Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Graphes probabilistes et chaînes de Markov
Modélisation de phénomènes aléatoires évolutifs par des graphes probabilistes et des matrices de transition (programme Maths expertes Tle)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités des arcs issus d'un même sommet vaut :
- A. 0
- B. 0,5
- C. 1
- D. n (nombre d'arcs)
Réponse
C. 1 — Par définition d'un graphe probabiliste, la somme des probabilités sortant de chaque sommet est 1.
Dans la matrice de transition, la ligne $i$ représente :
- A. Les probabilités d'arriver à l'état $E_i$
- B. Les probabilités de partir de l'état $E_i$
- C. La distribution initiale
- D. La distribution stationnaire
Réponse
B. Les probabilités de partir de l'état $E_i$ — La ligne $i$ de la matrice de transition donne les probabilités de passer de l'état $E_i$ vers chacun des autres états.
Une matrice de transition est dite stochastique si :
- A. Chaque entrée est dans $[0,1]$ et la somme de chaque colonne vaut 1
- B. Chaque entrée est dans $[0,1]$ et la somme de chaque ligne vaut 1
- C. Toutes les entrées sont égales
- D. La trace vaut 1
Réponse
B. Chaque entrée est dans $[0,1]$ et la somme de chaque ligne vaut 1 — La somme de chaque ligne vaut 1, avec toutes les entrées dans $[0,1]$.
La propriété de Markov signifie que :
- A. L'état futur dépend de tout le passé
- B. L'état futur dépend seulement de l'état présent
- C. L'état futur est toujours identique à l'état présent
- D. L'état futur ne dépend de rien
Réponse
B. L'état futur dépend seulement de l'état présent — La propriété de Markov (sans mémoire) stipule que l'état futur ne dépend que de l'état présent, pas de l'historique.
Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$. Quelle est la somme de la première ligne ?
- A. 0,5
- B. 0,8
- C. 1
- D. 1,5
Réponse
C. 1 — $0{,}5 + 0{,}5 = 1$.
Pour une chaîne de Markov à 2 états et $\pi^{(0)} = (1, 0)$, la formule donnant la distribution à l'instant $n$ est :
- A. $\pi^{(n)} = M^n \cdot \pi^{(0)}$
- B. $\pi^{(n)} = \pi^{(0)} \cdot M^n$
- C. $\pi^{(n)} = \pi^{(0)} + nM$
- D. $\pi^{(n)} = n \cdot \pi^{(0)} \cdot M$
Réponse
B. $\pi^{(n)} = \pi^{(0)} \cdot M^n$ — $\pi^{(n)} = \pi^{(0)} \cdot M^n$ (multiplication à droite par $M^n$).
Un graphe probabiliste a 3 états. Combien d'arcs partent au maximum de chaque sommet ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Autant qu'on veut
Réponse
C. 3 — Avec 3 états, chaque sommet peut avoir des arcs vers lui-même et vers les 2 autres états, soit au maximum 3 arcs sortants.
Si $M$ est une matrice de transition et $I$ la matrice identité, laquelle est aussi une matrice de transition ?
- A. $M + I$
- B. $M \cdot I$
- C. $2M$
- D. $-M$
Réponse
B. $M \cdot I$ — $M \cdot I = M$, qui est bien une matrice de transition. Les autres opérations peuvent faire sortir les entrées de $[0,1]$ ou changer les sommes de lignes.
On modélise la météo (Soleil/Pluie) par une chaîne de Markov. Cela suppose que la météo de demain dépend de :
- A. Toute la météo passée
- B. La météo d'aujourd'hui seulement
- C. La météo de la semaine
- D. Rien (aléatoire pur)
Réponse
B. La météo d'aujourd'hui seulement — L'hypothèse de Markov signifie que la météo de demain ne dépend que de celle d'aujourd'hui.
Soit $\pi^{(0)} = (0{,}6, 0{,}4)$ et $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $\pi^{(5)}$ ?
- A. $(1, 0)$
- B. $(0, 1)$
- C. $(0{,}6, 0{,}4)$
- D. $(0{,}5, 0{,}5)$
Réponse
C. $(0{,}6, 0{,}4)$ — $M$ est la matrice identité, donc $M^5 = I$ et $\pi^{(5)} = \pi^{(0)} \cdot I = \pi^{(0)} = (0{,}6, 0{,}4)$.
