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120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale.

Maths expertes (option Tle) Terminale

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Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Rappels sur l’arbre pondéré, les probabilités totales et les suites arithmético-géométriques ; chaîne de Markov à deux ou trois états, graphe pondéré et matrice de transition ; distribution πₙ₊₁ = πₙP et πₙ = π₀Pⁿ, coefficients de Pⁿ ; distribution invariante ; convergence à long terme et seuil.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé rédigé : lecture d’une chaîne de Markov et de P², distribution invariante et convergence, arbre pondéré et seuil, chaîne à trois états avec les démonstrations exigibles, convergence avec une raison négative.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Lecture d’une chaîne de Markov ★★

(4 pts)

Un centre de loisirs propose chaque jour deux activités : le sport ( $S$ ) ou l’atelier créatif ( $A$ ). Un enfant inscrit au sport un jour donné choisit encore le sport le lendemain avec la probabilité $0, 55$ ; un enfant inscrit à l’atelier choisit le sport le lendemain avec la probabilité $0, 35$ . Les états sont rangés dans l’ordre $(S; A)$ .

a)Représenter la situation par un graphe probabiliste, écrire la matrice de transition $P$ et vérifier que chaque ligne somme à $1$ .
b)Le premier jour, $60 %$ des enfants sont au sport. Écrire la distribution initiale $π_{0}$ , puis calculer $π_{1}$ .
c)Calculer $π_{2}$ .
d)Interpréter dans le contexte le coefficient de la ligne $2$ et de la colonne $1$ de $P$ , puis calculer et interpréter celui de $P^{2}$ .

Exercice 2 – Distribution invariante et convergence ★★

(4 pts)

Une chaîne de Markov à deux états a pour matrice de transition $P = (\begin{matrix} 0, 91 & 0, 09 \\ 0, 39 & 0, 61 \end{matrix})$ . On cherche une distribution invariante $π = (\begin{matrix} x & 1 - x \end{matrix})$ .

a)Montrer que $π$ est invariante si et seulement si $0, 48 x = 0, 39$ .
b)En déduire la valeur exacte de $π$ , sous forme de fractions irréductibles.
c)Donner l’écriture décimale exacte des deux coefficients de $π$ .
d)On note $x_{n}$ le premier coefficient de $π_{n}$ . Montrer que $x_{n + 1} = 0, 52 x_{n} + 0, 39$ , puis justifier que $(π_{n})$ converge vers $π$ quelle que soit la distribution initiale.

Exercice 3 – Un arbre, une suite auxiliaire et un seuil ★★

(4 pts)

Chaque soir, Léa révise ou ne révise pas. Si elle a révisé un soir, elle révise le lendemain avec la probabilité $0, 89$ ; si elle n’a pas révisé, elle révise le lendemain avec la probabilité $0, 44$ . Le soir $0$ , elle révise avec la probabilité $0, 1$ . On note $R_{n}$ l’événement « Léa révise le soir $n$ » et $r_{n} = p (R_{n})$ .

a)Représenter la situation par un arbre pondéré entre le soir $n$ et le soir $n + 1$ , puis montrer que pour tout entier naturel $n$ , $r_{n + 1} = 0, 45 r_{n} + 0, 44$ .
b)On pose $u_{n} = r_{n} - 0, 8$ . Démontrer que $(u_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
c)En déduire l’expression de $r_{n}$ en fonction de $n$ , puis la limite de $(r_{n})$ .
d)Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $r_{n} > 0, 79$ .

Exercice 4 – Chaîne à trois états et démonstration ★★★

(5 pts)

Une chaîne de Markov $(X_{n})$ a trois états $1$ , $2$ et $3$ , une matrice de transition $P = (\begin{matrix} 0, 6 & 0, 3 & 0, 1 \\ 0, 1 & 0, 7 & 0, 2 \\ 0, 1 & 0, 3 & 0, 6 \end{matrix})$ et une distribution initiale $π_{0} = (\begin{matrix} 0, 5 & 0, 3 & 0, 2 \end{matrix})$ . On admet le résultat du cours à trois états.

a)Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ , $π_{n + 1} = π_{n} P$ , puis que $π_{n} = π_{0} P^{n}$ .
b)Calculer $π_{1}$ .
c)Calculer $π_{2}$ .
d)Vérifier que la distribution $π = (\begin{matrix} 0, 2 & 0, 5 & 0, 3 \end{matrix})$ est invariante.
e)La suite $(π_{n})$ converge-t-elle vers $π$ ? Justifier.

