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Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, expression en repère orthonormé, orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan, distances

À propos de cette page

Ce QCM sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Dans un repère orthonormé, $\vec{u} (a; b; c)$ et $\vec{v} (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ vaut :
- A. $a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}$
- B. $a b^{'} + b a^{'} + c c^{'}$
- C. $(a + a^{'}) (b + b^{'}) (c + c^{'})$
- D. $a a^{'} \times b b^{'} \times c c^{'}$
Réponse
A. $a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}$ — Dans une base orthonormée, on multiplie les coordonnées de même rang, puis on ajoute les trois produits.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
- A. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$
- B. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- C. $‖ \vec{u} ‖ = ‖ \vec{v} ‖$
- D. $\vec{u} = - \vec{v}$
Réponse
B. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ — C'est la caractérisation de l'orthogonalité par le produit scalaire ; elle inclut le cas d'un vecteur nul.
Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur $\vec{u} (4; - 4; 7)$ est :
- A. $7$
- B. $\sqrt{7}$
- C. $9$
- D. $81$
Réponse
C. $9$ — $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ . Attention : $81$ est le carré de la norme.
Un vecteur normal au plan d'équation $2 x - 5 y + z - 8 = 0$ est :
- A. $(2; - 5; - 8)$
- B. $(- 5; 1; - 8)$
- C. $(2; 5; 1)$
- D. $(2; - 5; 1)$
Réponse
D. $(2; - 5; 1)$ — On lit les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ ; le terme constant $- 8$ n'intervient pas.
Le point $A (1; 3; - 2)$ appartient au plan d'équation :
- A. $2 x + y - z = 0$
- B. $x + y + 2 z = 0$
- C. $x - 2 y + z = 0$
- D. $3 x - y + z + 1 = 0$
Réponse
B. $x + y + 2 z = 0$ — $1 + 3 + 2 \times (- 2) = 0$ . Les autres équations donnent respectivement $7$ , $- 7$ et $- 1$ .
Une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à :
- A. deux droites sécantes de ce plan
- B. une droite quelconque de ce plan
- C. deux droites parallèles de ce plan
- D. un vecteur non nul de ce plan
Réponse
A. deux droites sécantes de ce plan — Deux droites sécantes du plan fournissent deux vecteurs non colinéaires, ce qui suffit pour qu'un vecteur directeur soit normal au plan.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2}$ est égal à :
- A. $‖ \vec{u} ‖^{2} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$
- B. $‖ \vec{u} ‖^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$
- C. $(‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖)^{2}$
- D. $‖ \vec{u} ‖^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$
Réponse
D. $‖ \vec{u} ‖^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ — On développe $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ par bilinéarité et symétrie du produit scalaire.
Deux plans de vecteurs normaux $\vec{n}$ et ${\vec{n}}^{'}$ sont perpendiculaires si et seulement si :
- A. $\vec{n}$ et ${\vec{n}}^{'}$ sont colinéaires
- B. $\vec{n} = {\vec{n}}^{'}$
- C. $\vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'} = 0$
- D. $‖ \vec{n} ‖ = ‖ {\vec{n}}^{'} ‖$
Réponse
C. $\vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'} = 0$ — Plans perpendiculaires ⇔ vecteurs normaux orthogonaux. Des normales colinéaires donnent au contraire des plans parallèles.

Niveau moyen — 8 questions

Dans un repère orthonormé, $\vec{u} (3; - 4; 1)$ et $\vec{v} (5; 2; - 2)$ . Alors $\vec{u} \cdot \vec{v}$ vaut :
- A. $1$
- B. $- 5$
- C. $5$
- D. $25$
Réponse
C. $5$ — $15 - 8 - 2 = 5$ .
Dans un repère orthonormé, la distance entre $A (2; - 3; 1)$ et $B (- 1; 1; 1)$ est :
- A. $5$
- B. $7$
- C. $\sqrt{7}$
- D. $25$
Réponse
A. $5$ — $\vec{A B} (- 3; 4; 0)$ , donc $A B = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$ .
Une équation du plan passant par $A (1; - 1; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n} (2; 3; - 1)$ est :
- A. $2 x + 3 y - z - 3 = 0$
- B. $x - y + 2 z + 3 = 0$
- C. $2 x + 3 y - z + 1 = 0$
- D. $2 x + 3 y - z + 3 = 0$
Réponse
D. $2 x + 3 y - z + 3 = 0$ — Équation $2 x + 3 y - z + d = 0$ ; avec $A$ : $2 - 3 - 2 + d = 0$ , donc $d = 3$ .
Les vecteurs $\vec{u} (m; 2; - 1)$ et $\vec{v} (3; m; 4)$ sont orthogonaux pour :
- A. $m = - \frac{4}{5}$
- B. $m = \frac{4}{5}$
- C. $m = \frac{5}{4}$
- D. $m = 4$
Réponse
B. $m = \frac{4}{5}$ — $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 m + 2 m - 4 = 5 m - 4$ , nul pour $m = \frac{4}{5}$ .
L'angle $θ$ entre $\vec{u} (2; 1; - 2)$ et $\vec{v} (0; 3; 4)$ vérifie $\cos θ =$ :
- A. $- \frac{1}{3}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $- \frac{5}{9}$
- D. $- \frac{1}{15}$
Réponse
A. $- \frac{1}{3}$ — $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + 3 - 8 = - 5$ , $‖ \vec{u} ‖ = 3$ , $‖ \vec{v} ‖ = 5$ , donc $\cos θ = \frac{- 5}{15} = - \frac{1}{3}$ .
La droite $d : x = t, y = 1 + t, z = 2 - t$ coupe le plan d'équation $x + y + z - 6 = 0$ au point :
- A. $(- 3; - 2; 5)$
- B. $(2; 3; 0)$
- C. $(3; 4; - 1)$
- D. $(1; 2; 1)$
Réponse
C. $(3; 4; - 1)$ — $t + (1 + t) + (2 - t) - 6 = t - 3 = 0$ , donc $t = 3$ et le point est $(3; 4; - 1)$ .
Le projeté orthogonal de $M (2; 3; 1)$ sur le plan d'équation $x + y + z = 0$ est :
- A. $(1; 2; 0)$
- B. $(0; 1; - 1)$
- C. $(- 1; 0; 1)$
- D. $(4; 5; 3)$
Réponse
B. $(0; 1; - 1)$ — Points $(2 + t; 3 + t; 1 + t)$ ; $6 + 3 t = 0$ donne $t = - 2$ , d'où $H (0; 1; - 1)$ . $(- 1; 0; 1)$ est dans le plan mais $\vec{M H}$ n'y est pas normal.
La distance du point $M (1; - 2; 3)$ au plan d'équation $2 x - y + 2 z + 3 = 0$ est :
- A. $13$
- B. $\frac{13}{9}$
- C. $\sqrt{13}$
- D. $\frac{13}{3}$
Réponse
D. $\frac{13}{3}$ — Avec $H = M + t \vec{n}$ : $13 + 9 t = 0$ , $t = - \frac{13}{9}$ , et $M H = \frac{13}{9} \times ‖ \vec{n} ‖ = \frac{13}{9} \times 3 = \frac{13}{3}$ .