Dans un graphe probabiliste, s'il n'y a pas d'arc de $E_1$ vers $E_3$, alors :
- A. $p_{13} = 1$
- B. $p_{13} = 0{,}5$
- C. $p_{13} = 0$
- D. $p_{13}$ est quelconque
Réponse
C. $p_{13} = 0$ — L'absence d'arc signifie que la transition est impossible : la probabilité est 0.
Quelle affirmation est vraie pour une matrice de transition $M$ ?
- A. $\det(M) = 1$ toujours
- B. La somme de toutes les entrées est $n$ (taille de la matrice)
- C. La somme de chaque colonne vaut toujours 1
- D. La valeur propre 1 est toujours valeur propre de $M$
Réponse
D. La valeur propre 1 est toujours valeur propre de $M$ — Pour toute matrice stochastique, 1 est valeur propre (le vecteur $(1,1,\ldots,1)^T$ est vecteur propre pour la valeur propre 1 de la transposée).
Niveau moyen — 12 questions
Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $\pi^{(0)} = (1, 0)$. Que vaut $\pi^{(1)}_2$ ?
- A. $0{,}3$
- B. $0{,}4$
- C. $0{,}6$
- D. $0{,}7$
Réponse
B. $0{,}4$ — $\pi^{(1)} = (1,0) \cdot M$. La 2e composante est $1 \times 0{,}4 + 0 \times 0{,}7 = 0{,}4$.
Avec $\pi^{(0)} = (0{,}5, 0{,}5)$ et $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, que vaut $\pi^{(1)}_1$ ?
- A. $0{,}5$
- B. $0{,}6$
- C. $0{,}7$
- D. $0{,}8$
Réponse
B. $0{,}6$ — $\pi^{(1)}_1 = 0{,}5 \times 0{,}8 + 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$.
Pour trouver l'état stationnaire $\pi^* = (a,b)$ avec $a+b=1$ d'une chaîne à 2 états, on résout :
- A. $a = b$
- B. $\pi^* \cdot M = \pi^*$ et $a + b = 1$
- C. $M \cdot \pi^* = \pi^*$ et $a + b = 1$
- D. $\pi^* \cdot M = (1, 0)$
Réponse
B. $\pi^* \cdot M = \pi^*$ et $a + b = 1$ — L'état stationnaire vérifie $\pi^* \cdot M = \pi^*$ (vecteur ligne, multiplication à droite) et la condition de normalisation $a + b = 1$.
Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. L'état stationnaire $\pi^* = (a,b)$ vérifie $-0{,}3a + 0{,}4b = 0$. Avec $a + b = 1$, on trouve $a = $ ?
- A. $3/7$
- B. $4/7$
- C. $1/2$
- D. $3/4$
Réponse
B. $4/7$ — $-0{,}3a + 0{,}4(1-a) = 0 \Rightarrow 0{,}4 = 0{,}7a \Rightarrow a = 4/7$.
Quelle est l'entrée $(M^2)_{11}$ pour $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ ?
- A. $0{,}25$
- B. $0{,}5$
- C. $0{,}75$
- D. $1$
Réponse
B. $0{,}5$ — $(M^2)_{11} = 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$.
Si $\pi^{(0)} = (1, 0)$ et $\pi^{(1)} = (0{,}7, 0{,}3)$, que peut-on dire de $p_{11}$ ?
- A. $p_{11} = 0{,}3$
- B. $p_{11} = 0{,}7$
- C. $p_{11} = 1$
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
B. $p_{11} = 0{,}7$ — $\pi^{(1)}_1 = 1 \times p_{11} + 0 \times p_{21} = p_{11} = 0{,}7$.
Une chaîne de Markov à 2 états a $p_{12} = 0{,}2$ et $p_{21} = 0{,}5$. L'état stationnaire $\pi^*_1$ vaut :
- A. $5/7$
- B. $2/7$
- C. $1/2$
- D. $2/3$
Réponse
A. $5/7$ — Système : $p_{21}(1-a) = p_{12} \cdot a$ n'est pas la bonne formulation. On résout $0{,}8a + 0{,}5(1-a) = a$ : $0{,}5 = 0{,}2a + 0{,}5a = 0{,}7a$... Correction : $\pi^*_1 p_{12} = \pi^*_2 p_{21} \Rightarrow 0{,}2a = 0{,}5(1-a) \Rightarrow 0{,}2a = 0{,}5 - 0{,}5a \Rightarrow 0{,}7a = 0{,}5 \Rightarrow a = 5/7$.
Pour $n$ grand, si la chaîne est régulière, $\pi^{(n)}$ converge vers :
- A. $(1, 0, \ldots, 0)$
- B. $\pi^{(0)}$
- C. L'état stationnaire $\pi^*$
- D. Le vecteur nul
Réponse
C. L'état stationnaire $\pi^*$ — Pour une chaîne régulière, $\pi^{(n)} \to \pi^*$ quelle que soit la distribution initiale $\pi^{(0)}$.
