Formulaire : statistique à deux variables quantitatives

Rappels sur la moyenne, la variance et l’écart type, nuage de points et point moyen, droite des moindres carrés et sa démonstration, coefficient de corrélation, corrélation et causalité, interpolation et extrapolation, ajustements par changement de variable.

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Statistique à deux variables quantitatives

Fiche tableaux : les formules à connaître

(Mathématiques complémentaires Terminale)

Série à une variable

Indicateur	Formule	Changement $y = a x + b$
Moyenne	$\overset{―}{x} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$	$\overset{―}{y} = a \overset{―}{x} + b$
Variance	$V (x) = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - {\overset{―}{x}}^{2}$	$V (y) = a^{2} V (x)$
Écart type	$σ_{x} = \sqrt{V (x)}$	$σ_{y} = \| a \| σ_{x}$

Exemple : la série $1$ ; $2$ ; $6$ a pour moyenne $3$ et pour variance $\frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ .

Série double

Objet	Formule	À retenir
Point moyen	$G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})$	rarement un point du nuage
Covariance	$C o v (x, y) = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{―}{x}) (y_{i} - \overset{―}{y})$	signe = sens du nuage
Droite des moindres carrés	$a = \frac{C o v (x, y)}{V (x)}$ , $b = \overset{―}{y} - a \overset{―}{x}$	passe par $G$
Résidu	$e_{i} = y_{i} - (a x_{i} + b)$	somme nulle pour cette droite
Coefficient de corrélation	$r = \frac{C o v (x, y)}{σ_{x} σ_{y}}$	$- 1 ⩽ r ⩽ 1$ , $a = r \frac{σ_{y}}{σ_{x}}$

Exemple : $\overset{―}{x} = 2$ , $\overset{―}{y} = 10$ , $C o v (x, y) = 6$ , $V (x) = 3$ donnent $a = 2$ et $b = 10 - 2 \times 2 = 6$ .

Lire le coefficient de corrélation

Valeur de r	Lecture (repères usuels)
$r = 1$ ou $r = - 1$	points parfaitement alignés
$\| r \| ⩾ 0, 95$	alignement très net : ajustement affine justifié
$0, 8 ⩽ \| r \| < 0, 95$	tendance affine nette, dispersion visible
$\| r \| < 0, 8$	ajustement affine discutable : regarder le nuage
$r$ proche de $0$	pas de lien affine (un lien courbé reste possible)

Le signe de $r$ est celui de $a$ : $r > 0$ pour un nuage croissant, $r < 0$ pour un nuage décroissant.

Changements de variable

Indice sur le nuage	Changement de variable	Ajustement affine obtenu	Retour à $y$
$y$ est multiplié par un nombre à peu près constant quand $x$ augmente d’un même pas	$z = \ln y$	$z = α x + β$	$y = e^{β} e^{α x}$
$y$ semble varier comme l’inverse de $x$	$z = \frac{1}{x}$	$y = α z + β$	$y = \frac{α}{x} + β$
modèle puissance $y = k x^{p}$	$u = \ln x$ , $v = \ln y$	$v = p u + \ln k$	$y = k x^{p}$

Exemple : $\ln y = 0, 05 x + 2$ donne $y = e^{2} e^{0, 05 x} \approx 7, 39 e^{0, 05 x}$ .

Prévoir avec un ajustement

Valeur de x	Nom	Fiabilité
dans $[x_{min}; x_{max}]$	interpolation	raisonnable
hors de $[x_{min}; x_{max}]$	extrapolation	« si la tendance se poursuit », fragile si l’on s’éloigne

Question réciproque : résoudre $a x + b = y_{0}$ ou $a x + b > y_{0}$ (sens inversé si $a < 0$ ).

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À propos de cette page

La fiche de révision de la statistique à deux variables en tableaux : moyenne, variance et écart type avec l’effet d’un changement d’unité, point moyen, covariance, droite des moindres carrés, résidus et coefficient de corrélation, lecture de r, changements de variable ln y, 1/x et modèle puissance, interpolation et extrapolation. Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir.

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