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Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Rappels sur l’arbre pondéré, les probabilités totales et les suites arithmético-géométriques ; chaîne de Markov à deux ou trois états, graphe pondéré et matrice de transition ; distribution πₙ₊₁ = πₙP et πₙ = π₀Pⁿ, coefficients de Pⁿ ; distribution invariante ; convergence à long terme et seuil.

À propos de cette page
Un QCM sur les chaînes de Markov en trois niveaux de douze questions : lecture de la matrice de transition, calcul d’une distribution ou d’un coefficient de P², distribution invariante, relation de récurrence et limite, puis pièges sur les chaînes périodiques, les états absorbants et la raison négative. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans un graphe probabiliste, la somme des poids des arcs qui partent d’un même sommet, boucle comprise, vaut :

    • A. exactement 0
    • B. exactement 1
    • C. au plus 0,5
    • D. le nombre de sommets
    Réponse

    B. exactement 1 — Depuis un état donné, le système va forcément vers l’un des états du graphe (éventuellement le même) : les probabilités de transition sortantes somment à 1.

  2. Le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 de la matrice de transition P représente :

    • A. la probabilité de rester dans l’état 2
    • B. la probabilité de passer de l’état 2 à l’état 1
    • C. la probabilité d’être dans l’état 1 au départ
    • D. la probabilité de passer de l’état 1 à l’état 2
    Réponse

    D. la probabilité de passer de l’état 1 à l’état 2 — Dans P, la ligne désigne l’état de départ et la colonne l’état d’arrivée : p₁₂ est la probabilité d’aller de 1 vers 2 en une étape.

  3. Si π₀ = (0,3 ; 0,7) et P = [0,9 0,1 ; 0,45 0,55], alors π₁ vaut :

    • A. (0,585 ; 0,415)
    • B. (0,27 ; 0,73)
    • C. (0,415 ; 0,585)
    • D. (0,3 ; 0,7)
    Réponse

    A. (0,585 ; 0,415) — π₁ = π₀P = (0,3 × 0,9 + 0,7 × 0,45 ; 0,3 × 0,1 + 0,7 × 0,55) = (0,27 + 0,315 ; 0,03 + 0,385) = (0,585 ; 0,415).

  4. Une matrice carrée à coefficients positifs est une matrice de transition lorsque :

    • A. la somme de tous ses coefficients vaut 1
    • B. sa diagonale ne contient que des 1
    • C. la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1
    • D. la somme des coefficients de chaque colonne vaut 1
    Réponse

    C. la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1 — Ce sont les lignes, associées aux états de départ, qui somment à 1. Les colonnes n’ont aucune raison de sommer à 1.

  5. La distribution après n transitions s’exprime à partir de la distribution initiale par :

    • A. πₙ = n × π₀P
    • B. πₙ = Pⁿπ₀
    • C. πₙ = π₀ + nP
    • D. πₙ = π₀Pⁿ
    Réponse

    D. πₙ = π₀Pⁿ — On itère πₖ₊₁ = πₖP : une récurrence donne πₙ = π₀Pⁿ, la matrice ligne restant à gauche.

  6. Une matrice ligne π est une distribution invariante de la chaîne lorsque :

    • A. πP = π et ses coefficients sont tous égaux
    • B. πP = π et ses coefficients, positifs, ont pour somme 1
    • C. Pπ = π et les colonnes de P ont pour somme 1
    • D. πP = 0 et ses coefficients ont pour somme 1
    Réponse

    B. πP = π et ses coefficients, positifs, ont pour somme 1 — Une distribution invariante vérifie πP = π, et c’est une distribution : coefficients positifs de somme 1, sans quoi la solution ne serait pas déterminée.

  7. Pour une chaîne de Markov de matrice P, que représente le coefficient (i ; j) de P³ ?

    • A. la probabilité d’être dans l’état i au bout de 3 étapes
    • B. le cube de la probabilité de passer de i à j
    • C. la probabilité de passer de i à j en 3 transitions
    • D. la probabilité de passer de j à i en 3 transitions
    Réponse

    C. la probabilité de passer de i à j en 3 transitions — Les puissances de P gardent la lecture « ligne = départ, colonne = arrivée », l’exposant étant le nombre de transitions. Ce coefficient n’est pas le cube de pᵢⱼ.