Exercice 5 – Convergence et raison négative ★★★

(3 pts)

Une chaîne de Markov à deux états a pour matrice de transition $P = (\begin{matrix} 0, 3 & 0, 7 \\ 0, 9 & 0, 1 \end{matrix})$ et pour distribution initiale $π_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ . On note $x_{n}$ le premier coefficient de $π_{n}$ .

a)Déterminer la distribution invariante de la chaîne.
b)Exprimer $x_{n}$ en fonction de $n$ , puis donner la valeur de $x_{3}$ .
c)Un élève affirme : « les coefficients de $π_{n}$ passent au-dessus puis au-dessous de la limite, donc la suite $(π_{n})$ ne converge pas ». Expliquer son erreur.

Bon courage !

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Corrigé et barème – Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths expertes (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Lecture d’une chaîne de Markov ★★

(4 pts)

a)Le graphe a deux sommets $S$ et $A$ : boucle en $S$ de poids $0, 55$ , arc de $S$ vers $A$ de poids $1 - 0, 55 = 0, 45$ , arc de $A$ vers $S$ de poids $0, 35$ , boucle en $A$ de poids $1 - 0, 35 = 0, 65$ . Donc $P = (\begin{matrix} 0, 55 & 0, 45 \\ 0, 35 & 0, 65 \end{matrix})$ , et $0, 55 + 0, 45 = 1$ , $0, 35 + 0, 65 = 1$ . (1)
b) $π_{0} = (\begin{matrix} 0, 6 & 0, 4 \end{matrix})$ . $π_{1} = π_{0} P$ : premier coefficient $0, 6 \times 0, 55 + 0, 4 \times 0, 35$ $= 0, 33 + 0, 14$ $= 0, 47$ , second $0, 6 \times 0, 45 + 0, 4 \times 0, 65$ $= 0, 27 + 0, 26$ $= 0, 53$ . Donc $π_{1} = (\begin{matrix} 0, 47 & 0, 53 \end{matrix})$ . (1)
c) $π_{2} = π_{1} P$ : $0, 47 \times 0, 55 + 0, 53 \times 0, 35$ $= 0, 2585 + 0, 1855$ $= 0, 444$ et $0, 47 \times 0, 45 + 0, 53 \times 0, 65$ $= 0, 2115 + 0, 3445$ $= 0, 556$ . Donc $π_{2} = (\begin{matrix} 0, 444 & 0, 556 \end{matrix})$ : le troisième jour, $44, 4 %$ des enfants font du sport. (1)
d) $p_{21} = 0, 35$ est la probabilité qu’un enfant inscrit à l’atelier un jour choisisse le sport le lendemain. $(P^{2})_{21} = 0, 35 \times 0, 55 + 0, 65 \times 0, 35$ $= 0, 1925 + 0, 2275$ $= 0, 42$ : c’est la probabilité qu’un enfant inscrit à l’atelier un jour donné soit au sport deux jours plus tard. (1)

Repère — Ligne = état de départ, colonne = état d’arrivée, pour $P$ comme pour ses puissances.

Exercice 2 – Distribution invariante et convergence ★★

(4 pts)

a)Le premier coefficient de $π P$ vaut $0, 91 x + 0, 39 (1 - x)$ $= 0, 52 x + 0, 39$ . L’égalité $π P = π$ équivaut à $0, 52 x + 0, 39 = x$ (le second coefficient donne la même équation, car les coefficients de $π P$ somment à $1$ ), soit $0, 48 x = 0, 39$ . (1)
b) $x = \frac{0, 39}{0, 48}$ $= \frac{39}{48}$ $= \frac{13}{16}$ et $1 - x = \frac{3}{16}$ : $π = (\begin{matrix} \frac{13}{16} & \frac{3}{16} \end{matrix})$ . (1)
c) $\frac{13}{16} = 0, 8125$ et $\frac{3}{16} = 0, 1875$ : $π = (\begin{matrix} 0, 8125 & 0, 1875 \end{matrix})$ . (1)
d)Le premier coefficient de $π_{n + 1} = π_{n} P$ vaut $0, 91 x_{n} + 0, 39 (1 - x_{n})$ $= 0, 52 x_{n} + 0, 39$ . Le point fixe vérifie $ℓ = 0, 52 ℓ + 0, 39$ , soit $ℓ = \frac{0, 39}{0, 48}$ $= \frac{13}{16}$ . On pose $u_{n} = x_{n} - \frac{13}{16}$ : $u_{n + 1} = 0, 52 x_{n} + 0, 39 - \frac{13}{16}$ $= 0, 52 (x_{n} - \frac{13}{16})$ $= 0, 52 u_{n}$ , car $0, 39 = 0, 48 \times \frac{13}{16}$ . Donc $x_{n} = \frac{13}{16} + (x_{0} - \frac{13}{16}) \times 0, 52^{n}$ . Comme $- 1 < 0, 52 < 1$ , $0, 52^{n} \to 0$ et $x_{n} \to \frac{13}{16}$ , quel que soit $x_{0}$ : $(π_{n})$ converge vers $π$ . (1)

Repère — À deux états, la convergence se démontre avec la suite arithmético-géométrique du premier coefficient.

