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Fiche de révision : graphes probabilistes et chaînes de Markov

Rappels sur l’arbre pondéré, les probabilités totales et les suites arithmético-géométriques ; chaîne de Markov à deux ou trois états, graphe pondéré et matrice de transition ; distribution πₙ₊₁ = πₙP et πₙ = π₀Pⁿ, coefficients de Pⁿ ; distribution invariante ; convergence à long terme et seuil.

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Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Graphes et matrices · Chaînes de Markov)

La démarche pour étudier une chaîne de Markov

1. Je fixe l’ordre des états et j’écris la matrice de transition $P$ ligne par ligne (une ligne = un état de départ), en contrôlant que chaque ligne somme à $1$ .

2. Je calcule les distributions : $π_{0}$ en ligne, puis $π_{n + 1} = π_{n} P$ ou directement $π_{n} = π_{0} P^{n}$ .

3. Je cherche la distribution invariante : $π P = π$ et somme des coefficients égale à $1$ .

4. Je conclus sur le long terme : suite arithmético-géométrique à deux états, résultat admis à trois états, en vérifiant l’hypothèse.

Le réflexe — chaque résultat se justifie par une règle nommée : « d’après la formule des probabilités totales », « par récurrence », « comme −1 < q < 1 ». Un calcul sans justification risque de ne pas rapporter tous les points.

Cas 1 · Une relation de récurrence par un arbre

Réflexe — arbre entre l’étape n et l’étape n + 1, puis probabilités totales : aₙ₊₁ = αaₙ + β(1 − aₙ).

Exemple. Questions types : « Recopier et compléter l’arbre », « Montrer que $a_{n + 1} = \dots$ ». Exemple : un appareil est allumé ( $A_{n}$ ) ou éteint ; $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0, 6$ et $p_{\overset{―}{A_{n}}} (A_{n + 1}) = 0, 1$ .

$A_{n}$ et $\overset{―}{A_{n}}$ forment une partition. D’après la formule des probabilités totales :

$a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 0, 1 (1 - a_{n})$ $= 0, 5 a_{n} + 0, 1$ .

Point fixe : $ℓ = 0, 5 ℓ + 0, 1$ , donc $ℓ = 0, 2$ ; puis $a_{n} = 0, 2 + (a_{0} - 0, 2) \times 0, 5^{n}$ .

Attention — les poids du second niveau sont des probabilités conditionnelles ; ce sont les branches issues d’un même nœud qui somment à 1.

Cas 2 · Écrire la matrice de transition

Réflexe — ordre des états écrit ; ligne i = flèches qui partent de i ; flèche absente = 0 ; boucle = complément à 1.

Exemple. Questions types : « Représenter la situation par un graphe probabiliste », « Écrire la matrice de transition ». Exemple : de $1$ , on va en $2$ avec la probabilité $0, 4$ ; de $2$ , en $1$ avec $0, 15$ et en $3$ avec $0, 3$ ; de $3$ , en $1$ avec $0, 2$ ; sinon on reste.

Boucles : $1 - 0, 4 = 0, 6$ ; $1 - 0, 15 - 0, 3 = 0, 55$ ; $1 - 0, 2 = 0, 8$ .

Dans l’ordre $(1; 2; 3)$ : $P = (\begin{matrix} 0, 6 & 0, 4 & 0 \\ 0, 15 & 0, 55 & 0, 3 \\ 0, 2 & 0 & 0, 8 \end{matrix})$ .

Contrôle : chaque ligne somme à $1$ .

Attention — p₂₁ est la probabilité de passer de 2 à 1 ; ce sont les lignes, jamais les colonnes, qui somment à 1.

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Cas 3 · Distribution après n transitions, coefficient de Pⁿ

Réflexe — πₙ₊₁ = πₙP, ligne à gauche ; départ connu en i : ligne i de Pⁿ.

Exemple. Questions types : « Calculer $π_{2}$ », « Interpréter le coefficient $(2; 1)$ de $P^{2}$ », « Démontrer que $π_{n} = π_{0} P^{n}$ ». Exemple : $P = (\begin{matrix} 0, 9 & 0, 1 \\ 0, 4 & 0, 6 \end{matrix})$ et $π_{0} = (\begin{matrix} 0, 5 & 0, 5 \end{matrix})$ .