  8. Dans un graphe probabiliste à deux états A et B, l’arc de A vers B porte le poids 0,18. La boucle en A porte :

    • A. 0,82
    • B. 0,36
    • C. 1,18
    • D. 0,18
    Réponse

    A. 0,82 — Les poids des arcs qui partent de A somment à 1, donc la boucle porte 1 − 0,18 = 0,82.

  9. On sait que p_Aₙ(Aₙ₊₁) = 0,9 et que p_Bₙ(Aₙ₊₁) = 0,3, où Bₙ est le contraire de Aₙ. Avec aₙ = p(Aₙ), on a aₙ₊₁ = 

    • A. 0,9aₙ + 0,1
    • B. 0,9aₙ + 0,3
    • C. 0,6aₙ + 0,3
    • D. 1,2aₙ − 0,3
    Réponse

    C. 0,6aₙ + 0,3 — Formule des probabilités totales : aₙ₊₁ = 0,9aₙ + 0,3(1 − aₙ) = 0,6aₙ + 0,3.

  10. Si p(A) = 0,5 et p_A(B) = 0,4, alors p(A ∩ B) vaut :

    • A. 0,9
    • B. 0,2
    • C. 0,1
    • D. 0,8
    Réponse

    B. 0,2 — p(A ∩ B) = p(A) × p_A(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 : on multiplie le long du chemin de l’arbre.

  11. Dans une chaîne de Markov, l’état i est absorbant lorsque :

    • A. la colonne i de P est nulle
    • B. pᵢᵢ = 0
    • C. la ligne i de P est nulle
    • D. pᵢᵢ = 1
    Réponse

    D. pᵢᵢ = 1 — pᵢᵢ = 1 : partant de i, on y reste avec la probabilité 1. Une ligne nulle est impossible, car chaque ligne somme à 1.

  12. La distribution invariante de la chaîne de matrice P = [0,6 0,4 ; 0,4 0,6] est :

    • A. (0,5 ; 0,5)
    • B. (1 ; 0)
    • C. (0,4 ; 0,6)
    • D. (0,6 ; 0,4)
    Réponse

    A. (0,5 ; 0,5) — Avec π = (x ; 1 − x) : 0,6x + 0,4(1 − x) = x donne 0,2x + 0,4 = x, soit x = 0,5.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La distribution invariante de la chaîne de matrice P = [0,44 0,56 ; 0,28 0,72] est environ :

    • A. (0,28 ; 0,72)
    • B. (0,44 ; 0,56)
    • C. (0,333 ; 0,667)
    • D. (0,5 ; 0,5)
    Réponse

    C. (0,333 ; 0,667) — Avec π = (x ; 1 − x) : 0,44x + 0,28(1 − x) = x, soit 0,16x + 0,28 = x, puis 0,84x = 0,28 et x = 1/3 ≈ 0,333.

  2. Pour P = [0,4 0,6 ; 0,1 0,9], le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 1 de P² vaut :

    • A. 0,22
    • B. 0,4
    • C. 0,28
    • D. 0,16
    Réponse

    A. 0,22 — Ligne 1 par colonne 1 : 0,4 × 0,4 + 0,6 × 0,1 = 0,16 + 0,06 = 0,22.

  3. Avec π₀ = (1 ; 0) et P = [0,2 0,8 ; 0,5 0,5], la distribution π₂ vaut :

    • A. (0,34 ; 0,66)
    • B. (0,56 ; 0,44)
    • C. (0,2 ; 0,8)
    • D. (0,44 ; 0,56)
    Réponse

    D. (0,44 ; 0,56) — π₁ = (0,2 ; 0,8), puis π₂ = (0,2 × 0,2 + 0,8 × 0,5 ; 0,2 × 0,8 + 0,8 × 0,5) = (0,44 ; 0,56).

  4. La suite définie par xₙ₊₁ = 0,25xₙ + 0,45 converge vers :

    • A. 0,45
    • B. 0,6
    • C. 0,7
    • D. 0,25
    Réponse

    B. 0,6 — La limite est le point fixe : ℓ = 0,25ℓ + 0,45 donne 0,75ℓ = 0,45, donc ℓ = 0,6 (et −1 < 0,25 < 1 assure la convergence).