Exercice 3 – Un arbre, une suite auxiliaire et un seuil ★★

(4 pts)

a)Arbre : au premier niveau $R_{n}$ (probabilité $r_{n}$ ) et $\overset{―}{R_{n}}$ (probabilité $1 - r_{n}$ ) ; au second niveau, $R_{n + 1}$ avec $0, 89$ et $\overset{―}{R_{n + 1}}$ avec $0, 11$ après $R_{n}$ ; $R_{n + 1}$ avec $0, 44$ et $\overset{―}{R_{n + 1}}$ avec $0, 56$ après $\overset{―}{R_{n}}$ . Les événements $R_{n}$ et $\overset{―}{R_{n}}$ forment une partition ; d’après la formule des probabilités totales, $r_{n + 1} = 0, 89 r_{n} + 0, 44 (1 - r_{n})$ $= 0, 45 r_{n} + 0, 44$ . (1)
b)Pour tout $n$ , $u_{n + 1} = r_{n + 1} - 0, 8$ $= 0, 45 r_{n} + 0, 44 - 0, 8$ $= 0, 45 r_{n} - 0, 36$ $= 0, 45 (r_{n} - 0, 8)$ $= 0, 45 u_{n}$ . La suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 45$ et de premier terme $u_{0} = 0, 1 - 0, 8 = - 0, 7$ . (1)
c) $u_{n} = - 0, 7 \times 0, 45^{n}$ , donc $r_{n} = 0, 8 - 0, 7 \times 0, 45^{n}$ . Contrôle : $r_{1} = 0, 89 \times 0, 1 + 0, 44 \times 0, 9$ $= 0, 089 + 0, 396$ $= 0, 485$ et $0, 8 - 0, 7 \times 0, 45 = 0, 485$ . Comme $- 1 < 0, 45 < 1$ , $0, 45^{n} \to 0$ ; par produit et somme, $lim r_{n} = 0, 8$ . (1)
d) $r_{n} > 0, 79 ⟺ 0, 7 \times 0, 45^{n}$ $< 0, 01 ⟺ 0, 45^{n}$ $< \frac{1}{70}$ , avec $\frac{1}{70} \approx 0, 01429$ . Or $0, 45^{5} \approx 0, 01845$ et $0, 45^{6} \approx 0, 00830$ . Comme $0 < 0, 45 < 1$ , la suite $(0, 45^{n})$ est décroissante : pour $n ⩽ 5$ , $0, 45^{n} ⩾ 0, 45^{5} > \frac{1}{70}$ ; pour $n ⩾ 6$ , $0, 45^{n} ⩽ 0, 45^{6} < \frac{1}{70}$ . Le plus petit entier est $n = 6$ . (1)

Repère — L’arbre entre l’étape $n$ et l’étape $n + 1$ donne la relation ; la suite auxiliaire donne la limite et le seuil.

Exercice 4 – Chaîne à trois états et démonstration ★★★

(5 pts)

a)Soit $n \in ℕ$ . Les événements $(X_{n} = 1)$ , $(X_{n} = 2)$ , $(X_{n} = 3)$ forment une partition. D’après la formule des probabilités totales, pour chaque état $j$ , $p (X_{n + 1} = j)$ $= p (X_{n} = 1) p_{1 j} + p (X_{n} = 2) p_{2 j} + p (X_{n} = 3) p_{3 j}$ : c’est le produit de la ligne $π_{n}$ par la colonne $j$ de $P$ , donc $π_{n + 1} = π_{n} P$ .
On note $𝒫 (n)$ : « $π_{n} = π_{0} P^{n}$ ». Initialisation. $π_{0} P^{0} = π_{0} I_{3} = π_{0}$ . Hérédité. Soit $k \in ℕ$ tel que $π_{k} = π_{0} P^{k}$ . Alors $π_{k + 1} = π_{k} P$ $= (π_{0} P^{k}) P$ $= π_{0} P^{k + 1}$ , par associativité du produit matriciel. Conclusion. Par récurrence, $π_{n} = π_{0} P^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ . (1)
b) $π_{1} = π_{0} P$ : $0, 5 \times 0, 6 + 0, 3 \times 0, 1 + 0, 2 \times 0, 1$ $= 0, 35$ ; $0, 5 \times 0, 3 + 0, 3 \times 0, 7 + 0, 2 \times 0, 3$ $= 0, 42$ ; $0, 5 \times 0, 1 + 0, 3 \times 0, 2 + 0, 2 \times 0, 6$ $= 0, 23$ . Donc $π_{1} = (\begin{matrix} 0, 35 & 0, 42 & 0, 23 \end{matrix})$ , de somme $1$ . (1)
c) $π_{2} = π_{1} P$ : $0, 35 \times 0, 6 + 0, 42 \times 0, 1 + 0, 23 \times 0, 1$ $= 0, 275$ ; $0, 35 \times 0, 3 + 0, 42 \times 0, 7 + 0, 23 \times 0, 3$ $= 0, 468$ ; $0, 35 \times 0, 1 + 0, 42 \times 0, 2 + 0, 23 \times 0, 6$ $= 0, 257$ . Donc $π_{2} = (\begin{matrix} 0, 275 & 0, 468 & 0, 257 \end{matrix})$ . (1)
d) $0, 2 \times 0, 6 + 0, 5 \times 0, 1 + 0, 3 \times 0, 1$ $= 0, 2$ ; $0, 2 \times 0, 3 + 0, 5 \times 0, 7 + 0, 3 \times 0, 3$ $= 0, 5$ ; $0, 2 \times 0, 1 + 0, 5 \times 0, 2 + 0, 3 \times 0, 6$ $= 0, 3$ . Donc $π P = π$ , et $0, 2 + 0, 5 + 0, 3 = 1$ : $π$ est une distribution invariante. (1)
e)Oui. Tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs : d’après le résultat admis, $(π_{n})$ converge vers l’unique distribution invariante, qui est donc $π$ , quelle que soit $π_{0}$ . Les deuxièmes coefficients $0, 3$ , puis $0, 42$ , puis $0, 468$ montrent déjà la progression vers $0, 5$ . (1)

