Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Graphes probabilistes et chaînes de Markov
Modélisation de phénomènes aléatoires évolutifs par des graphes probabilistes et des matrices de transition (programme Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Graphe probabiliste et matrice de transition
/ 4 pts- Un système peut être dans deux états : $E_1$ et $E_2$. À chaque étape, si on est en $E_1$, on reste en $E_1$ avec probabilité $0{,}8$ et on passe en $E_2$ avec probabilité $0{,}2$. Si on est en $E_2$, on passe en $E_1$ avec probabilité $0{,}6$ et on reste en $E_2$ avec probabilité $0{,}4$.
(a) Représentez le graphe probabiliste (décrivez les arcs et leurs probabilités).
(b) Écrivez la matrice de transition $M$ (convention : ligne $i$ = état de départ $E_i$).
(c) Vérifiez que la somme de chaque ligne de $M$ est bien égale à 1.
Exercice 2 — Distribution d'état après plusieurs étapes
/ 5 pts- On reprend la matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ et la distribution initiale $\pi^{(0)} = (1, 0)$ (système dans l'état $E_1$ au départ).
- (a) Calculez $\pi^{(1)}$ (distribution après 1 étape).
- (b) Calculez $\pi^{(2)}$ (distribution après 2 étapes).
- (c) Calculez $M^2$ (entrée $(M^2)_{11}$ arrondie à 2 déc.).
Exercice 3 — Calcul de l'état stationnaire
/ 5 pts- On cherche l'état stationnaire $\pi^* = (a, b)$ avec $a + b = 1$ de la chaîne de Markov de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$.
- (a) Écrire le système $\pi^* \cdot M = \pi^*$ (deux équations).
- (b) Combiner avec $a + b = 1$ pour trouver $a$ et $b$.
- (c) Interpréter $\pi^*$ : que représente-t-il pour le système ?
Exercice 4 — Modélisation et interprétation
/ 6 pts- Une entreprise suit l'état de ses machines : Fonctionnelle (F) ou En panne (P). Par jour : si une machine est fonctionnelle, elle tombe en panne avec probabilité $0{,}1$ ; si elle est en panne, elle est réparée avec probabilité $0{,}3$.
- (a) Écrire la matrice de transition $M$ (états dans l'ordre F, P).
- (b) Une machine est fonctionnelle aujourd'hui. Quelle est la probabilité qu'elle soit en panne dans 2 jours ?
- (c) Calculer l'état stationnaire $\pi^*$.
- (d) L'entreprise a 100 machines. À long terme, combien sont en panne en moyenne ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Graphe probabiliste et matrice de transition
Corrigé :
(a) Arcs : $E_1 \xrightarrow{0{,}8} E_1$, $E_1 \xrightarrow{0{,}2} E_2$, $E_2 \xrightarrow{0{,}6} E_1$, $E_2 \xrightarrow{0{,}4} E_2$.
(b) $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$.
(c) Ligne 1 : $0{,}8 + 0{,}2 = 1$ ✓ ; Ligne 2 : $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ ✓.
Exercice 2 — Distribution d'état après plusieurs étapes
Corrigé :
(a) $\pi^{(1)} = (1, 0) \cdot \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} = (0{,}8,\; 0{,}2)$.
(b) $\pi^{(2)} = (0{,}8, 0{,}2) \cdot M = (0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}6,\; 0{,}8 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}4) = (0{,}64 + 0{,}12,\; 0{,}16 + 0{,}08) = (0{,}76,\; 0{,}24)$.
(c) $(M^2)_{11} = 0{,}76$ (aussi calculable directement : $0{,}8^2 + 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}64 + 0{,}12 = 0{,}76$).
Exercice 3 — Calcul de l'état stationnaire
Corrigé :
(a) $(a, b) \cdot M = (a, b)$ donne :
— 1ère composante : $0{,}8a + 0{,}6b = a$, soit $-0{,}2a + 0{,}6b = 0$, d'où $b = a/3$.
— 2e composante : $0{,}2a + 0{,}4b = b$, soit $0{,}2a = 0{,}6b$, d'où $b = a/3$ (cohérent).
(b) Avec $a + b = 1$ : $a + a/3 = 1 \Rightarrow 4a/3 = 1 \Rightarrow a = 3/4$, $b = 1/4$. Donc $\pi^* = (3/4,\; 1/4)$.
(c) $\pi^*$ est la distribution vers laquelle converge le système sur le long terme : à long terme, le système est dans l'état $E_1$ 75% du temps et dans $E_2$ 25% du temps.
Exercice 4 — Modélisation et interprétation
Corrigé :
(a) $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ (ligne 1 : depuis F, ligne 2 : depuis P).
(b) $\pi^{(0)} = (1,0)$. $\pi^{(1)} = (0{,}9,\; 0{,}1)$. $\pi^{(2)}_P = 0{,}9 \times 0{,}1 + 0{,}1 \times 0{,}7 = 0{,}09 + 0{,}07 = 0{,}16$. La probabilité est $0{,}16 = 16\%$.
(c) Système : $0{,}9a + 0{,}3(1-a) = a \Rightarrow 0{,}3 = 0{,}4a \Rightarrow a = 3/4$. Donc $\pi^* = (3/4,\; 1/4)$.
(d) À long terme, la proportion de machines en panne est $\pi^*_P = 1/4$. Avec 100 machines, il y en a en moyenne $\mathbf{25}$ en panne.
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Graphe probabiliste et matrice de transition/ 4 pts
- Exercice 2 — Distribution d'état après plusieurs étapes/ 5 pts
- Exercice 3 — Calcul de l'état stationnaire/ 5 pts
- Exercice 4 — Modélisation et interprétation/ 6 pts
Notions évaluées
Graphes probabilistes — définition et vocabulaire, Matrice de transition, Chaînes de Markov — définition et propriété sans mémoire, Distribution d'état à l'instant n, Comportement asymptotique — état stationnaire, Exemples et modélisation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Graphes probabilistes — définition et vocabulaire, Matrice de transition, Chaînes de Markov — définition et propriété sans mémoire, Distribution d'état à l'instant n.
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