  5. Si xₙ = 0,8 − 0,3 × 0,2ⁿ, alors x₃ vaut :

    • A. 0,7976
    • B. 0,8
    • C. 0,77
    • D. 0,794
    Réponse

    A. 0,7976 — 0,2³ = 0,008, donc x₃ = 0,8 − 0,3 × 0,008 = 0,8 − 0,0024 = 0,7976.

  6. Avec π₀ = (1 ; 0 ; 0) et P = [0,55 0,35 0,1 ; 0,2 0,5 0,3 ; 0,15 0,4 0,45], le deuxième coefficient de π₂ vaut :

    • A. 0,3875
    • B. 0,45
    • C. 0,4075
    • D. 0,35
    Réponse

    C. 0,4075 — π₁ est la première ligne de P, (0,55 ; 0,35 ; 0,1) ; puis 0,55 × 0,35 + 0,35 × 0,5 + 0,1 × 0,4 = 0,1925 + 0,175 + 0,04 = 0,4075.

  7. Pour P = [0,7 0,3 ; 0,6 0,4], le premier coefficient xₙ de πₙ vérifie :

    • A. xₙ₊₁ = 0,7xₙ + 0,3
    • B. xₙ₊₁ = 0,1xₙ + 0,6
    • C. xₙ₊₁ = 0,6xₙ + 0,1
    • D. xₙ₊₁ = 0,3xₙ + 0,4
    Réponse

    B. xₙ₊₁ = 0,1xₙ + 0,6 — xₙ₊₁ = 0,7xₙ + 0,6(1 − xₙ) = (0,7 − 0,6)xₙ + 0,6 = 0,1xₙ + 0,6 : la raison est p₁₁ − p₂₁ et la constante p₂₁.

  8. Pour une chaîne à deux états dont tous les coefficients de P sont strictement positifs, la limite de Pⁿ est une matrice :

    • A. nulle
    • B. dont les deux colonnes sont égales à la distribution invariante
    • C. égale à la matrice identité
    • D. dont les deux lignes sont égales à la distribution invariante
    Réponse

    D. dont les deux lignes sont égales à la distribution invariante — La ligne i de Pⁿ est la distribution obtenue en partant de l’état i ; toutes convergent vers la même distribution invariante.

  9. Dans un arbre, p(Aₙ) = 0,3, p_Aₙ(Aₙ₊₁) = 0,8 et p_Bₙ(Aₙ₊₁) = 0,5, où Bₙ est le contraire de Aₙ. Alors p(Aₙ₊₁) vaut :

    • A. 0,59
    • B. 0,35
    • C. 0,65
    • D. 0,24
    Réponse

    A. 0,59 — Probabilités totales : p(Aₙ₊₁) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,5 = 0,24 + 0,35 = 0,59.

  10. Pour P = [0,8 0,1 0,1 ; 0,4 0,5 0,1 ; 0,6 0,3 0,1], la distribution invariante est :

    • A. (0,6 ; 0,3 ; 0,1)
    • B. (0,5 ; 0,3 ; 0,2)
    • C. (0,8 ; 0,1 ; 0,1)
    • D. (0,7 ; 0,2 ; 0,1)
    Réponse

    D. (0,7 ; 0,2 ; 0,1) — Pour (0,7 ; 0,2 ; 0,1) : 0,56 + 0,08 + 0,06 = 0,7 ; 0,07 + 0,1 + 0,03 = 0,2 ; 0,07 + 0,02 + 0,01 = 0,1. Avec (0,6 ; 0,3 ; 0,1), le premier coefficient de πP vaut 0,66.

