Comment reconnaître une suite arithmétique ?

On calcule la différence u_n+1-u_n pour un entier n quelconque. Si elle est égale à une constante r qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique de raison r. Vérifier seulement les premiers termes ne suffit pas à le démontrer.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

Si la suite commence à u₀, on a u_n=u₀+nr ; si elle commence à u₁, on a u_n=u₁+(n-1)r. Plus généralement, u_n=u_p+(n-p)r pour tous entiers n et p.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La somme de termes consécutifs vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. De u_p à u_q, il y a q-p+1 termes. Cas particulier : 1+2++n=n(n+1)/2.

Quel lien entre suite arithmétique et fonction affine ?

Une suite arithmétique s'écrit u_n=u₀+rn : c'est la restriction aux entiers de la fonction affine x rx+u₀. Les points de coordonnées (n ;u_n) sont alignés sur une droite de coefficient directeur r, d'où le nom d'évolution linéaire.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Suites arithmétiques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à accroissement constant (évolutions linéaires)

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Suites arithmétiques » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite arithmétique, Terme général et représentation graphique, Sens de variation. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

L'essentiel

Définition. Une suite

(u_{n})

est arithmétique s'il existe un réel

r

, appelé raison, tel que pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} + r .

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Terme général. Pour tout

n

u_{n} = u_{0} + n r

. Pour tous entiers

n

p

u_{n} = u_{p} + (n - p) r

. Si la suite commence au rang 1 :

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

Sens de variation. Si

r > 0

, la suite est strictement croissante ; si

r = 0

, elle est constante ; si

r < 0

, elle est strictement décroissante.

Sommes.

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

et, pour des termes consécutifs d'une suite arithmétique :

S = (nombre de termes) \times \frac{premier terme + dernier terme}{2} .

Exemple. Avec

u_{0} = 5

r = 3

5

;

8

;

11

;

14

; … et

u_{n} = 5 + 3 n

Reconnaître une suite arithmétique

Propriété.

(u_{n})

est arithmétique si et seulement si la différence

u_{n + 1} - u_{n}

est une constante, c'est-à-dire un nombre qui ne dépend pas de

n

. Cette constante est la raison.

Forme explicite. Toute suite de la forme

u_{n} = a n + b

est arithmétique de raison

a

et de premier terme

u_{0} = b

, car

u_{n + 1} - u_{n} = a (n + 1) + b - a n - b = a

Exemple.

u_{n} = 0, 25 n + 6

u_{n + 1} - u_{n} = 0, 25

pour tout

n

, donc

(u_{n})

est arithmétique de raison

0, 25

u_{0} = 6

Contre-exemple.

u_{n} = 3 n^{2}

u_{0} = 0

u_{1} = 3

u_{2} = 12

. Comme

u_{1} - u_{0} = 3

u_{2} - u_{1} = 9

, les écarts ne sont pas égaux : la suite n'est pas arithmétique. Un seul contre-exemple suffit pour conclure.

Astuce. Une relation

u_{n + 1} = u_{n} - 2

désigne une suite arithmétique ;

u_{n + 1} = 2 u_{n}

u_{n + 1} = u_{n} + n

n'en désignent pas, car on n'ajoute pas un nombre fixe.

Terme général et représentation graphique

Pourquoi $u_{n} = u_{0} + n r$ ? Pour aller de

u_{0}

u_{n}

, on ajoute

n

fois la raison :

u_{1} = u_{0} + r

u_{2} = u_{0} + 2 r

, …,

u_{n} = u_{0} + n r

. De même, de

u_{p}

u_{n}

on ajoute

(n - p)

fois

r

Exemple.

u_{4} = 17

r = - 2

u_{n} = 17 - 2 (n - 4) = 25 - 2 n

, donc

u_{20} = 25 - 40 = - 15

Lien avec les fonctions affines.

u_{n} = f (n)

avec

f (x) = r x + u_{0}

. Les points

M_{n} (n; u_{n})

sont alignés sur la droite de coefficient directeur

r

et d'ordonnée à l'origine

u_{0}

: on parle d'évolution linéaire.

Exemple.

u_{0} = 3

r = 1, 5

u_{n} = 3 + 1, 5 n

u_{10} = 18

. Les points

(n; u_{n})

sont sur la droite d'équation

y = 3 + 1, 5 x

Sens de variation

Propriété. Pour une suite arithmétique,

u_{n + 1} - u_{n} = r

pour tout

n

: le signe de la raison donne directement le sens de variation.

Raison	$r > 0$	$r = 0$	$r < 0$
Suite	strictement croissante	constante	strictement décroissante

Exemple.

u_{n} = 40 - 0, 8 n

: la raison vaut

- 0, 8 < 0

, donc

(u_{n})

est strictement décroissante. Graphiquement, la droite qui porte les points descend.

Astuce. La raison joue le rôle du coefficient directeur : plus

| r |

est grand, plus la suite varie vite.

