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Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss
Coefficients de Bézout, identité de Bézout, théorème de Gauss et applications : programme de Maths expertes Terminale
À propos de cette page
Ce cours de maths expertes (option tle) en terminale sur « Arithmétique — théorèmes de Bézout et de Gauss » suit le programme officiel de maths expertes (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : PGCD et algorithme d'Euclide, Théorème de Bézout et identité de Bézout, Algorithme de remontée : calculer les coefficients de Bézout, Entiers premiers entre eux. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths expertes (option tle).
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Rappels : PGCD et algorithme d'Euclide
Avant d'énoncer le théorème de Bézout, rappelons les notions essentielles qui le précèdent.
Définition. Soient $a$ et $b$ deux entiers non tous les deux nuls. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de $a$ et $b$, noté $\pgcd(a,b)$ ou $a \wedge b$, est le plus grand entier positif qui divise à la fois $a$ et $b$.
On détermine le PGCD grâce à l'algorithme d'Euclide : on effectue des divisions euclidiennes successives jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple. Calculons $\pgcd(252, 180)$ :
$252 = 1 \times 180 + 72$
$180 = 2 \times 72 + 36$
$72 = 2 \times 36 + 0$
Donc $\pgcd(252, 180) = 36$.
$252 = 1 \times 180 + 72$
$180 = 2 \times 72 + 36$
$72 = 2 \times 36 + 0$
Donc $\pgcd(252, 180) = 36$.
Schéma des étapes de l'algorithme d'Euclide pour pgcd(252, 180).
Propriété clé. Si $a = bq + r$ (division euclidienne), alors $\pgcd(a,b) = \pgcd(b,r)$. C'est ce qui justifie l'algorithme d'Euclide.
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Théorème de Bézout et identité de Bézout
Théorème de Bézout. Soient $a$ et $b$ deux entiers, $d = \pgcd(a,b)$. Il existe des entiers $u$ et $v$ (appelés coefficients de Bézout) tels que :
$$au + bv = d$$
Cette relation est appelée identité de Bézout (ou relation de Bézout).
$$au + bv = d$$
Cette relation est appelée identité de Bézout (ou relation de Bézout).
Autrement dit, le PGCD de $a$ et $b$ est une combinaison linéaire entière de $a$ et $b$. Les coefficients $u$ et $v$ ne sont en général pas uniques.
Cas particulier important. Si $\pgcd(a,b) = 1$ (c'est-à-dire si $a$ et $b$ sont premiers entre eux), alors il existe des entiers $u$ et $v$ tels que :
$$au + bv = 1$$
La réciproque est vraie : si $au + bv = 1$ pour certains entiers $u$, $v$, alors $\pgcd(a,b) = 1$.
$$au + bv = 1$$
La réciproque est vraie : si $au + bv = 1$ pour certains entiers $u$, $v$, alors $\pgcd(a,b) = 1$.
Exemple. On vérifie que $\pgcd(7, 3) = 1$. On a $7 \times 1 + 3 \times (-2) = 7 - 6 = 1$. Donc $u = 1$, $v = -2$ sont des coefficients de Bézout pour 7 et 3.
Attention ! Une relation $au + bv = k$ ne garantit PAS que $k$ est le PGCD. Elle garantit seulement que $\pgcd(a,b) \mid k$. On ne peut conclure que $k = \pgcd(a,b)$ que si $k$ est positif et est le plus petit entier strictement positif de la forme $au+bv$.
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Algorithme de remontée : calculer les coefficients de Bézout
Pour trouver les coefficients $u$ et $v$, on remonte les étapes de l'algorithme d'Euclide en exprimant chaque reste comme combinaison linéaire de $a$ et $b$.
Méthode (remontée d'Euclide).
1. Appliquer l'algorithme d'Euclide et noter toutes les égalités.
2. Partir de l'avant-dernière égalité et exprimer le PGCD en fonction des deux restes précédents.
3. Remonter étape par étape en substituant chaque reste par son expression.
1. Appliquer l'algorithme d'Euclide et noter toutes les égalités.
2. Partir de l'avant-dernière égalité et exprimer le PGCD en fonction des deux restes précédents.
3. Remonter étape par étape en substituant chaque reste par son expression.
Exemple détaillé. Trouvons des coefficients de Bézout pour $a = 252$, $b = 180$ (donc $\pgcd = 36$).