  11. Pour P = [0,5 0,5 ; 0,1 0,9], la probabilité de passer de l’état 2 à l’état 1 en deux transitions vaut :

    • A. 0,1
    • B. 0,01
    • C. 0,14
    • D. 0,3
    Réponse

    C. 0,14 — C’est le coefficient (2 ; 1) de P² : 0,1 × 0,5 + 0,9 × 0,1 = 0,05 + 0,09 = 0,14. Ce n’est pas 0,1² = 0,01.

  12. Pour P = [0,6 0,4 ; 0,1 0,9] et π₀ = (1 ; 0), le premier coefficient de πₙ vaut :

    • A. 0,5ⁿ
    • B. 0,2 + 0,8 × 0,5ⁿ
    • C. 0,2 + 0,8 × 0,6ⁿ
    • D. 0,8 + 0,2 × 0,5ⁿ
    Réponse

    B. 0,2 + 0,8 × 0,5ⁿ — xₙ₊₁ = 0,6xₙ + 0,1(1 − xₙ) = 0,5xₙ + 0,1, de point fixe 0,2 ; x₀ − 0,2 = 0,8, d’où xₙ = 0,2 + 0,8 × 0,5ⁿ.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Soit P = [0 1 0 ; 0 0 1 ; 1 0 0] et π₀ = (0,5 ; 0,3 ; 0,2). La suite (πₙ) :

    • A. converge vers (1/3 ; 1/3 ; 1/3)
    • B. converge vers (0 ; 0 ; 1)
    • C. est constante, égale à π₀
    • D. est périodique de période 3
    Réponse

    D. est périodique de période 3 — Cette matrice décale les coefficients à chaque étape : π₃ = π₀. La suite reprend les mêmes trois valeurs sans fin et ne converge pas, bien que (1/3 ; 1/3 ; 1/3) soit invariante.

  2. Pour P = [1 0 ; 0,3 0,7], l’ensemble des distributions invariantes est :

    • A. réduit à (0,5 ; 0,5)
    • B. réduit à (1 ; 0)
    • C. l’ensemble de toutes les distributions
    • D. vide
    Réponse

    B. réduit à (1 ; 0) — π = (x ; 1 − x) vérifie x + 0,3(1 − x) = x, soit 0,3(1 − x) = 0 et x = 1. L’état 1 est absorbant : le système finit piégé.

  3. À deux états, la convergence de (πₙ) vers la distribution invariante, quelle que soit π₀, est assurée dès que :

    • A. la matrice P est symétrique
    • B. chaque ligne de P a pour somme 1
    • C. tous les coefficients de P sont strictement positifs
    • D. la chaîne a au moins une distribution invariante
    Réponse

    C. tous les coefficients de P sont strictement positifs — La somme des lignes égale à 1 est vraie pour toute matrice de transition, et P = [0 1 ; 1 0] est symétrique avec un invariant, sans converger. Des coefficients strictement positifs donnent 0 < a + b < 2.

  4. La suite définie par xₙ₊₁ = −0,8xₙ + 0,9 et x₀ = 0,1 :

    • A. converge vers 0,5 en oscillant autour de cette valeur
    • B. diverge, car la raison de la suite auxiliaire est négative
    • C. est constante, égale à 0,1
    • D. converge vers 0,9 en croissant
    Réponse

    A. converge vers 0,5 en oscillant autour de cette valeur — Le point fixe vaut 0,5 et xₙ − 0,5 est géométrique de raison −0,8. Comme −1 < −0,8 < 1, xₙ − 0,5 tend vers 0 en changeant de signe à chaque rang.

  5. Si P est une matrice de transition, alors P² est :

    • A. une matrice inversible
    • B. encore une matrice de transition
    • C. une matrice symétrique
    • D. une matrice dont la somme de tous les coefficients vaut 1
    Réponse

    B. encore une matrice de transition — Les coefficients de P² sont des probabilités de transition en deux étapes : ils sont positifs et chaque ligne somme à 1.

