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Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Arithmétique — nombres premiers et décomposition

Divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et applications (programme Maths expertes Terminale)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Arithmétique — nombres premiers et décomposition » en terminale teste tes connaissances en maths expertes (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Divisibilité dans ℤ, Nombres premiers : définition et propriétés fondamentales, Infinité des nombres premiers, Crible d'Ératosthène. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths expertes (option tle) en terminale.

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Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Lequel de ces entiers est premier ?

    • A. 9
    • B. 15
    • C. 17
    • D. 21
    Réponse

    C. 17 — $17$ n'est divisible que par $1$ et $17$.

  2. $1$ est-il un nombre premier ?

    • A. Oui, il est divisible par 1 uniquement
    • B. Non, il a exactement un diviseur positif
    • C. Oui, car $1 \times 1 = 1$
    • D. Ça dépend du contexte
    Réponse

    B. Non, il a exactement un diviseur positif — Par définition, un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs. $1$ n'en a qu'un.

  3. Le seul nombre premier pair est :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $4$
    • D. Il n'y en a pas
    Réponse

    B. $2$ — $2$ est premier. Tout autre entier pair est divisible par $2$ (et différent de $2$), donc composé.

  4. $7 \mid 49$ ?

    • A. Vrai
    • B. Faux
    Réponse

    A. Vrai — $49 = 7 \times 7$, donc $7 \mid 49$.

  5. La décomposition de $30$ en facteurs premiers est :

    • A. $2 \times 15$
    • B. $5 \times 6$
    • C. $2 \times 3 \times 5$
    • D. $3 \times 10$
    Réponse

    C. $2 \times 3 \times 5$ — La décomposition doit être en facteurs premiers : $30 = 2 \times 3 \times 5$.

  6. Combien $60$ a-t-il de diviseurs positifs ?

    • A. 6
    • B. 10
    • C. 12
    • D. 8
    Réponse

    C. 12 — $60=2^2\times3\times5$ ; nombre de diviseurs $=(2+1)(1+1)(1+1)=12$.

  7. $\sqrt{36}$ est-il entier ?

    • A. Oui, $6$
    • B. Oui, $18$
    • C. Non
    • D. Oui, $9$
    Réponse

    A. Oui, $6$ — $36=2^2\times3^2=(6)^2$, donc $\sqrt{36}=6$.

  8. Le $\mathrm{PGCD}(6,9)$ est :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $3$
    • D. $18$
    Réponse

    C. $3$ — $6=2\times3$, $9=3^2$. PGCD $=3$.

  9. Pour tester si $n$ est premier, il suffit de tester les diviseurs jusqu'à :

    • A. $n/2$
    • B. $n$
    • C. $\sqrt{n}$
    • D. $n-1$
    Réponse

    C. $\sqrt{n}$ — Si $n=a\times b$ avec $a \leq b$, alors $a \leq \sqrt{n}$.

  10. La décomposition de $8$ en facteurs premiers est :

    • A. $2 \times 4$
    • B. $2^3$
    • C. $2 \times 2 \times 2 \times 1$
    • D. $8$
    Réponse

    B. $2^3$ — $8 = 2^3$.

  11. $\mathrm{PPCM}(4,6)$ est :

    • A. $8$
    • B. $12$
    • C. $24$
    • D. $6$
    Réponse

    B. $12$ — $4=2^2$, $6=2\times3$. PPCM $=2^2\times3=12$.

  12. Parmi $2, 3, 5, 7, 11, 13$, combien y a-t-il de nombres premiers ?

    • A. $4$
    • B. $5$
    • C. $6$
    • D. $3$
    Réponse

    C. $6$ — Tous les six sont premiers.

Niveau moyen — 12 questions

  1. La décomposition de $504$ en facteurs premiers est :

    • A. $2^3 \times 7^2$
    • B. $2^3 \times 3^2 \times 7$
    • C. $2^2 \times 3^2 \times 7$
    • D. $4 \times 126$
    Réponse

    B. $2^3 \times 3^2 \times 7$ — $504=8\times63=2^3\times3^2\times7$.

  2. $\mathrm{PGCD}(360, 504)$ vaut :

