À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Nombres complexes » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Conjugué et module, Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique
2 · Opérations sur les nombres complexes
3 · Conjugué et module
4 · Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand)
5 · Argument d'un nombre complexe
6 · Forme trigonométrique et exponentielle
7 · Règles de calcul : module et argument
8 · Applications géométriques
1L'ensemble ℂ des nombres complexes — définition et forme algébrique
L'ensemble des réels ne permet pas de résoudre toutes les équations polynomiales : par exemple, $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. Pour y remédier, on construit l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.
Définition. Il existe un nombre, noté $i$, appelé unité imaginaire, vérifiant :
$$i^2 = -1$$
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique :
$$z = a + ib, \quad a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R}$$
$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
On a les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
Exemple. $z = 3 - 5i$ : $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5$.
$z = 7$ est réel : $\text{Re}(z)=7$, $\text{Im}(z)=0$.
$z = 4i$ est imaginaire pur : $\text{Re}(z)=0$, $\text{Im}(z)=4$.
Astuce — égalité. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales ET leurs parties imaginaires sont égales :
$$a + ib = a' + ib' \iff a = a' \text{ et } b = b'$$
2Opérations sur les nombres complexes
Les opérations sur $\mathbb{C}$ s'effectuent comme dans $\mathbb{R}$, en utilisant $i^2 = -1$.
Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$.
| Opération | Formule |
|---|
| Addition | $z + z' = (a+a') + i(b+b')$ |
| Soustraction | $z - z' = (a-a') + i(b-b')$ |
| Multiplication | $z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$ |
Exemple. Soit $z = 2 + 3i$ et $z' = 1 - i$.
$z + z' = 3 + 2i$
$z \times z' = (2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$
Puissances de $i$.
$i^0=1,\; i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,\ldots$
Le motif se répète avec période 4 : $i^n = i^{n \bmod 4}$.
Division. Pour calculer $\dfrac{z}{z'}$, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $z'$ (voir section 3).
Exemple. $\dfrac{2+3i}{1-i} = \dfrac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2+2i+3i+3i^2}{1+1} = \dfrac{2+5i-3}{2} = \dfrac{-1+5i}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i$
3Conjugué et module
Deux notions fondamentales permettent de décrire un nombre complexe : son conjugué et son module.
Conjugué. Le conjugué de $z = a + ib$ est :
$$\bar{z} = a - ib$$
Géométriquement, $\bar{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe réel.
Module. Le module de $z = a + ib$ est :
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
On a toujours $|z| \geq 0$, et $|z| = 0 \iff z = 0$.
Propriété fondamentale : $z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
Exemple. Pour $z = 3 - 4i$ :
$\bar{z} = 3 + 4i$
$|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$z \cdot \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2$ ✓
Propriétés du conjugué.
$\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ ; $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ ; $\bar{\bar{z}} = z$.
De plus : $\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$ et $\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$.
Attention ! $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ en général (inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$).
En revanche : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.
4Représentation dans le plan complexe (plan d'Argand)
On associe à chaque nombre complexe $z = a + ib$ un point du plan muni d'un repère orthonormal $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
Plan complexe. Le point $M$ de coordonnées $(a, b)$ est l'image de $z = a + ib$. On écrit $M \leftrightarrow z$ ou $\text{affixe}(M) = z$.
L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
Le module $|z|$ est la distance $OM$.
Exemple. Placer $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$, $z_3 = 4i$ (imaginaire pur) dans le plan complexe.
$M_1 = (2, 3)$, $M_2 = (-1, -2)$, $M_3 = (0, 4)$.
Affixe d'un vecteur. Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ pour affixe $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$, et la longueur $AB = |z_B - z_A|$.
5Argument d'un nombre complexe
Pour tout nombre complexe non nul, on définit son argument, qui représente l'angle que fait le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec la direction positive de l'axe réel.
Argument. Soit $z \neq 0$. Un argument de $z$ est tout réel $\theta$ tel que :
$$\cos \theta = \frac{\text{Re}(z)}{|z|}, \quad \sin \theta = \frac{\text{Im}(z)}{|z|}$$
L'argument est défini modulo $2\pi$. On note $\theta = \arg(z)$.
