviser par $A B$ au lieu de $A B^{2}$ est l'erreur la plus courante.

Exercice 2 – Plans, droite et projeté orthogonal

(5 pts)

a) $2 + 1 + 4 - 7 = 0$ , donc $A \in P$ ; $\vec{n} (2; - 1; 2)$ est normal à $P$ . (0,833333)
b) $\vec{u} (1; 4; 1)$ dirige $d$ et $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 - 4 + 2 = 0$ : $d$ est parallèle à $P$ . Le point $(3; - 2; 1)$ de $d$ donne $6 + 2 + 2 - 7 = 3 \neq 0$ : $d$ est strictement parallèle, non contenue. (0,833333)
c) ${\vec{n}}^{'} (1; 2; 0)$ est normal à $Q$ et $\vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'} = 2 - 2 + 0 = 0$ : les plans sont perpendiculaires. (0,833333)
d)Pour tout $s$ : $2 (1 - 4 s) - (1 + 2 s) + 2 (3 + 5 s) - 7 = 0$ et $(1 - 4 s) + 2 (1 + 2 s) - 3 = 0$ , donc $Δ \subset P \cap Q$ . Les normales n'étant pas colinéaires, $P \cap Q$ est une droite : c'est $Δ$ . (0,833333)
e) $K = (4 + 2 t; 2 - t; - 1 + 2 t)$ ; $2 (4 + 2 t) - (2 - t) + 2 (- 1 + 2 t) - 7 = 9 t - 3 = 0$ , $t = \frac{1}{3}$ : $K (\frac{14}{3}; \frac{5}{3}; - \frac{1}{3})$ . (0,833333)
f) $B K = \frac{1}{3} ‖ \vec{n} ‖ = \frac{1}{3} \times 3 = 1$ . $\vec{B A} (- 3; - 3; 3)$ et $B A = 3 \sqrt{3} \approx 5, 2 > 1$ : non, le point le plus proche est $K$ . (0,833333)

À retenir — Droite et plan : on combine représentation paramétrique et équation cartésienne ; deux plans : on compare leurs vecteurs normaux.

Exercice 3 – Distance d'un sommet à un plan dans un pavé droit

(5 pts)

a) $C (2; 3; 0)$ , $F (2; 0; 1)$ , $G (2; 3; 1)$ , $H (0; 3; 1)$ . (0,833333)
b) $\vec{C F} (0; - 3; 1)$ et $\vec{C H} (- 2; 0; 1)$ non colinéaires ; $\vec{n} \cdot \vec{C F} = 0 - 6 + 6 = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{C H} = - 6 + 0 + 6 = 0$ : $\vec{n}$ est normal à $(C F H)$ . (0,833333)
c) $3 x + 2 y + 6 z + d = 0$ ; avec $C$ : $6 + 6 + d = 0$ , $d = - 12$ . $(C F H) : 3 x + 2 y + 6 z - 12 = 0$ . (0,833333)
d) $Δ : x = 2 + 3 t, y = 3 + 2 t, z = 1 + 6 t$ ; $3 (2 + 3 t) + 2 (3 + 2 t) + 6 (1 + 6 t) - 12 = 49 t + 6 = 0$ , $t = - \frac{6}{49}$ : $L (\frac{80}{49}; \frac{135}{49}; \frac{13}{49})$ . (0,833333)
e) $G L = \frac{6}{49} ‖ \vec{n} ‖ = \frac{6}{49} \sqrt{9 + 4 + 36} = \frac{6}{49} \times 7 = \frac{6}{7}$ . (0,833333)
f) $[G C]$ , $[G F]$ , $[G H]$ deux à deux orthogonales, de longueurs $1$ , $3$ , $2$ : $V = \frac{1}{3} \times \frac{3 \times 2}{2} \times 1 = 1$ . Et $V = \frac{1}{3} \times A_{C F H} \times G L$ , donc $A_{C F H} = \frac{3 \times 1}{6 / 7} = \frac{7}{2}$ . (0,833333)

Le point clé — Calculer un même volume de deux façons donne une aire ou une distance sans calcul lourd.

Exercice 4 – Vrai ou faux (justifier chaque réponse)

(5 pts)

a)Vrai : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 - 6 + 2 = 0$ . (0,833333)
b)Faux : $(2 + t) + (1 - 2 t) + t = 3$ pour tout $t$ , et $3 \neq 5$ ; la droite est strictement parallèle au plan. (0,833333)
c)Vrai : leurs vecteurs directeurs sont tous deux colinéaires à un même vecteur normal du plan, donc colinéaires entre eux. (0,833333)
d)Faux : les plans d'équations $x = 0$ et $y = 0$ sont perpendiculaires au plan $z = 0$ (normales $(1; 0; 0) \cdot (0; 0; 1) = 0$ et $(0; 1; 0) \cdot (0; 0; 1) = 0$ ), mais ils sont sécants selon l'axe des cotes. (0,833333)
e)Vrai : $H = M + t \vec{n}$ avec $\vec{n} (2; 3; 6)$ ; $2 + 49 t = 0$ , $t = - \frac{2}{49}$ , et $M H = \frac{2}{49} \times \sqrt{4 + 9 + 36} = \frac{2}{49} \times 7 = \frac{2}{7}$ . (0,833333)
f)Vrai : $H (k; k; 0)$ et $\vec{H S} \cdot \vec{w} = (1 - k) + (2 - k) = 3 - 2 k = 0$ donnent $k = \frac{3}{2}$ . (0,833333)

Attention — Un contre-exemple précis suffit pour réfuter une affirmation générale ; pour la prouver vraie, il faut un argument valable dans tous les cas.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » : 4 exercices, 240 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Produit scalaire, angle et aire d'un triangle/ 5 pts
Exercice 2 — Plans, droite et projeté orthogonal/ 5 pts
Exercice 3 — Distance d'un sommet à un plan dans un pavé droit/ 5 pts
Exercice 4 — Vrai ou faux (justifier chaque réponse)/ 5 pts

Notions évaluées

L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan, Projeté orthogonal et distances dans l'espace, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 240 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de spécialité mathématiques Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » ?: 240 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 240 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs