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Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, expression en repère orthonormé, orthogonalité de droites et de plans, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan, distances

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : produit scalaire dans l'espace, Repère orthonormé : produit scalaire, norme et distance, Orthogonalité dans l'espace : droites, plans, vecteur normal, Équation cartésienne d'un plan. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Produits scalaires et normes

Facile

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\vec{u} (3; - 2; 2)$ , $\vec{v} (- 1; 4; 5)$ et $\vec{w} (2; 3; 0)$ .

a) Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
b) Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils orthogonaux ?
c) Calculer $‖ \vec{u} ‖$ et $‖ \vec{v} ‖$ .
d) Calculer $(\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v}$ de deux façons différentes.

Le repère est orthonormé : on peut utiliser $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ et $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (- 1) + (- 2) \times 4 + 2 \times 5 = - 3 - 8 + 10$ , donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 1$ .

b) $\vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \times 2 + (- 2) \times 3 + 2 \times 0 = 6 - 6 + 0 = 0$ . Le produit scalaire est nul : $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont orthogonaux.

c) $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$ et $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$ . $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{17}$ , $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{42}$ .

d) Première façon : $\vec{u} + \vec{w}$ a pour coordonnées $(5; 1; 2)$ , donc $(\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = - 5 + 4 + 10 = 9$ .
Seconde façon, par bilinéarité : $(\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{w} \cdot \vec{v}$ avec $\vec{w} \cdot \vec{v} = - 2 + 12 + 0 = 10$ , d'où $- 1 + 10 = 9$ .
Les deux calculs donnent $(\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = 9$ .

Exercice 2 — Nature d'un triangle

Facile

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; 2; - 1)$ , $B (3; 1; 1)$ et $C (3; 4; - 2)$ .

a) Calculer les longueurs $A B$ , $A C$ et $B C$ .
b) Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .
c) En déduire la nature du triangle $A B C$ .
d) Calculer l'aire du triangle $A B C$ .

a) $\vec{A B} (2; - 1; 2)$ , donc $A B = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ . $\vec{A C} (2; 2; - 1)$ , donc $A C = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ . $\vec{B C} (0; 3; - 3)$ , donc $B C = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ . $A B = A C = 3$ et $B C = 3 \sqrt{2}$ .

b) $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \times 2 + (- 1) \times 2 + 2 \times (- 1) = 4 - 2 - 2$ , donc $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ .

c) Le produit scalaire est nul, donc $(A B) ⟂ (A C)$ : le triangle est rectangle en $A$ . De plus $A B = A C$ . $A B C$ est rectangle isocèle en $A$ . Contrôle : $A B^{2} + A C^{2} = 9 + 9 = 18 = B C^{2}$ (Pythagore).

d) Le triangle étant rectangle en $A$ , $A = \frac{A B \times A C}{2} = \frac{3 \times 3}{2}$ . L'aire vaut $4, 5$ unités d'aire.

Exercice 3 — Équation d'un plan et plans parallèles

Facile

Dans un repère orthonormé, on considère le point $A (- 2; 1; 4)$ , le vecteur $\vec{n} (3; - 1; 4)$ et le plan $Q$ d'équation $- 6 x + 2 y - 8 z + 5 = 0$ .

a) Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ .
b) Le point $B (1; 2; 2)$ appartient-il à $P$ ?
c) Déterminer la position relative des plans $P$ et $Q$ .
d) Donner un vecteur normal à $P$ de norme $1$ .

a) Un vecteur normal étant $\vec{n} (3; - 1; 4)$ , $P$ a une équation de la forme $3 x - y + 4 z + d = 0$ . Comme $A \in P$ : $3 \times (- 2) - 1 + 4 \times 4 + d = 0$ , soit $- 6 - 1 + 16 + d = 0$ , d'où $d = - 9$ . $P : 3 x - y + 4 z - 9 = 0$ .

b) $3 \times 1 - 2 + 4 \times 2 - 9 = 3 - 2 + 8 - 9 = 0$ : les coordonnées de $B$ vérifient l'équation. $B \in P$ .

c) Un vecteur normal à $Q$ est ${\vec{n}}^{'} (- 6; 2; - 8)$ , et ${\vec{n}}^{'} = - 2 \vec{n}$ : les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. On teste $B \in P$ dans l'équation de $Q$ : $- 6 + 4 - 16 + 5 = - 13 \neq 0$ , donc $B \notin Q$ . Les plans $P$ et $Q$ sont strictement parallèles.

d) $‖ \vec{n} ‖ = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$ . Le vecteur $\frac{1}{\sqrt{26}} \vec{n}$ est colinéaire à $\vec{n}$ , non nul, donc normal à $P$ , et de norme $1$ . $(\frac{3}{\sqrt{26}}; - \frac{1}{\sqrt{26}}; \frac{4}{\sqrt{26}})$ convient.

Exercice 4 — Un angle presque droit

Moyen

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; 0; 1)$ , $B (3; 6; 4)$ et $C (2; - 4; 9)$ .

a) Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .
b) Calculer les longueurs $A B$ et $A C$ .
c) Déterminer une mesure de l'angle $\hat{B A C}$ , arrondie au dixième de degré.
d) Sur une figure en perspective, un élève « voit » un angle droit en $A$ et affirme que le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ . Expliquer son erreur.

a) $\vec{A B} (2; 6; 3)$ et $\vec{A C} (1; - 4; 8)$ . Le repère étant orthonormé, $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \times 1 + 6 \times (- 4) + 3 \times 8 = 2 - 24 + 24$ , donc $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ .

b) $A B = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ et $A C = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$ . $A B = 7$ , $A C = 9$ .

c) $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B \times A C \times \cos \hat{B A C}$ , donc $\cos \hat{B A C} = \frac{2}{7 \times 9} = \frac{2}{63} \approx 0, 0317$ . À la calculatrice : $\hat{B A C} \approx 88, 2^{\circ}$ .

d) Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ . Or ce produit scalaire vaut $2 \neq 0$ : le triangle n'est pas rectangle en $A$ . L'angle mesure environ $88, 2^{\circ}$ , trop proche de $90^{\circ}$ pour être distingué sur une figure, d'autant qu'une perspective déforme les angles : seul le calcul permet de conclure.

Exercice 5 — Orthogonales sans être perpendiculaires

Moyen

Dans un repère orthonormé, on considère les droites $d_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 t \end{matrix}$ ( $t \in R$ ) et $d_{2} : {\begin{matrix} x = 4 + 2 s \\ y = - 1 + 5 s \\ z = 2 + s \end{matrix}$ ( $s \in R$ ).

a) Donner un vecteur directeur de chacune des droites.
b) Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont orthogonales.
c) Les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont-elles sécantes ?
d) Un élève conclut que $d_{1}$ et $d_{2}$ sont perpendiculaires. Expliquer pourquoi il a tort et préciser la position relative des deux droites.

a) On lit les coefficients des paramètres : ${\vec{u}}_{1} (1; - 1; 3)$ dirige $d_{1}$ et ${\vec{u}}_{2} (2; 5; 1)$ dirige $d_{2}$ .

b) Le repère est orthonormé : ${\vec{u}}_{1} \cdot {\vec{u}}_{2} = 1 \times 2 + (- 1) \times 5 + 3 \times 1 = 2 - 5 + 3 = 0$ . Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc $d_{1}$ et $d_{2}$ sont orthogonales.

c) Les droites sont sécantes s'il existe $t$ et $s$ tels que $1 + t = 4 + 2 s$ , $2 - t = - 1 + 5 s$ et $3 t = 2 + s$ . En ajoutant les deux premières équations : $3 = 3 + 7 s$ , donc $s = 0$ , puis $t = 3$ . La troisième donne alors $3 \times 3 = 9$ d'un côté et $2 + 0 = 2$ de l'autre : $9 \neq 2$ . Le système n'a pas de solution : les droites ne sont pas sécantes.

d) Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes ; ici la seconde condition manque. De plus ${\vec{u}}_{1}$ et ${\vec{u}}_{2}$ ne sont pas colinéaires (car $\frac{2}{1} \neq \frac{5}{- 1}$ ), donc les droites ne sont pas parallèles. Non parallèles et non sécantes : $d_{1}$ et $d_{2}$ sont non coplanaires, orthogonales mais pas perpendiculaires.

Exercice 6 — Plan défini par trois points

Moyen

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (2; 1; 0)$ , $B (0; 3; 1)$ , $C (1; - 1; 2)$ et $D (3; - 2; 2)$ .

a) Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.
b) Montrer que le vecteur $\vec{n} (2; 1; 2)$ est normal au plan $(A B C)$ .
c) En déduire une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
d) Les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont-ils coplanaires ?

a) $\vec{A B} (- 2; 2; 1)$ et $\vec{A C} (- 1; - 2; 2)$ . S'ils étaient colinéaires, on aurait $\vec{A B} = k \vec{A C}$ : la première coordonnée impose $k = 2$ , la deuxième $k = - 1$ , contradiction. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan.

b) $\vec{n} \cdot \vec{A B} = - 4 + 2 + 2 = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{A C} = - 2 - 2 + 4 = 0$ . Le vecteur $\vec{n}$ , non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(A B C)$ : il est normal à $(A B C)$ .

c) $(A B C)$ a une équation $2 x + y + 2 z + d = 0$ . Avec $A$ : $4 + 1 + 0 + d = 0$ , d'où $d = - 5$ . Vérifications : $B$ donne $0 + 3 + 2 - 5 = 0$ et $C$ donne $2 - 1 + 4 - 5 = 0$ . $(A B C) : 2 x + y + 2 z - 5 = 0$ .

d) $2 \times 3 + (- 2) + 2 \times 2 - 5 = 6 - 2 + 4 - 5 = 3 \neq 0$ , donc $D \notin (A B C)$ . Les quatre points ne sont pas coplanaires.

Exercice 7 — Droites et plan : parallèle ou sécante ?

Moyen

Dans un repère orthonormé, on considère le plan $P : x - 2 y + 3 z - 5 = 0$ et les droites $d : {\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$ et $d^{'} : {\begin{matrix} x = 3 - k \\ y = 2 k \\ z = 1 + 2 k \end{matrix}$ ( $t$ , $k$ réels).

a) Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $P$ .
b) La droite $d$ est-elle contenue dans $P$ ?
c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $d^{'}$ et de $P$ .
d) La droite $d^{'}$ est-elle orthogonale au plan $P$ ?

a) $\vec{n} (1; - 2; 3)$ est normal à $P$ et $\vec{u} (1; 2; 1)$ dirige $d$ . $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 - 4 + 3 = 0$ : $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$ , donc c'est un vecteur du plan $P$ . La droite $d$ est parallèle à $P$ .

b) Le point $E (2; 1; - 1)$ de $d$ (obtenu pour $t = 0$ ) donne $2 - 2 - 3 - 5 = - 8 \neq 0$ , donc $E \notin P$ . $d$ est strictement parallèle à $P$ , elle n'y est pas contenue.

c) On remplace dans l'équation de $P$ : $(3 - k) - 2 \times 2 k + 3 (1 + 2 k) - 5 = 3 - k - 4 k + 3 + 6 k - 5 = 1 + k$ . Donc $1 + k = 0$ , $k = - 1$ , ce qui donne $x = 4$ , $y = - 2$ , $z = - 1$ . Contrôle : $4 + 4 - 3 - 5 = 0$ . $d^{'}$ coupe $P$ en $(4; - 2; - 1)$ .

d) $d^{'}$ est dirigée par ${\vec{u}}^{'} (- 1; 2; 2)$ . Si ${\vec{u}}^{'}$ était colinéaire à $\vec{n} (1; - 2; 3)$ , on aurait ${\vec{u}}^{'} = - \vec{n}$ d'après les deux premières coordonnées, mais $2 \neq - 3$ . $d^{'}$ n'est pas orthogonale à $P$ .

Exercice 8 — Projeté orthogonal sur un plan

Difficile

Dans un repère orthonormé, on considère le plan $P : 2 x + 2 y - z + 1 = 0$ et le point $M (4; 3; - 2)$ .

a) Donner une représentation paramétrique de la droite $Δ$ passant par $M$ et orthogonale à $P$ .
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $P$ .
c) Montrer que la distance du point $M$ au plan $P$ est égale à $\frac{17}{3}$ .
d) Vérifier que $N (0; 0; 1)$ appartient à $P$ , calculer $M N$ et vérifier que $M N^{2} = M H^{2} + H N^{2}$ .

a) $Δ$ est orthogonale à $P$ , donc dirigée par le vecteur normal $\vec{n} (2; 2; - 1)$ . $Δ : x = 4 + 2 t, y = 3 + 2 t, z = - 2 - t$ ( $t \in R$ ).

b) $H$ est l'intersection de $Δ$ et $P$ : $2 (4 + 2 t) + 2 (3 + 2 t) - (- 2 - t) + 1 = 8 + 4 t + 6 + 4 t + 2 + t + 1 = 17 + 9 t = 0$ , donc $t = - \frac{17}{9}$ . Alors $x = 4 - \frac{34}{9} = \frac{2}{9}$ , $y = 3 - \frac{34}{9} = - \frac{7}{9}$ , $z = - 2 + \frac{17}{9} = - \frac{1}{9}$ . Contrôle : $\frac{4}{9} - \frac{14}{9} + \frac{1}{9} + 1 = - 1 + 1 = 0$ . $H (\frac{2}{9}; - \frac{7}{9}; - \frac{1}{9})$ .

c) $\vec{M H} = t \vec{n} = - \frac{17}{9} \vec{n}$ et $‖ \vec{n} ‖ = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ , donc $M H = \frac{17}{9} \times 3 = \frac{17}{3}$ . Comme $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ , la distance de $M$ à $P$ vaut $\frac{17}{3} \approx 5, 67$ .

d) $0 + 0 - 1 + 1 = 0$ : $N \in P$ . $\vec{M N} (- 4; - 3; 3)$ , donc $M N^{2} = 16 + 9 + 9 = 34$ et $M N = \sqrt{34} \approx 5, 83$ . $\vec{H N} (- \frac{2}{9}; \frac{7}{9}; \frac{10}{9})$ , donc $H N^{2} = \frac{4 + 49 + 100}{81} = \frac{17}{9}$ , et $M H^{2} + H N^{2} = \frac{289}{9} + \frac{17}{9} = \frac{306}{9} = 34$ . On a bien $M N^{2} = M H^{2} + H N^{2}$ : le triangle $M H N$ est rectangle en $H$ , et $M N > M H$ comme l'annonce le cours.