Étapes d'Euclide :
$(1)$ : $252 = 1 \times 180 + 72$ $\Leftrightarrow$ $72 = 252 - 1 \times 180$
$(2)$ : $180 = 2 \times 72 + 36$ $\Leftrightarrow$ $36 = 180 - 2 \times 72$
Remontée :
$36 = 180 - 2 \times 72$
$= 180 - 2 \times (252 - 1 \times 180)$ (en substituant $(1)$)
$= 180 - 2 \times 252 + 2 \times 180$
$= 3 \times 180 - 2 \times 252$
$= 252 \times (-2) + 180 \times 3$
Donc $u = -2$, $v = 3$ : on vérifie $252 \times (-2) + 180 \times 3 = -504 + 540 = 36$. ✓
Étapes d'Euclide :
$(1)$ : $252 = 1 \times 180 + 72$ $\Leftrightarrow$ $72 = 252 - 1 \times 180$
$(2)$ : $180 = 2 \times 72 + 36$ $\Leftrightarrow$ $36 = 180 - 2 \times 72$
Remontée :
$36 = 180 - 2 \times 72$
$= 180 - 2 \times (252 - 1 \times 180)$ (en substituant $(1)$)
$= 180 - 2 \times 252 + 2 \times 180$
$= 3 \times 180 - 2 \times 252$
$= 252 \times (-2) + 180 \times 3$
Donc $u = -2$, $v = 3$ : on vérifie $252 \times (-2) + 180 \times 3 = -504 + 540 = 36$. ✓
Schéma de la remontée d'Euclide : on exprime le PGCD comme combinaison linéaire de 252 et 180.
Vérification rapide. Une fois les coefficients trouvés, substituez : si $au + bv$ donne bien le PGCD, c'est correct. C'est un réflexe indispensable en examen.
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Entiers premiers entre eux
Définition. Deux entiers $a$ et $b$ sont dits premiers entre eux (ou copremiers) si $\pgcd(a,b) = 1$.
Cette notion est centrale car elle conditionne l'application du théorème de Gauss. Voici les propriétés fondamentales :
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Bézout réciproque | $a$ et $b$ premiers entre eux $\Leftrightarrow$ $\exists\, u,v \in \mathbb{Z},\; au+bv=1$ |
| Divisibilité du produit | Si $a \mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1$, alors $a \mid c$ (th. de Gauss) |
| Simplification | Si $\pgcd(a,b)=d$, alors $\pgcd\!\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1$ |
| Propriété de base | $\pgcd(a,1) = 1$ pour tout entier $a$ |
Exemple. $\pgcd(15, 28) = 1$ car $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$ n'ont aucun facteur premier commun. On peut vérifier : $15 \times 2 + 28 \times (-1) = 30 - 28 = 2$... Non, cherchons : $15 \times (-1) + 28 \times 1 = 13$, $15 \times 2 + 28 \times (-1) = 2$. On trouve $15 \times (-13) + 28 \times 7 = -195 + 196 = 1$. Donc $u=-13$, $v=7$, ce qui confirme $\pgcd(15,28)=1$.
Attention ! « Premiers entre eux » ne signifie PAS que $a$ ou $b$ est un nombre premier. Par exemple, $8$ et $15$ sont premiers entre eux ($\pgcd=1$) mais ni 8 ni 15 n'est premier.
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Théorème de Gauss
Théorème de Gauss. Soient $a$, $b$, $c$ des entiers. Si $a \mid bc$ et $\pgcd(a,b) = 1$, alors $a \mid c$.
En langage courant : si $a$ divise un produit $bc$ et si $a$ est premier avec le premier facteur $b$, alors $a$ divise nécessairement le second facteur $c$.
Preuve du théorème de Gauss (à connaître).
Puisque $\pgcd(a,b)=1$, par Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + bv = 1$.
Multiplions par $c$ : $acu + bcv = c$.
Or $a \mid ac$ (évident) et $a \mid bc$ (hypothèse), donc $a \mid acu + bcv$, c'est-à-dire $a \mid c$. $\square$
Puisque $\pgcd(a,b)=1$, par Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + bv = 1$.
Multiplions par $c$ : $acu + bcv = c$.
Or $a \mid ac$ (évident) et $a \mid bc$ (hypothèse), donc $a \mid acu + bcv$, c'est-à-dire $a \mid c$. $\square$
Exemples d'application.
(a) $7 \mid 3n$ et $\pgcd(7,3)=1$ $\Rightarrow$ $7 \mid n$.
(b) $6 \mid 4n$ et $\pgcd(6,4)=2 \neq 1$ : on ne peut pas conclure directement que $6 \mid n$ (en fait $6 \mid 4 \times 3 = 12$ mais $6 \nmid 3$). La condition de coprimalité est indispensable.
(c) Si $p$ est un nombre premier et $p \mid ab$, alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ (corollaire, car $\pgcd(p,a)$ vaut 1 ou $p$).
(a) $7 \mid 3n$ et $\pgcd(7,3)=1$ $\Rightarrow$ $7 \mid n$.
(b) $6 \mid 4n$ et $\pgcd(6,4)=2 \neq 1$ : on ne peut pas conclure directement que $6 \mid n$ (en fait $6 \mid 4 \times 3 = 12$ mais $6 \nmid 3$). La condition de coprimalité est indispensable.
(c) Si $p$ est un nombre premier et $p \mid ab$, alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ (corollaire, car $\pgcd(p,a)$ vaut 1 ou $p$).
Piège classique. On ne peut PAS appliquer le théorème de Gauss si $\pgcd(a,b) \neq 1$. Vérifier la coprimalité est une étape obligatoire. Si $\pgcd(a,b)=d\gt 1$, on peut parfois se ramener à des entiers premiers entre eux en divisant par $d$.
