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Nombres complexes
Forme algébrique, module, argument et représentation dans le plan complexe — programme de Terminale spécialité
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Nombres complexes » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique
L'ensemble des réels ne permet pas de résoudre toutes les équations polynomiales : par exemple, $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. Pour y remédier, on construit l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.
Définition. Il existe un nombre, noté $i$, appelé unité imaginaire, vérifiant :
$$i^2 = -1$$
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique :
$$z = a + ib, \quad a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R}$$
$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
$$i^2 = -1$$
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique :
$$z = a + ib, \quad a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R}$$
$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
On a les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
Exemple. $z = 3 - 5i$ : $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5$.
$z = 7$ est réel : $\text{Re}(z)=7$, $\text{Im}(z)=0$.
$z = 4i$ est imaginaire pur : $\text{Re}(z)=0$, $\text{Im}(z)=4$.
$z = 7$ est réel : $\text{Re}(z)=7$, $\text{Im}(z)=0$.
$z = 4i$ est imaginaire pur : $\text{Re}(z)=0$, $\text{Im}(z)=4$.
Astuce — égalité. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales ET leurs parties imaginaires sont égales :
$$a + ib = a' + ib' \iff a = a' \text{ et } b = b'$$
$$a + ib = a' + ib' \iff a = a' \text{ et } b = b'$$
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Opérations sur les nombres complexes
Les opérations sur $\mathbb{C}$ s'effectuent comme dans $\mathbb{R}$, en utilisant $i^2 = -1$.
Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$.
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition | $z + z' = (a+a') + i(b+b')$ |
| Soustraction | $z - z' = (a-a') + i(b-b')$ |
| Multiplication | $z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$ |
Exemple. Soit $z = 2 + 3i$ et $z' = 1 - i$.
$z + z' = 3 + 2i$
$z \times z' = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
$z + z' = 3 + 2i$
$z \times z' = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
Puissances de $i$.
$i^0=1,\; i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,\ldots$
Le motif se répète avec période 4 : $i^n = i^{n \bmod 4}$.
$i^0=1,\; i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,\ldots$
Le motif se répète avec période 4 : $i^n = i^{n \bmod 4}$.
Division. Pour calculer $\dfrac{z}{z'}$, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $z'$ (voir section 3).
Exemple. $\dfrac{2+3i}{1-i} = \dfrac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2+2i+3i+3i^2}{1+1} = \dfrac{2+5i-3}{2} = \dfrac{-1+5i}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i$
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Conjugué et module
Deux notions fondamentales permettent de décrire un nombre complexe : son conjugué et son module.
Conjugué. Le conjugué de $z = a + ib$ est :
$$\bar{z} = a - ib$$
Géométriquement, $\bar{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe réel.
$$\bar{z} = a - ib$$
Géométriquement, $\bar{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe réel.
Module. Le module de $z = a + ib$ est :
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
On a toujours $|z| \geq 0$, et $|z| = 0 \iff z = 0$.
Propriété fondamentale : $z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
On a toujours $|z| \geq 0$, et $|z| = 0 \iff z = 0$.
Propriété fondamentale : $z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
Exemple. Pour $z = 3 - 4i$ :
$\bar{z} = 3 + 4i$
$|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$z \cdot \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2$ ✓
$\bar{z} = 3 + 4i$
$|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$z \cdot \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2$ ✓
Propriétés du conjugué.
$\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ ; $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ ; $\bar{\bar{z}} = z$.
De plus : $\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$ et $\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$.
$\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ ; $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ ; $\bar{\bar{z}} = z$.
De plus : $\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$ et $\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$.
Attention ! $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ en général (inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$).
En revanche : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.
En revanche : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.
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Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand)
On associe à chaque nombre complexe $z = a + ib$ un point du plan muni d'un repère orthonormal $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
Plan complexe. Le point $M$ de coordonnées $(a, b)$ est l'image de $z = a + ib$. On écrit $M \leftrightarrow z$ ou $\text{affixe}(M) = z$.
L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
Le module $|z|$ est la distance $OM$.
L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
Le module $|z|$ est la distance $OM$.
Exemple. Placer $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$, $z_3 = 4i$ (imaginaire pur) dans le plan complexe.
$M_1 = (2, 3)$, $M_2 = (-1, -2)$, $M_3 = (0, 4)$.
$M_1 = (2, 3)$, $M_2 = (-1, -2)$, $M_3 = (0, 4)$.
Affixe d'un vecteur. Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ pour affixe $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$, et la longueur $AB = |z_B - z_A|$.
5
Argument d'un nombre complexe
Pour tout nombre complexe non nul, on définit son argument, qui représente l'angle que fait le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec la direction positive de l'axe réel.
Argument. Soit $z \neq 0$. Un argument de $z$ est tout réel $\theta$ tel que :
$$\cos \theta = \frac{\text{Re}(z)}{|z|}, \quad \sin \theta = \frac{\text{Im}(z)}{|z|}$$
L'argument est défini modulo $2\pi$. On note $\theta = \arg(z)$.