Exercice 9 — Hauteur et aire d'un triangle

Difficile

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; - 1; 0)$ , $B (3; 0; 2)$ et $C (0; 4; 1)$ .

a) Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ et la longueur $A B$ .
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(A B)$ .
c) Calculer la longueur $C H$ .
d) En déduire l'aire du triangle $A B C$ : valeur exacte, puis arrondie au centième.

a) $\vec{A B} (2; 1; 2)$ et $\vec{A C} (- 1; 5; 1)$ . $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 2 + 5 + 2 = 5$ et $A B = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ . $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 5$ , $A B = 3$ .

b) $H \in (A B)$ , donc $\vec{A H} = k \vec{A B}$ pour un réel $k$ . La condition $\vec{H C} \cdot \vec{A B} = 0$ s'écrit $(\vec{A C} - k \vec{A B}) \cdot \vec{A B} = 0$ , soit $5 - 9 k = 0$ , d'où $k = \frac{5}{9}$ . Donc $H (1 + \frac{10}{9}; - 1 + \frac{5}{9}; \frac{10}{9})$ . $H (\frac{19}{9}; - \frac{4}{9}; \frac{10}{9})$ .

c) $\vec{C H} (\frac{19}{9}; - \frac{40}{9}; \frac{1}{9})$ . Contrôle : $\vec{C H} \cdot \vec{A B} = \frac{38 - 40 + 2}{9} = 0$ . $C H^{2} = \frac{361 + 1600 + 1}{81} = \frac{1962}{81} = \frac{218}{9}$ . $C H = \frac{\sqrt{218}}{3} \approx 4, 92$ .

d) $[C H]$ est la hauteur issue de $C$ , donc $A = \frac{1}{2} \times A B \times C H = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{218}}{3} = \frac{\sqrt{218}}{2}$ . $A = \frac{\sqrt{218}}{2} \approx 7, 38$ unités d'aire.

Exercice 10 — Deux plans perpendiculaires et distance à leur intersection

Difficile

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on considère les plans $P_{1} : x + y - z + 2 = 0$ et $P_{2} : 2 x - y + z - 5 = 0$ .

a) Montrer que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont perpendiculaires.
b) Justifier que $P_{1}$ et $P_{2}$ se coupent selon une droite $Δ$ et en donner une représentation paramétrique.
c) Déterminer une équation cartésienne du plan $Q$ passant par $O$ et orthogonal à $Δ$ .
d) Déterminer le point d'intersection $K$ de $Δ$ et $Q$ , puis en déduire la distance du point $O$ à la droite $Δ$ .

a) ${\vec{n}}_{1} (1; 1; - 1)$ et ${\vec{n}}_{2} (2; - 1; 1)$ sont normaux à $P_{1}$ et $P_{2}$ . ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 2 - 1 - 1 = 0$ : les plans sont perpendiculaires.

b) ${\vec{n}}_{1}$ et ${\vec{n}}_{2}$ ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. On résout le système : en ajoutant les deux équations, $3 x - 3 = 0$ , soit $x = 1$ ; la première donne alors $y = z - 3$ . En posant $z = t$ : $Δ : x = 1, y = - 3 + t, z = t$ ( $t \in R$ ), dirigée par $\vec{u} (0; 1; 1)$ . Contrôle : $1 + (- 3 + t) - t + 2 = 0$ et $2 - (- 3 + t) + t - 5 = 0$ .

c) $Q$ est orthogonal à $Δ$ : $\vec{u} (0; 1; 1)$ lui est normal, d'où une équation $y + z + d = 0$ ; $O \in Q$ donne $d = 0$ . $Q : y + z = 0$ .

d) On remplace : $(- 3 + t) + t = 0$ , donc $t = \frac{3}{2}$ et $K (1; - \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ . Le point $K$ est sur $Δ$ et $\vec{O K}$ est un vecteur de $Q$ , donc orthogonal à $\vec{u}$ (contrôle : $\vec{O K} \cdot \vec{u} = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$ ) : $K$ est le projeté orthogonal de $O$ sur $Δ$ . Ainsi $O K = \sqrt{1 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{22}{4}} = \frac{\sqrt{22}}{2}$ . La distance de $O$ à $Δ$ vaut $\frac{\sqrt{22}}{2} \approx 2, 35$ .

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