$π_{1} = π_{0} P$ $= (\begin{matrix} 0, 65 & 0, 35 \end{matrix})$ , puis $π_{2} = π_{1} P$ , de premier coefficient $0, 65 \times 0, 9 + 0, 35 \times 0, 4$ $= 0, 725$ : $π_{2} = (\begin{matrix} 0, 725 & 0, 275 \end{matrix})$ .

$(P^{2})_{21} = 0, 4 \times 0, 9 + 0, 6 \times 0, 4$ $= 0, 6$ : probabilité de passer de l’état $2$ à l’état $1$ en deux transitions.

Récurrence : $π_{k + 1} = π_{k} P$ $= π_{0} P^{k} P$ $= π_{0} P^{k + 1}$ .

Attention — Pπₙ n’a pas de sens ; et (Pⁿ)ᵢⱼ n’est pas (pᵢⱼ)ⁿ.

Cas 4 · Distribution invariante

Réflexe — π = (x 1 − x) à deux états ; à trois états, deux équations de πP = π et x + y + z = 1.

Exemple. Questions types : « Déterminer la distribution invariante », « Vérifier que $π$ est invariante ». Exemple : $P = (\begin{matrix} 0, 65 & 0, 35 \\ 0, 15 & 0, 85 \end{matrix})$ .

On pose $π = (\begin{matrix} x & 1 - x \end{matrix})$ . Le premier coefficient de $π P$ vaut $0, 65 x + 0, 15 (1 - x) = 0, 5 x + 0, 15$ .

$0, 5 x + 0, 15 = x$ $⟺ 0, 5 x$ $= 0, 15 ⟺ x$ $= 0, 3$ .

$π = (\begin{matrix} 0, 3 & 0, 7 \end{matrix})$ ; contrôle : $0, 3 \times 0, 35 + 0, 7 \times 0, 85 = 0, 7$ .

Attention — sans la condition « somme égale à 1 », le système a une infinité de solutions.

Cas 5 · Limite et seuil

Réflexe — xₙ₊₁ = (p₁₁ − p₂₁)xₙ + p₂₁ ; point fixe, suite géométrique, limite si −1 < q < 1.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(u_{n})$ est géométrique », « En déduire la limite de $(π_{n})$ », « Déterminer le premier rang tel que… ». Exemple : $P = (\begin{matrix} 0, 4 & 0, 6 \\ 0, 3 & 0, 7 \end{matrix})$ et $x_{0} = 1$ .

$x_{n + 1} = 0, 4 x_{n} + 0, 3 (1 - x_{n})$ $= 0, 1 x_{n} + 0, 3$ ; point fixe $ℓ = \frac{0, 3}{0, 9} = \frac{1}{3}$ .

$x_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times 0, 1^{n}$ ; comme $- 1 < 0, 1 < 1$ , $lim x_{n} = \frac{1}{3}$ : $(π_{n})$ converge vers $(\begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})$ .

$x_{n} < 0, 334 ⟺ 0, 1^{n}$ $< 0, 001$ : premier rang $n = 4$ .

Attention — un invariant qui existe ne prouve pas la convergence : on vérifie l’hypothèse (0 < a + b < 2, coefficients strictement positifs).

Les pièges

Ligne = départ, colonne = arrivée : p₂₁ part de l’état 2.
Ce sont les lignes de P qui somment à 1, jamais les colonnes.
La distribution est une ligne à gauche : πₙP, pas Pπₙ.
Le coefficient (i ; j) de Pⁿ n’est pas la puissance n-ième de pᵢⱼ.
Sans « x + y + z = 1 », la distribution invariante n’est pas déterminée.
P = (0 1 ; 1 0) a une distribution invariante, mais πₙ ne converge pas.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode sur les chaînes de Markov donne la démarche en quatre temps, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : relation de récurrence tirée d’un arbre, écriture de la matrice de transition, calcul de πₙ et d’un coefficient de Pⁿ, distribution invariante, limite et seuil. Elle se termine par les pièges classiques, comme la confusion entre lignes et colonnes.

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