    • A. $36$
    • B. $72$
    • C. $24$
    • D. $84$
    Réponse

    B. $72$ — $360=2^3\times3^2\times5$, $504=2^3\times3^2\times7$. PGCD $=2^3\times3^2=72$.

  3. $\mathrm{PPCM}(360, 504)$ vaut :

    • A. $2520$
    • B. $1260$
    • C. $3024$
    • D. $720$
    Réponse

    A. $2520$ — PPCM $=2^3\times3^2\times5\times7=2520$.

  4. Quel est le nombre de diviseurs de $p^2 q$ avec $p$ et $q$ premiers distincts ?

    • A. $4$
    • B. $5$
    • C. $6$
    • D. $3$
    Réponse

    C. $6$ — $(2+1)(1+1)=6$ diviseurs.

  5. $91$ est-il premier ?

    • A. Oui
    • B. Non, $91=7\times11$
    • C. Non, $91=7\times13$
    • D. Non, $91=13\times7$
    Réponse

    C. Non, $91=7\times13$ — $91=7\times13$ (on peut vérifier $7\times13=91$). Les réponses 2 et 3 sont équivalentes mais la formulation standard est $7\times13$.

  6. Si $\mathrm{PGCD}(a,b)=d$, on peut écrire $a=dp$ et $b=dq$ avec :

    • A. $\mathrm{PGCD}(p,q)=d$
    • B. $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$
    • C. $p$ et $q$ premiers
    • D. $p+q=d$
    Réponse

    B. $\mathrm{PGCD}(p,q)=1$ — Par définition, $a/d$ et $b/d$ sont premiers entre eux.

  7. Le plus petit entier $n$ tel que $n\times 12$ soit un carré parfait est :

    • A. $2$
    • B. $3$
    • C. $4$
    • D. $12$
    Réponse

    B. $3$ — $12=2^2\times3$. Il manque un $3$ : $12\times3=36=6^2$.

  8. $\sqrt{n}$ est entier si et seulement si :

    • A. Tous les exposants de la décomposition de $n$ sont impairs
    • B. Tous les exposants de la décomposition de $n$ sont pairs
    • C. $n$ est divisible par $4$
    • D. $n$ est un carré de premier
    Réponse

    B. Tous les exposants de la décomposition de $n$ sont pairs — Condition exacte : tous les $\alpha_i$ sont pairs.

  9. $\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)$ est égal à :

    • A. $a+b$
    • B. $a\times b$
    • C. $\mathrm{PGCD}(a,b)^2$
    • D. $a^2+b^2$
    Réponse

    B. $a\times b$ — Relation fondamentale : $\mathrm{PGCD}\times\mathrm{PPCM}=a\times b$.

  10. Le lemme d'Euclide affirme que si $p$ est premier et $p\mid ab$ alors :

    • A. $p\mid a$ et $p\mid b$
    • B. $p\mid a$ ou $p\mid b$
    • C. $p\mid a+b$
    • D. $p^2\mid ab$
    Réponse

    B. $p\mid a$ ou $p\mid b$ — Le lemme donne une disjonction (ou), pas une conjonction (et).

  11. Dans la décomposition de $N=2\times3\times5+1=31$ : $31$ est :

    • A. Toujours premier dans la preuve d'Euclide
    • B. Premier mais pas forcément dans la preuve
    • C. Toujours composé
    • D. Toujours impair
    Réponse

    B. Premier mais pas forcément dans la preuve — $31$ est premier ici, mais ce n'est pas garanti en général : $2\times3\times5\times7\times11\times13+1=59\times509$.

  12. Combien y a-t-il de nombres premiers entre $10$ et $20$ ?

    • A. $3$
    • B. $4$
    • C. $5$
    • D. $2$
    Réponse

    B. $4$ — $11, 13, 17, 19$ : quatre nombres premiers entre $10$ et $20$.

Niveau difficile — 13 questions

  1. L'exposant de $3$ dans la décomposition de $3^4\times 2^2$ est :

    • A. $2$
    • B. $3$
    • C. $4$
    • D. $6$
    Réponse

    C. $4$ — L'exposant de $3$ est $4$ dans $3^4\times2^2$.

  2. Le plus grand diviseur carré parfait de $180$ est :

    • A. $9$
    • B. $36$
    • C. $4$
    • D. $180$
    Réponse

    B. $36$ — $180=2^2\times3^2\times5$. Le plus grand diviseur carré est $2^2\times3^2=36$.

  3. Si $p$ est premier et $p^2 \mid n^2$, alors nécessairement :

    • A. $p \mid n$
    • B. $p^2 \mid n$
    • C. $p \mid n^2$ seulement
    • D. $p$ ne divise pas $n$
    Réponse