Repère — Les deux démonstrations exigibles reposent sur la formule des probabilités totales et sur une récurrence.

Exercice 5 – Convergence et raison négative ★★★

(3 pts)

a) $π = (\begin{matrix} x & 1 - x \end{matrix})$ : $0, 3 x + 0, 9 (1 - x)$ $= x ⟺ 0, 9 - 0, 6 x$ $= x ⟺ 1, 6 x$ $= 0, 9 ⟺ x$ $= \frac{9}{16}$ $= 0, 5625$ . La distribution invariante est $(\begin{matrix} 0, 5625 & 0, 4375 \end{matrix})$ . (1)
b) $x_{n + 1} = 0, 3 x_{n} + 0, 9 (1 - x_{n})$ $= - 0, 6 x_{n} + 0, 9$ . Avec $u_{n} = x_{n} - 0, 5625$ : $u_{n + 1} = - 0, 6 x_{n} + 0, 9 - 0, 5625$ $= - 0, 6 x_{n} + 0, 3375$ $= - 0, 6 (x_{n} - 0, 5625)$ $= - 0, 6 u_{n}$ , et $u_{0} = 1 - 0, 5625 = 0, 4375$ . Donc $x_{n} = 0, 5625 + 0, 4375 \times (- 0, 6)^{n}$ et $x_{3} = 0, 5625 - 0, 4375 \times 0, 216$ $= 0, 5625 - 0, 0945$ $= 0, 468$ . (1)
c)L’alternance vient de la raison négative $- 0, 6$ : $u_{n}$ change de signe à chaque étape. Mais $- 1 < - 0, 6 < 1$ , donc $(- 0, 6)^{n} \to 0$ et $x_{n} \to 0, 5625$ : la suite converge en oscillant autour de sa limite. C’est conforme au cours : $a + b = 0, 7 + 0, 9 = 1, 6$ est strictement compris entre $0$ et $2$ . (1)

Repère — Une raison négative fait osciller la suite ; elle converge dès que la raison est strictement comprise entre −1 et 1.

Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Lecture d’une chaîne de Markov ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Distribution invariante et convergence ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Un arbre, une suite auxiliaire et un seuil ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Chaîne à trois états et démonstration ★★★/ 5 pts
Exercice 5 — Convergence et raison négative ★★★/ 3 pts

Notions évaluées

Probabilité conditionnelle, arbre pondéré, formule des probabilités totales, suite arithmético-géométrique, point fixe, chaîne de Markov, absence de mémoire, graphe probabiliste, matrice de transition, état absorbant, distribution, distribution initiale, πₙ₊₁ = πₙP, πₙ = π₀Pⁿ, coefficient de Pⁿ, démonstration par récurrence, distribution invariante, état stable, convergence, raison négative, chaîne périodique, seuil en Python.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit : graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états ; distribution initiale représentée par une matrice ligne π₀ ; matrice de transition ; interprétation du coefficient (i, j) de Pⁿ ; distribution après n transitions, π₀Pⁿ ; distributions invariantes d’une chaîne de Markov à deux ou trois états ; démonstrations exigibles : probabilité de passer de l’état i à l’état j en n transitions, distribution après n transitions. Rappels : arbre pondéré, formule des probabilités totales, suites arithmético-géométriques.

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