  6. Pour P = [0,3 0,7 ; 0,45 0,55], la raison de la suite géométrique auxiliaire xₙ − ℓ vaut :

    • A. −0,85
    • B. 0,85
    • C. 0,15
    • D. −0,15
    Réponse

    D. −0,15 — La raison vaut p₁₁ − p₂₁ = 0,3 − 0,45 = −0,15 (c’est aussi 1 − a − b avec a = 0,7 et b = 0,45).

  7. Un élève écrit : « la somme de tous les coefficients de Pⁿ vaut 1 ». Pour une chaîne à k états, cette affirmation est :

    • A. fausse : cette somme vaut k
    • B. vraie pour tout entier naturel n non nul
    • C. vraie seulement lorsque n est pair
    • D. fausse : cette somme vaut n
    Réponse

    A. fausse : cette somme vaut k — Chacune des k lignes de Pⁿ somme à 1, donc la somme de tous les coefficients vaut k.

  8. Pour une chaîne à trois états, le système πP = π qui donne la distribution invariante :

    • A. n’a de solution que si P est inversible
    • B. se résout en calculant l’inverse de P
    • C. doit être complété par l’équation x + y + z = 1
    • D. a toujours une unique solution
    Réponse

    C. doit être complété par l’équation x + y + z = 1 — Les trois équations sont liées : sans la condition de somme, la distribution nulle et toutes les solutions proportionnelles conviendraient.

  9. On sait que aₙ₊₁ = 0,35aₙ + 0,4, avec p_Bₙ(Aₙ₊₁) = 0,4 (Bₙ contraire de Aₙ). Alors p_Aₙ(Aₙ₊₁) vaut :

    • A. 0,05
    • B. 0,35
    • C. 0,6
    • D. 0,75
    Réponse

    D. 0,75 — aₙ₊₁ = αaₙ + 0,4(1 − aₙ) = (α − 0,4)aₙ + 0,4, donc α − 0,4 = 0,35 et α = 0,75.

  10. La démonstration exigible de « le coefficient (i ; j) de Pⁿ est la probabilité de passer de i à j en n transitions » repose sur :

    • A. πₙ = π₀Pⁿ avec π₀ qui vaut 1 en position i
    • B. la symétrie de la matrice P
    • C. l’égalité de chaque coefficient de Pⁿ avec (pᵢⱼ)ⁿ
    • D. le calcul de l’inverse de la matrice P
    Réponse

    A. πₙ = π₀Pⁿ avec π₀ qui vaut 1 en position i — Si la chaîne part de i, π₀ a un 1 en position i et des 0 ailleurs : π₀Pⁿ est la ligne i de Pⁿ, et c’est πₙ.

  11. Pour P = [0,1 0,9 ; 0,8 0,2], la suite (πₙ) :

    • A. ne converge pas, car a + b > 1
    • B. converge vers (8/17 ; 9/17) en oscillant
    • C. converge vers (9/17 ; 8/17) en oscillant
    • D. converge vers (0,5 ; 0,5)
    Réponse

    B. converge vers (8/17 ; 9/17) en oscillant — a = 0,9 et b = 0,8 : la raison vaut 1 − a − b = −0,7, entre −1 et 1. La limite est b/(a + b) = 0,8/1,7 = 8/17, atteinte en oscillant.

  12. Pour P = [0,4 0,6 0 ; 0 0,4 0,6 ; 0,6 0 0,4], la distribution invariante est :

    • A. inexistante, car P contient des zéros
    • B. (0,4 ; 0,4 ; 0,4)
    • C. (1/3 ; 1/3 ; 1/3)
    • D. (0,4 ; 0,6 ; 0)
    Réponse

    C. (1/3 ; 1/3 ; 1/3) — Les colonnes de P somment aussi à 1, donc (1/3 ; 1/3 ; 1/3)P = (1/3 ; 1/3 ; 1/3). (0,4 ; 0,4 ; 0,4) n’est pas une distribution : sa somme vaut 1,2.

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