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Applications : équations diophantiennes
Une équation diophantienne est une équation de la forme $ax + by = c$ où $a$, $b$, $c$ sont des entiers donnés et on cherche les solutions $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$.
Théorème (existence des solutions). L'équation $ax + by = c$ admet des solutions entières si et seulement si $\pgcd(a,b) \mid c$.
Théorème (solutions générales). Si $(x_0, y_0)$ est une solution particulière de $ax + by = c$, et si $d = \pgcd(a,b)$, $a = da'$, $b = db'$ (avec $\pgcd(a',b')=1$), alors toutes les solutions entières sont :
$$x = x_0 + kb' \quad \text{et} \quad y = y_0 - ka' \quad (k \in \mathbb{Z})$$
$$x = x_0 + kb' \quad \text{et} \quad y = y_0 - ka' \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Exemple complet. Résoudre $14x + 35y = 7$ dans $\mathbb{Z}$.
Étape 1 : $\pgcd(14,35)$. $35 = 2 \times 14 + 7$, $14 = 2 \times 7 + 0$ donc $d = 7$.
Étape 2 : $7 \mid 7$ ✓, donc des solutions existent.
Étape 3 : Simplifions par 7 : $2x + 5y = 1$.
Étape 4 : Solution particulière : $2 \times 3 + 5 \times (-1) = 6 - 5 = 1$ donc $(x_0, y_0) = (3, -1)$.
Étape 5 : Solutions générales ($a'=2$, $b'=5$) : $x = 3 + 5k$, $y = -1 - 2k$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.
Étape 1 : $\pgcd(14,35)$. $35 = 2 \times 14 + 7$, $14 = 2 \times 7 + 0$ donc $d = 7$.
Étape 2 : $7 \mid 7$ ✓, donc des solutions existent.
Étape 3 : Simplifions par 7 : $2x + 5y = 1$.
Étape 4 : Solution particulière : $2 \times 3 + 5 \times (-1) = 6 - 5 = 1$ donc $(x_0, y_0) = (3, -1)$.
Étape 5 : Solutions générales ($a'=2$, $b'=5$) : $x = 3 + 5k$, $y = -1 - 2k$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.
Méthode synthétique.
1. Vérifier que $\pgcd(a,b) \mid c$ (sinon pas de solution).
2. Diviser tout par $d = \pgcd(a,b)$.
3. Trouver une solution particulière (remontée d'Euclide ou observation).
4. Écrire la solution générale avec le paramètre $k \in \mathbb{Z}$.
1. Vérifier que $\pgcd(a,b) \mid c$ (sinon pas de solution).
2. Diviser tout par $d = \pgcd(a,b)$.
3. Trouver une solution particulière (remontée d'Euclide ou observation).
4. Écrire la solution générale avec le paramètre $k \in \mathbb{Z}$.
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Résumé des méthodes et pièges courants
Voici une synthèse des résultats et des erreurs à éviter :
| Résultat | Énoncé compact | Condition |
|---|---|---|
| Identité de Bézout | $au + bv = \pgcd(a,b)$ | $a,b$ non tous nuls |
| Coprimalité via Bézout | $au+bv=1 \Leftrightarrow \pgcd(a,b)=1$ | $u,v \in \mathbb{Z}$ |
| Théorème de Gauss | $a \mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1 \Rightarrow a \mid c$ | coprimalité indispensable |
| Équation $ax+by=c$ | Solutions $\Leftrightarrow \pgcd(a,b) \mid c$ | solutions en $\mathbb{Z}$ |
Pièges les plus fréquents.
• Oublier de vérifier $\pgcd(a,b) \mid c$ avant de chercher des solutions à $ax+by=c$.
• Appliquer Gauss sans vérifier la coprimalité.
• Confondre $\pgcd(a,b)=1$ (coprimes) et « $a$ ou $b$ est premier ».
• Signe dans la solution générale : $y = y_0 \mathbf{-} ka'$ (moins, pas plus).
• Ne pas vérifier la solution particulière trouvée.
• Oublier de vérifier $\pgcd(a,b) \mid c$ avant de chercher des solutions à $ax+by=c$.
• Appliquer Gauss sans vérifier la coprimalité.
• Confondre $\pgcd(a,b)=1$ (coprimes) et « $a$ ou $b$ est premier ».
• Signe dans la solution générale : $y = y_0 \mathbf{-} ka'$ (moins, pas plus).
• Ne pas vérifier la solution particulière trouvée.
Flashcards à retourner : définitions et théorèmes essentiels du chapitre.
En bref
- Bézout : $\pgcd(a,b)=d \Rightarrow \exists u,v \in \mathbb{Z},\; au+bv=d$. Coefficients trouvés par remontée d'Euclide.
- Coprimalité : $\pgcd(a,b)=1 \Leftrightarrow \exists u,v,\; au+bv=1$.
- Gauss : $a\mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1 \Rightarrow a\mid c$. La coprimalité est indispensable.
- Équation $ax+by=c$ : solutions entières $\Leftrightarrow \pgcd(a,b)\mid c$ ; solutions générales paramétrées par $k\in\mathbb{Z}$.
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