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Fiche de révision : nombres premiers

Rappels du collège (nombres premiers jusqu’à 100, décomposition, fractions irréductibles), diviseur premier et test de primalité, crible d’Ératosthène, infinité des nombres premiers démontrée, existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers, lemme d’Euclide, nombre et somme des diviseurs, PGCD et PPCM par les décompositions, petit théorème de Fermat.

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Nombres premiers

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Arithmétique)

La démarche pour une question sur les nombres premiers

1. J’identifie la question : primalité, décomposition, diviseurs, PGCD ou PPCM, reste d’une grande puissance, démonstration (infinité, lemme d’Euclide).

2. Je décompose en facteurs premiers, ou j’encadre $n$ entre deux carrés pour savoir jusqu’où tester.

3. Je cite la propriété avec ses hypothèses : test jusqu’à $\sqrt{n}$ , unicité de la décomposition, petit théorème de Fermat avec « $p$ premier ne divisant pas $a$ ».

4. Je contrôle : je remultiplie les facteurs, je vérifie $pgcd \times ppcm = a b$ , je ramène un reste entre $0$ et $p - 1$ .

Le réflexe — pas de « premier » sans avoir testé tous les nombres premiers jusqu’à √n, pas de « d’après Fermat » sans « p premier ne divisant pas a ».

Cas 1 · Décomposer en facteurs premiers

Réflexe — diviser par 2, 3, 5, 7… dans l’ordre, garder le même nombre premier tant qu’il divise, contrôler en remultipliant.

Exemple. Questions types : « Décomposer $n$ en produit de facteurs premiers », « Rendre la fraction irréductible ». Exemple : $1 386$ .

$1 386 = 2 \times 693$ ; $6 + 9 + 3 = 18$ , donc $693 = 3 \times 231 = 3^{2} \times 77$ ; $77 = 7 \times 11$ .

$1 386 = 2 \times 3^{2} \times 7 \times 11$ .

Contrôle : $2 \times 9 \times 77 = 1 386$ .

Attention — un 9 ou un 77 dans le produit final : ce ne sont pas des nombres premiers.

Cas 2 · Démontrer qu’un entier est premier

Réflexe — encadrer n entre deux carrés consécutifs, tester les seuls nombres premiers jusqu’à √n, conclure par le critère.

Exemple. Questions types : « Montrer que $n$ est premier », « Déterminer le plus petit diviseur premier de $n$ ». Exemple : $389$ .

$19^{2} = 361 ⩽ 389 < 400 = 20^{2}$ : on teste $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ .

$389$ est impair, $3 + 8 + 9 = 20$ , ni $0$ ni $5$ ; $7 \times 55 = 385$ , $11 \times 35 = 385$ , $13 \times 29 = 377$ , $17 \times 22 = 374$ , $19 \times 20 = 380$ : restes $4$ , $4$ , $12$ , $15$ , $9$ .

Aucun reste nul : $389$ est premier.

Attention — s’arrêter avant √n peut faire déclarer premier un entier composé.

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Cas 3 · Rédiger l’infinité des nombres premiers

Réflexe — hypothèse « liste finie », N = produit + 1, diviseur premier p de N, « p divise 1 », contradiction.

Exemple. Question type : « Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini ». Illustration avec la liste ${3; 5}$ .

Si $p_{1}, \dots, p_{r}$ étaient tous les nombres premiers, $N = p_{1} \dots p_{r} + 1 ⩾ 3$ aurait un diviseur premier $p = p_{i}$ .

$p$ divise $N$ et $p_{1} \dots p_{r}$ , donc $1$ : impossible.

Avec ${3; 5}$ : $N = 16 = 2^{4}$ , et $2$ est hors de la liste.

Attention — N n’est pas forcément premier : on dit seulement qu’il a un diviseur premier.

Cas 4 · Compter et sommer les diviseurs

Réflexe — décomposer, multiplier les exposants augmentés de 1, sommer avec une parenthèse par facteur premier.

Exemple. Questions types : « Combien $n$ a-t-il de diviseurs positifs ? », « Calculer leur somme ». Exemple : $600$ .

$600 = 2^{3} \times 3 \times 5^{2}$ .

Nombre de diviseurs : $(3 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 24$ .

Somme : $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3) (1 + 5 + 25)$ $= 15 \times 4 \times 31 = 1 860$ .

Attention — (a + 1)(b + 1) et non ab : l’exposant 0 compte.

Cas 5 · PGCD et PPCM par décomposition

Réflexe — même liste de nombres premiers, exposants minimaux pour le PGCD, maximaux pour le PPCM, contrôle par le produit.

Exemple. Questions types : « Déterminer $pgcd (a; b)$ et $ppcm (a; b)$ ». Exemple : $252$ et $330$ .

$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$ et $330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$ .

$pgcd = 2 \times 3 = 6$ ; $ppcm = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 11$ , soit $13 860$ .

Contrôle : $6 \times 13 860 = 83 160 = 252 \times 330$ .

Attention — le PGCD ne garde que les facteurs communs ; le PPCM les garde tous.

Cas 6 · Reste d’une grande puissance (Fermat)

Réflexe — vérifier « p premier ne divisant pas a », diviser l’exposant par p − 1, garder le reste.

Exemple. Questions types : « Déterminer le reste de $a^{m}$ modulo $p$ », « Montrer que $p$ divise $n^{p} - n$ ». Exemple : $8^{123}$ modulo $11$ .

$11$ est premier et ne divise pas $8$ : $8^{10} \equiv 1 [11]$ (Fermat).

$123 = 10 \times 12 + 3$ , donc $8^{123} \equiv 8^{3} = 512 [11]$ .

$512 = 46 \times 11 + 6$ : le reste est $6$ .

Attention — module non premier : le théorème ne s’applique pas.

Les pièges

1 n’est pas premier, 2 l’est, et un entier impair n’est pas forcément premier.
Tester jusqu’à √n : ni moins (on rate un diviseur), ni plus (inutile).
N = p₁ × … × pᵣ + 1 n’est pas toujours premier : avec {3 ; 5}, N = 16 = 2⁴.
Nombre de diviseurs : produit des exposants augmentés de 1, pas des exposants.
Somme des diviseurs : toutes les puissances de p dans chaque parenthèse, pas seulement 1 et p^a.
Fermat : module premier, a non multiple de p, exposant divisé par p − 1.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode sur les nombres premiers donne la démarche de rédaction et six méthodes avec un exemple traité : décomposer 1 386, prouver que 389 est premier, rédiger l’infinité des nombres premiers, compter et sommer les diviseurs de 600, PGCD et PPCM de 252 et 330, reste de 8 puissance 123 modulo 11.

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