    A. $p \mid n$ — $p^2\mid n^2 \Rightarrow p\mid n^2 \Rightarrow p\mid n$ (lemme d'Euclide).

  4. Le nombre d'entiers $n$ tels que $1\leq n\leq 100$ et $\mathrm{PGCD}(n, 6)=1$ est :

    • A. $25$
    • B. $33$
    • C. $34$
    • D. $50$
    Réponse

    B. $33$ — Les entiers premiers avec $6=2\times3$ ne sont divisibles ni par $2$ ni par $3$. Par crible : $100\times(1-1/2)(1-1/3)\approx33$.

  5. Combien $p^3$ a-t-il de diviseurs si $p$ est premier ?

    • A. $3$
    • B. $4$
    • C. $5$
    • D. $6$
    Réponse

    B. $4$ — $p^3$ a $3+1=4$ diviseurs : $1, p, p^2, p^3$.

  6. Pour que $n=2^a\times5^b$ soit un carré parfait, il faut :

    • A. $a$ et $b$ pairs
    • B. $a+b$ pair
    • C. $a=b$
    • D. $a$ et $b$ quelconques
    Réponse

    A. $a$ et $b$ pairs — Il faut que tous les exposants soient pairs : $a$ et $b$ tous les deux pairs.

  7. Lequel de ces entiers est un cube parfait ?

    • A. $36$
    • B. $54$
    • C. $216$
    • D. $72$
    Réponse

    C. $216$ — $216=6^3=2^3\times3^3$ : tous les exposants sont multiples de $3$.

  8. $\mathrm{PGCD}(n, n+1)$ vaut toujours :

    • A. $n$
    • B. $1$
    • C. $2$ si $n$ est pair
    • D. $n+1$
    Réponse

    B. $1$ — Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.

  9. Si $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et $a\mid bc$, alors :

    • A. $a\mid b$
    • B. $a\mid c$
    • C. $a\mid b+c$
    • D. $a$ est premier
    Réponse

    B. $a\mid c$ — Théorème de Gauss : si $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et $a\mid bc$, alors $a\mid c$.

  10. Quel est l'exposant de $2$ dans $100!$ ?

    • A. $48$
    • B. $97$
    • C. $50$
    • D. $64$
    Réponse

    B. $97$ — Formule de Legendre : $\lfloor 100/2\rfloor+\lfloor100/4\rfloor+\lfloor100/8\rfloor+\lfloor100/16\rfloor+\lfloor100/32\rfloor+\lfloor100/64\rfloor=50+25+12+6+3+1=97$.

  11. La décomposition de $\mathrm{PPCM}(2^3\times3, 2\times3^2\times5)$ est :

    • A. $2\times3\times5$
    • B. $2^3\times3^2\times5$
    • C. $2^3\times3^2$
    • D. $2^4\times3^3\times5$
    Réponse

    B. $2^3\times3^2\times5$ — Exposants maximums : $2^3\times3^2\times5$.

  12. Si $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$, le nombre de diviseurs de $n^2$ est :

    • A. $(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_k+1)$
    • B. $(2\alpha_1+1)\cdots(2\alpha_k+1)$
    • C. $2(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_k+1)$
    • D. $(\alpha_1)\cdots(\alpha_k)$
    Réponse

    B. $(2\alpha_1+1)\cdots(2\alpha_k+1)$ — $n^2=p_1^{2\alpha_1}\cdots p_k^{2\alpha_k}$ ; nombre de diviseurs $=(2\alpha_1+1)\cdots(2\alpha_k+1)$.

  13. Parmi les entiers de $1$ à $200$, combien sont divisibles par $6$ mais pas par $9$ ?

    • A. $22$
    • B. $11$
    • C. $18$
    • D. $26$
    Réponse

    A. $22$ — Divisibles par $6$ : $\lfloor200/6\rfloor=33$. Divisibles par $\mathrm{PPCM}(6,9)=18$ : $\lfloor200/18\rfloor=11$. Réponse : $33-11=22$.

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