Somme de termes consécutifs

Somme des premiers entiers. Pour tout

n ⩾ 1

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

Justification. On écrit

S = 1 + 2 + \dots + n

puis

S = n + (n - 1) + \dots + 1

. En additionnant terme à terme, chaque colonne vaut

n + 1

et il y a

n

colonnes :

2 S = n (n + 1)

, d'où

S = \frac{n (n + 1)}{2}

Cas général. Pour une suite arithmétique,

u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{q} = (q - p + 1) \times \frac{u_{p} + u_{q}}{2}

. Le nombre de termes de

u_{p}

u_{q}

est

q - p + 1

Exemples.

1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050

.
Avec

u_{n} = 7 + 4 n

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{12}

compte

13

termes,

u_{12} = 55

, donc la somme vaut

13 \times \frac{7 + 55}{2} = 403

Modéliser une évolution linéaire, problèmes de seuil

Modèle. Une grandeur qui augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape a un accroissement constant : elle se modélise par une suite arithmétique dont la raison est cet accroissement. Une évolution en pourcentage n'est pas de ce type.

Exemple. Une citerne contient 2 400 L et perd 75 L par jour. Après

n

jours :

u_{n} = 2400 - 75 n

. Elle passe sous 500 L lorsque

2400 - 75 n < 500

, soit

75 n > 1900

, soit

n > 25, 33 \dots

: c'est au bout de 26 jours (

u_{25} = 525

u_{26} = 450

Algorithme de seuil (Python). On fait avancer la suite tant que le seuil n'est pas franchi, en comptant les étapes :

u = 2400
n = 0
while u >= 500:
    u = u - 75
    n = n + 1
print(n)

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Méthodes

Méthode 1 — Démontrer qu'une suite est arithmétique

Exprimer $u_{n + 1}$ en remplaçant $n$ par $n + 1$ .
Calculer et simplifier $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Constater que le résultat ne dépend pas de $n$ et conclure en donnant la raison et le premier terme.

Exemple rédigé.

v_{n} = \frac{3 n + 8}{5}

. Pour tout

n

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{3 (n + 1) + 8 - 3 n - 8}{5} = \frac{3}{5}

. La différence est constante, donc

(v_{n})

est arithmétique de raison

\frac{3}{5}

et de premier terme

v_{0} = \frac{8}{5}

Méthode 2 — Trouver la raison à partir de deux termes

Écrire $u_{q} = u_{p} + (q - p) r$ .
En déduire $r = \frac{u_{q} - u_{p}}{q - p}$ .
Calculer $u_{0} = u_{p} - p r$ puis écrire $u_{n}$ .

Exemple rédigé.

u_{3} = 11

u_{9} = 32

u_{9} = u_{3} + 6 r

donne

6 r = 21

, donc

r = 3, 5

. Puis

u_{0} = 11 - 3 \times 3, 5 = 0, 5

u_{n} = 0, 5 + 3, 5 n

Méthode 3 — Calculer une somme de termes consécutifs

Repérer le premier et le dernier terme.
Compter les termes : de $u_{p}$ à $u_{q}$ , il y en a $q - p + 1$ .
Appliquer $S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$ .

Exemple rédigé.

w_{n} = 10 - 3 n

S = w_{5} + \dots + w_{24}

. On a

w_{5} = - 5

w_{24} = - 62

24 - 5 + 1 = 20

termes, donc

S = 20 \times \frac{- 5 - 62}{2} = - 670

Méthode 4 — Déterminer un seuil par le calcul

Traduire la condition par une inéquation d'inconnue $n$ .
La résoudre (en changeant le sens si l'on divise par un négatif).
Prendre le plus petit entier qui convient et vérifier avec deux termes consécutifs.

Exemple rédigé. Un stock de 1 200 pièces augmente de 45 pièces par semaine :

u_{n} = 1200 + 45 n

u_{n} > 2000 ⟺ 45 n > 800 ⟺ n > 17, 77 \dots

Donc

n = 18

u_{17} = 1965

u_{18} = 2010

Pièges et erreurs classiques

Compter les termes. De

u_{10}

u_{30}

, il y a

21

termes et non

20

: on compte

q - p + 1

Premier terme d'indice 1. Si la suite commence à

u_{1}

, on écrit

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

et non

u_{1} + n r

Quelques termes ne prouvent rien. La liste

2

;

5

;

8

;

12

commence comme une suite arithmétique mais n'en est pas une. Pour démontrer, on calcule

u_{n + 1} - u_{n}

pour tout

n

Inégalité et raison négative. Diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité :

30 - 4 n < 0 ⟺ n > 7, 5

Seuil strict ou large. « Dépasser 600 » s'écrit

> 600

, « atteindre 600 » s'écrit

⩾ 600

: la réponse peut changer d'une unité.

Formule des entiers.

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

, pas

\frac{n (n - 1)}{2}

: vérifier avec

n = 3

(

1 + 2 + 3 = 6

En bref

Arithmétique : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ ; on le démontre en calculant $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = u_{p} + (n - p) r$ ; points $(n; u_{n})$ alignés (évolution linéaire).
$r > 0$ : croissante ; $r < 0$ : décroissante ; $r = 0$ : constante.
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ; somme = nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
De $u_{p}$ à $u_{q}$ : $q - p + 1$ termes.
Seuil : inéquation puis plus petit entier, ou boucle while en Python.

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