Si on part de l'état stationnaire ($\pi^{(0)} = \pi^*$), alors $\pi^{(1)} = $ ?
- A. $(1, 0, \ldots, 0)$
- B. $\pi^* \cdot M = \pi^*$
- C. $2\pi^*$
- D. Cela dépend de $M$
Réponse
B. $\pi^* \cdot M = \pi^*$ — Par définition de l'état stationnaire : $\pi^* \cdot M = \pi^*$, donc $\pi^{(1)} = \pi^*$.
Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$. La probabilité de rester en état 1 après 1 étape depuis l'état 1 est :
- A. $0{,}1$
- B. $0{,}2$
- C. $0{,}8$
- D. $0{,}9$
Réponse
D. $0{,}9$ — $p_{11} = 0{,}9$, c'est l'entrée ligne 1, colonne 1 de $M$.
Une chaîne de Markov homogène est telle que les probabilités de transition :
- A. Changent à chaque étape
- B. Ne dépendent pas du temps
- C. Dépendent de l'historique complet
- D. Sont toutes égales
Réponse
B. Ne dépendent pas du temps — Homogène signifie que les probabilités de transition $p_{ij}$ sont constantes dans le temps.
Parmi les matrices suivantes, laquelle est stochastique ?
- A. $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}6 \\ 0{,}4 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}5 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix} -0{,}1 & 1{,}1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
Réponse
C. $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ — $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ : somme ligne 1 = 1, somme ligne 2 = 1, toutes entrées dans $[0,1]$. Les autres ont soit une entrée négative, soit une somme de ligne $\ne 1$.
Niveau difficile — 12 questions
Pour une chaîne régulière, le théorème de convergence assure que $\pi^*$ est :
- A. Unique et dépend de $\pi^{(0)}$
- B. Unique et indépendante de $\pi^{(0)}$
- C. Pas unique
- D. Toujours égal à $(1/n, \ldots, 1/n)$
Réponse
B. Unique et indépendante de $\pi^{(0)}$ — Pour une chaîne régulière, il existe un unique état stationnaire $\pi^*$ vers lequel $\pi^{(n)}$ converge, quelle que soit la distribution initiale.
Si $M^2 = M$ (matrice idempotente stochastique), alors pour tout $\pi^{(0)}$, $\pi^{(n)} = $ ?
- A. $\pi^{(0)} \cdot M$ pour tout $n \geq 1$
- B. $\pi^{(0)}$ pour tout $n$
- C. $\pi^{(0)} \cdot M^n$ sans simplification
- D. $0$ pour tout $n$
Réponse
A. $\pi^{(0)} \cdot M$ pour tout $n \geq 1$ — Si $M^2 = M$, alors $M^n = M$ pour tout $n \geq 1$. Donc $\pi^{(n)} = \pi^{(0)} \cdot M^n = \pi^{(0)} \cdot M$ pour tout $n \geq 1$.
Soit $\pi^* = (a, 1-a)$ l'état stationnaire de $M = \begin{pmatrix} 1-p & p \\ q & 1-q \end{pmatrix}$. La valeur de $a$ est :
- A. $\frac{p}{p+q}$
- B. $\frac{q}{p+q}$
- C. $\frac{p}{q}$
- D. $\frac{1}{2}$
Réponse
B. $\frac{q}{p+q}$ — On résout $\pi^* \cdot M = \pi^*$ : $(1-p)a + q(1-a) = a \Rightarrow q = (p+q)a \Rightarrow a = q/(p+q)$.
Que peut-on dire de la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ ?
- A. Elle est régulière car toutes les entrées sont positives
- B. L'état 1 est absorbant, la chaîne n'est pas irréductible
- C. Elle admet un unique état stationnaire $(0{,}5, 0{,}5)$
- D. $\pi^{(n)}$ converge vers $(1, 0)$ quelle que soit $\pi^{(0)}$
Réponse
B. L'état 1 est absorbant, la chaîne n'est pas irréductible — L'entrée $p_{12} = 0$ signifie qu'on ne peut jamais quitter l'état 1 : c'est un état absorbant. La chaîne n'est pas irréductible.
Pour $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, quelle valeur propre de $M$ est associée à l'état stationnaire ?