L'argument principal est l'unique argument appartenant à $\left]-\pi ; \pi\right]$.
Attention ! $\text{arg}(z) = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$ n'est valable que si $a > 0$. Si $a < 0$, il faut adapter selon le quadrant (les signes de $a$ et $b$ déterminent le quadrant).
Exemple. $z = -1 + i\sqrt{3}$.
$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$\cos \theta = \dfrac{-1}{2}$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (2e quadrant).
| Nombre | Module | Argument principal |
|---|
| $1$ | $1$ | $0$ |
| $-1$ | $1$ | $\pi$ |
| $i$ | $1$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $-i$ | $1$ | $-\frac{\pi}{2}$ |
| $1+i$ | $\sqrt{2}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $1-i$ | $\sqrt{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ |
6Forme trigonométrique et exponentielle
Connaître le module $r$ et l'argument $\theta$ d'un nombre complexe suffit à le caractériser entièrement (à condition que $r > 0$).
Forme trigonométrique. Tout nombre complexe non nul peut s'écrire :
$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta), \quad r = |z| > 0, \quad \theta = \arg(z)$$
Notation exponentielle (formule d'Euler). On pose par convention :
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$
D'où la forme exponentielle :
$$z = r\,e^{i\theta}$$
Formules d'Euler remarquables.
$e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler) ; $e^{i\pi/2} = i$ ; $e^{-i\pi/2} = -i$ ; $e^{i \cdot 2\pi} = 1$.
$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
Exemple. Écrire $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
$r = |z| = 2$, $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (calculé à la section 5).
Donc $z = 2e^{i \cdot 2\pi/3}$.
Écrire $z = 3e^{i\pi/4}$ sous forme algébrique.
$z = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = 3\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
7Règles de calcul : module et argument
La forme exponentielle rend les produits et quotients très simples à calculer.
Propriétés fondamentales. Pour $z, z' \in \mathbb{C}^*$ :
- $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\arg(z \cdot z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
- $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ et $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
- $|z^n| = |z|^n$ et $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \pmod{2\pi}$
Formule de Moivre. Pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
$$\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$
Ou sous forme exponentielle : $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
Exemple. Calculer $(1 + i)^8$.
$1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.
$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i \cdot 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16$.
Attention ! $\arg(z + z')$ ne se simplifie pas simplement. Le module et l'argument d'une somme se calculent en passant par la forme algébrique.
8Applications géométriques
Les nombres complexes permettent de traduire élégamment des propriétés géométriques du plan.
Interprétation géométrique. Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ trois points du plan complexe.
- $AB = |z_B - z_A|$ (distance)
- $\arg(z_B - z_A)$ = angle de $\overrightarrow{AB}$ avec l'axe réel
- $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ (angle orienté)
Exemple — colinéarité. $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire si l'argument est $0$ ou $\pi$.
Exemple — perpendicularité. $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ si et seulement si $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \pm \dfrac{\pi}{2}$, soit $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).
Transformations du plan.- Translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ (affixe $t$) : $z \mapsto z + t$
- Rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$), angle $\theta$ : $z \mapsto \omega + (z - \omega)e^{i\theta}$
- Homothétie de centre $\Omega$, rapport $k$ : $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$
- Similitude directe : $z \mapsto az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$, $b \in \mathbb{C}$
Exemple — rotation. Rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ : $z \mapsto z \cdot i$.
Image de $z = 3 + i$ : $z' = i(3+i) = 3i + i^2 = -1 + 3i$. Le point $(3,1)$ est envoyé sur $(-1, 3)$ ✓
★À retenir
En bref — Nombres complexes :
• Tout $z \in \mathbb{C}$ s'écrit $z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$, $i^2 = -1$.
• Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ ; Module : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$, $z\bar{z} = |z|^2$.
• Forme exponentielle : $z = r\,e^{i\theta}$ avec $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$.
• Formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
• Produit : $|zz'| = |z||z'|$, $\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$.
• Formule de Moivre : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
• Géométrie : $AB = |z_B - z_A|$, angle $= \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$.