Niveau difficile — 8 questions

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ avec $\vec{u} \neq \vec{0}$ , on peut affirmer que :
- A. $\vec{v} = \vec{w}$
- B. $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires
- C. $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v}$
- D. $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v} - \vec{w}$
Réponse
D. $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{v} - \vec{w}$ — Par bilinéarité, $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$ . On ne peut pas « simplifier » par $\vec{u}$ : $\vec{u} (1; 0; 0)$ , $\vec{v} (0; 1; 0)$ , $\vec{w} (0; 0; 1)$ donnent $0 = 0$ avec $\vec{v} \neq \vec{w}$ .
Deux droites orthogonales de l'espace :
- A. sont toujours sécantes
- B. peuvent être non coplanaires
- C. sont toujours coplanaires
- D. ont des directions colinéaires
Réponse
B. peuvent être non coplanaires — L'orthogonalité ne porte que sur les directions. Dans un cube, $(A B)$ et $(C G)$ sont orthogonales et non coplanaires.
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur non nul $\vec{u}$ d'un plan $P$ . Alors $\vec{n}$ :
- A. peut ne pas être normal à $P$
- B. est normal à $P$ dans tous les cas
- C. est colinéaire à $\vec{u}$
- D. est un vecteur de $P$
Réponse
A. peut ne pas être normal à $P$ — Il faut l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. Exemple : dans le plan $z = 0$ , $\vec{n} (0; 1; 1)$ est orthogonal à $(1; 0; 0)$ sans être normal.
Les plans d'équations $x + 2 y - z + 1 = 0$ et $- 2 x - 4 y + 2 z - 2 = 0$ sont :
- A. strictement parallèles
- B. sécants selon une droite
- C. confondus
- D. perpendiculaires
Réponse
C. confondus — La seconde équation est la première multipliée par $- 2$ , terme constant compris : c'est le même plan.
Dans l'espace muni d'un repère, l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que $2 x - y + 3 = 0$ est :
- A. une droite de l'espace
- B. l'ensemble vide
- C. un plan de l'espace
- D. un point de l'espace
Réponse
C. un plan de l'espace — C'est une équation $a x + b y + c z + d = 0$ avec $(a; b; c) = (2; - 1; 0)$ non nul : un plan, parallèle à l'axe des cotes. Dans le plan, ce serait une droite.
La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ est valable :
- A. dans tout repère de l'espace
- B. seulement pour des vecteurs non nuls
- C. seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
- D. dans une base orthonormée
Réponse
D. dans une base orthonormée — Elle repose sur $\vec{ı} \cdot \vec{ȷ} = 0$ , $‖ \vec{ı} ‖ = 1$ , etc. : la base doit être orthonormée.
$H$ est le projeté orthogonal d'un point $M \notin P$ sur un plan $P$ . Pour tout point $N$ de $P$ distinct de $H$ :
- A. $M N > M H$
- B. $M N = M H$
- C. $M N < M H$
- D. $M N = M H + H N$
Réponse
A. $M N > M H$ — $M N^{2} = M H^{2} + H N^{2}$ avec $H N > 0$ , donc $M N > M H$ . La relation $M N = M H + H N$ confond Pythagore et addition des longueurs.
La droite passant par $A (1; 0; 2)$ et orthogonale au plan d'équation $x - y + z - 3 = 0$ coupe ce plan en :
- A. $(2; - 1; 3)$
- B. $A$ lui-même
- C. $(0; 1; 1)$
- D. aucun point de ce plan
Réponse
B. $A$ lui-même — $1 - 0 + 2 - 3 = 0$ : $A$ appartient déjà au plan, il est donc son propre projeté orthogonal.

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