- A. $0$
- B. $0{,}7$
- C. $1$
- D. $0{,}3$
Réponse
C. $1$ — L'état stationnaire $\pi^*$ vérifie $\pi^* M = \pi^*$, ce qui signifie que $\pi^{*T}$ est vecteur propre de $M^T$ pour la valeur propre $1$. La valeur propre 1 est toujours valeur propre d'une matrice stochastique.
Soit une chaîne à 2 états avec $p_{12} = 0{,}3$ et $p_{21} = 0{,}4$. L'état stationnaire est $\pi^* = (\pi_1, \pi_2)$. Que vaut $\pi_1 p_{12}$ par rapport à $\pi_2 p_{21}$ ?
- A. $\pi_1 p_{12} \gt \pi_2 p_{21}$
- B. $\pi_1 p_{12} \lt \pi_2 p_{21}$
- C. $\pi_1 p_{12} = \pi_2 p_{21}$
- D. Cela dépend de $\pi^{(0)}$
Réponse
C. $\pi_1 p_{12} = \pi_2 p_{21}$ — À l'état stationnaire, les flux sont équilibrés : le flux de 1 vers 2 ($\pi_1 p_{12}$) est égal au flux de 2 vers 1 ($\pi_2 p_{21}$).
Une chaîne de Markov à 3 états est irréductible si et seulement si :
- A. Tous les $p_{ij} \gt 0$
- B. Le graphe associé est fortement connexe
- C. Toutes les diagonales sont non nulles
- D. $M$ est symétrique
Réponse
B. Le graphe associé est fortement connexe — Irréductible signifie qu'on peut aller de tout état à tout état en un nombre fini d'étapes, ce qui correspond à la connexité forte du graphe orienté.
Pour $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, si $\pi^{(0)} = (1,0)$, alors $\pi^{(2)} = $ ?
- A. $(0, 1)$
- B. $(1, 0)$
- C. $(0{,}5, 0{,}5)$
- D. $(0, 0)$
Réponse
B. $(1, 0)$ — $\pi^{(1)} = (0, 1)$, $\pi^{(2)} = (1, 0)$. La chaîne oscille entre $(1,0)$ et $(0,1)$ et n'est pas apériodique (période 2) : elle ne converge pas.
Quelle condition est nécessaire et suffisante pour que $\pi^* = (1/n, \ldots, 1/n)$ soit l'état stationnaire d'une chaîne à $n$ états ?
- A. $M$ est symétrique
- B. La somme de chaque colonne de $M$ vaut 1 (matrice doublement stochastique)
- C. Tous les $p_{ij} = 1/n$
- D. $M = I$
Réponse
B. La somme de chaque colonne de $M$ vaut 1 (matrice doublement stochastique) — Si $M$ est doublement stochastique (sommes de lignes et de colonnes = 1), alors $(1/n, \ldots, 1/n)$ est état stationnaire. La réciproque est vraie aussi pour les chaînes irréductibles.
Si la chaîne est à l'état stationnaire à l'instant 0, alors la distribution à tout instant $n$ est :
- A. Différente selon $n$
- B. Toujours égale à $\pi^*$
- C. Égale à $n \cdot \pi^*$
- D. $(1,0,\ldots,0)$
Réponse
B. Toujours égale à $\pi^*$ — Par définition, $\pi^* \cdot M = \pi^*$, donc $\pi^* \cdot M^n = \pi^*$ par récurrence : la distribution reste $\pi^*$ pour tout $n$.
Une chaîne est dite absorbante si elle possède au moins un état absorbant (on ne peut en sortir). Pour une telle chaîne, que se passe-t-il à long terme ?
- A. $\pi^{(n)} \to (1/n, \ldots, 1/n)$
- B. $\pi^{(n)}$ n'est concentrée que sur les états absorbants
- C. $\pi^{(n)}$ converge vers $\pi^{(0)}$
- D. $\pi^{(n)}$ oscille
Réponse
B. $\pi^{(n)}$ n'est concentrée que sur les états absorbants — Dans une chaîne absorbante, le système finit par être absorbé dans un des états absorbants. À long terme, toute la probabilité est concentrée sur les états absorbants.
Deux matrices de transition $M_1$ et $M_2$ correspondent à la même chaîne de Markov si et seulement si :
- A. $M_1 = M_2$
- B. $M_1^2 = M_2^2$
- C. $M_1$ et $M_2$ ont le même état stationnaire
- D. $M_1 = M_2^T$
Réponse
A. $M_1 = M_2$ — La chaîne de Markov est entièrement déterminée par sa matrice de transition. Deux chaînes de Markov sont identiques si et seulement si leurs matrices de transition sont égales.
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