Nombres premiers

1. a)${20}^2=400⩽409<441={21}^2$ : on teste les nombres premiers jusqu’à $20$, soit $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. $409$ est impair, $4+0+9=13$ n’est pas divisible par $3$, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; $7\times 58=406$, $11\times 37=407$, $13\times 31=403$, $17\times 24=408$, $19\times 21=399$ : aucun reste nul. Un entier composé ayant un diviseur premier $p$ tel que $p^2⩽n$, $409$ est premier. (1)
2. b)$2970=2\times 1485$ ; $1+4+8+5=18$, donc $1485=3\times 495=3^2\times 165=3^3\times 55$, et $55=5\times 11$. Donc $2970=2\times 3^3\times 5\times 11$. (1)
3. c)On multiplie les exposants augmentés de $1$ : $(1+1)(3+1)(1+1)(1+1)$ $=2\times 4\times 2\times 2=32$ diviseurs positifs. (1)
4. d)$\sigma (2970)=(1+2)(1+3+9+27)$ $\times (1+5)(1+11)$ $=3\times 40\times 6\times 12=8640$. (1)

Repère — Encadrer entre deux carrés dit où s’arrêter ; la décomposition donne ensuite d’un coup le nombre et la somme des diviseurs.

1. a)$5148=2^2\times 1287$ $=2^2\times 3^2\times 143$ $=2^2\times 3^2\times 11\times 13$ ; $3432=2^3\times 429$ $=2^3\times 3\times 143$ $=2^3\times 3\times 11\times 13$. (1)
2. b)Exposants minimaux des facteurs communs : $\text{pgcd}=2^2\times 3\times 11\times 13$, soit $1716$. (1)
3. c)Exposants maximaux : $\text{ppcm}=2^3\times 3^2\times 11\times 13$, soit $10296$. Vérification : $1716\times 10296=17667936$ et $5148\times 3432=17667936$ : la relation $\text{pgcd}\times \text{ppcm}=ab$ est vérifiée. (1)
4. d)$3432=2\times 1716$ et $5148=3\times 1716$, donc ${\displaystyle \frac{3432}{5148}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, irréductible car $2$ et $3$ sont premiers distincts. (1)

Repère — Même liste de facteurs, minimum pour le PGCD, maximum pour le PPCM, et le produit pour contrôler.

1. a)$1908=2^2\times 477$ et $4+7+7=18$, donc $477=3^2\times 53$, avec $53$ premier : $1908=2^2\times 3^2\times 53$. Un carré parfait a tous ses exposants pairs : il faut rendre pair l’exposant de $53$, donc $k=53$, et $1908\times 53=(2\times 3\times 53{)}^2$ $={318}^2=101124$. (1)
2. b)Si $n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$, son nombre de diviseurs est $(a_1+1)\cdots (a_r+1)=3$. Chaque facteur est supérieur ou égal à $2$ et $3$ est premier : il n’y a qu’un facteur, $r=1$ et $a_1+1=3$. Donc $n=p^2$ avec $p$ premier (et réciproquement $p^2$ a les trois diviseurs $1$, $p$, $p^2$). (1)
3. c)On prend les carrés des nombres premiers inférieurs à $200$ : $4$, $9$, $25$, $49$, $121$ et $169$ ; le suivant, ${17}^2=289$, dépasse $200$. (1)
4. d)Il faut additionner toutes les puissances de chaque facteur premier, pas seulement $1$ et la plus grande : $\sigma (N)=(1+2+4+8+16+32)$ $\times (1+11+121)$ $=63\times 133=8379$. La formule de l’élève donne $33\times 122=4026$, valeur trop petite. (1)

Repère — Tout se lit sur les exposants : parité pour les carrés, produit des exposants augmentés de 1 pour le nombre de diviseurs.

1. a)Par l’absurde : si $p_1,\dots ,p_r$ étaient tous les nombres premiers, l’entier $N=p_1\times \dots \times p_r+1⩾3$ admettrait un diviseur premier $p$, nécessairement égal à l’un des $p_i$. Alors $p$ diviserait le produit $p_1\times \dots \times p_r$ et $N$, donc leur différence $1$, ce qui est impossible car $p⩾2$. L’ensemble des nombres premiers est infini. (1)
2. b)${38}^2=1444⩽1447<1521={39}^2$ : on teste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$. $1447$ est impair, $1+4+4+7=16$, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; $7\times 206=1442$, $11\times 131=1441$, $13\times 111=1443$, $17\times 85=1445$, $19\times 76=1444$, $23\times 62=1426$, $29\times 49=1421$, $31\times 46=1426$, $37\times 39=1443$ : aucun reste nul, donc $1447$ est premier. (1)
3. c)La division euclidienne de $n$ par $3$ donne $n=3q+r$ avec $r\in \{0;1;2\}$. Si $r=0$, $3$ divise $n$ ; si $r=1$, $3$ divise $n+2$ ; si $r=2$, $3$ divise $n+4$. L’un des trois entiers est donc divisible par $3$ ; comme il est premier, il vaut $3$. Or $n+2=3$ donne $n=1$, non premier, et $n+4=3$ donne $n=-1$, impossible. Donc $n=3$, et le triplet $(3;5;7)$ convient. (1)
4. d)Si $2⩽k⩽n$, $k$ divise $n!=1\times 2\times \dots \times n$ ; s’il divisait $n!+1$, il diviserait la différence $1$, impossible car $k⩾2$. Or $n!+1⩾3$ admet un diviseur premier $p$ ; ce $p$ n’est aucun des entiers de $2$ à $n$, donc $p>n$. Comme $n$ est quelconque, il existe des nombres premiers aussi grands que l’on veut : c’est une autre preuve de l’infinité. (1)

Repère — Un produit plus 1 n’est divisible par aucun de ses facteurs : c’est le cœur de la démonstration d’Euclide et de sa variante avec n!.

1. a)$11$ est premier et ne divise pas $2$ : d’après le petit théorème de Fermat, $2^{10}\equiv 1[11]$. Or $2027=10\times 202+7$, donc $2^{2027}=(2^{10}{)}^{202}\times 2^7$ $\equiv 2^7=128[11]$, et $128=11\times 11+7$. Le reste est $7$. (1)
2. b)Modulo $5$ : $5$ est premier, donc $n^5\equiv n[5]$ (seconde forme). Modulo $3$ : $n^3\equiv n[3]$, donc $n^5=n^3\times n^2\equiv n\times n^2=n^3\equiv n[3]$. Modulo $2$ : $n^2\equiv n[2]$, donc $n^5=(n^2{)}^2\times n\equiv n^3$ $=n^2\times n\equiv n^2\equiv n[2]$. Ainsi $2$, $3$ et $5$ divisent $n^5-n$. Si $n^5-n\ne 0$, ces trois nombres premiers distincts figurent dans sa décomposition, donc $2\times 3\times 5=30$ le divise ; si $n^5-n=0$, c’est évident. (1)
3. c)$3\times 341=1023$ et $1023+1=1024=2^{10}$. Donc $2^{10}\equiv 1[341]$, et $2^{340}=(2^{10}{)}^{34}\equiv 1^{34}=1[341]$. (1)
4. d)$341=11\times 31$ n’est pas premier. Pourtant $2^{341-1}\equiv 1[341]$ : un entier composé peut vérifier la conclusion du petit théorème de Fermat. La réciproque est donc fausse : le test $2^{n-1}\equiv 1[n]$ ne suffit pas à prouver que $n$ est premier. (1)

Repère — Fermat sert à réduire un exposant ; il ne prouve jamais qu’un entier est premier, il peut seulement prouver qu’un entier ne l’est pas.