L'argument principal est l'unique argument appartenant à $\left]-\pi ; \pi\right]$.
$$\cos \theta = \frac{\text{Re}(z)}{|z|}, \quad \sin \theta = \frac{\text{Im}(z)}{|z|}$$
L'argument est défini modulo $2\pi$. On note $\theta = \arg(z)$.
L'argument principal est l'unique argument appartenant à $\left]-\pi ; \pi\right]$.
Attention ! $\text{arg}(z) = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$ n'est valable que si $a \gt 0$. Si $a \lt 0$, il faut adapter selon le quadrant (les signes de $a$ et $b$ déterminent le quadrant).
Exemple. $z = -1 + i\sqrt{3}$.
$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$\cos \theta = \dfrac{-1}{2}$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (2e quadrant).
$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$\cos \theta = \dfrac{-1}{2}$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (2e quadrant).
| Nombre | Module | Argument principal |
|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $0$ |
| $-1$ | $1$ | $\pi$ |
| $i$ | $1$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $-i$ | $1$ | $-\frac{\pi}{2}$ |
| $1+i$ | $\sqrt{2}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $1-i$ | $\sqrt{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ |
6
Forme trigonométrique et exponentielle
Connaître le module $r$ et l'argument $\theta$ d'un nombre complexe suffit à le caractériser entièrement (à condition que $r \gt 0$).
Forme trigonométrique. Tout nombre complexe non nul peut s'écrire :
$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta), \quad r = |z| \gt 0, \quad \theta = \arg(z)$$
$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta), \quad r = |z| \gt 0, \quad \theta = \arg(z)$$
Notation exponentielle (formule d'Euler). On pose par convention :
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
D'où la forme exponentielle :
$$z = r\,e^{i\theta}$$
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
D'où la forme exponentielle :
$$z = r\,e^{i\theta}$$
Formules d'Euler remarquables.
$e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler) ; $e^{i\pi/2} = i$ ; $e^{-i\pi/2} = -i$ ; $e^{i \cdot 2\pi} = 1$.
$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
$e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler) ; $e^{i\pi/2} = i$ ; $e^{-i\pi/2} = -i$ ; $e^{i \cdot 2\pi} = 1$.
$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
Exemple. Écrire $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
$r = |z| = 2$, $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (calculé à la section 5).
Donc $z = 2e^{i \cdot 2\pi/3}$.
Écrire $z = 3e^{i\pi/4}$ sous forme algébrique.
$z = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = 3\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
$r = |z| = 2$, $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (calculé à la section 5).
Donc $z = 2e^{i \cdot 2\pi/3}$.
Écrire $z = 3e^{i\pi/4}$ sous forme algébrique.
$z = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = 3\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
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Règles de calcul : module et argument
La forme exponentielle rend les produits et quotients très simples à calculer.
Propriétés fondamentales. Pour $z, z' \in \mathbb{C}^*$ :
- $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
- $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ et $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
- $|z^n| = |z|^n$ et $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \pmod{2\pi}$
Formule de Moivre. Pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
$$\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$
Ou sous forme exponentielle : $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
$$\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$
Ou sous forme exponentielle : $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
Exemple. Calculer $(1 + i)^8$.
$1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i \cdot 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16$.
$1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i \cdot 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16$.
Attention ! $\arg(z + z')$ ne se simplifie pas simplement. Le module et l'argument d'une somme se calculent en passant par la forme algébrique.
8
Applications géométriques
Les nombres complexes permettent de traduire élégamment des propriétés géométriques du plan.
Interprétation géométrique. Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ trois points du plan complexe.
- $AB = |z_B - z_A|$ (distance)
- $\arg(z_B - z_A)$ = angle de $\overrightarrow{AB}$ avec l'axe réel
- $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ (angle orienté)
Exemple — colinéarité. $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire si l'argument est $0$ ou $\pi$.
Exemple — perpendicularité. $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ si et seulement si $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \pm \dfrac{\pi}{2}$, soit $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).
Transformations du plan.
- Translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ (affixe $t$) : $z \mapsto z + t$
- Rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$), angle $\theta$ : $z \mapsto \omega + (z - \omega)e^{i\theta}$
- Homothétie de centre $\Omega$, rapport $k$ : $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$
- Similitude directe : $z \mapsto az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$, $b \in \mathbb{C}$
Exemple — rotation. Rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ : $z \mapsto z \cdot i$.
Image de $z = 3 + i$ : $z' = i(3+i) = 3i + i^2 = -1 + 3i$. Le point $(3,1)$ est envoyé sur $(-1, 3)$ ✓
Image de $z = 3 + i$ : $z' = i(3+i) = 3i + i^2 = -1 + 3i$. Le point $(3,1)$ est envoyé sur $(-1, 3)$ ✓
En bref — Nombres complexes
- Tout $z \in \mathbb{C}$ s'écrit $z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$, $i^2 = -1$.
- Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ ; Module : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$, $z\bar{z} = |z|^2$.
- Forme exponentielle : $z = r\,e^{i\theta}$ avec $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$.
- Formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
- Produit : $|zz'| = |z||z'|$, $\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$.
- Formule de Moivre : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
- Géométrie : $AB = |z_B - z_A|$, angle $= \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$.
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