Statistique à deux variables quantitatives

Masses, en grammes, de cinq pommes d’un même cageot : $150$ ; $162$ ; $148$ ; $156$ ; $159$.

1. Masse moyenne : $\bar{x}=$ g
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{150+162+148+156+159}{5}}={\displaystyle \frac{775}{5}}=155$ g.
2. Variance : $V(x)=$
   Écarts à la moyenne : $-5$ ; $7$ ; $-7$ ; $1$ ; $4$ (somme nulle). Carrés : $25$ ; $49$ ; $49$ ; $1$ ; $16$, de somme $140$. Donc $V(x)={\displaystyle \frac{140}{5}}=28$ (en g²).
3. Écart type, au centième : ${\sigma }_x\approx$ g
   ${\sigma }_x=\sqrt{28}\approx 5,29$ g : c’est l’ordre de grandeur de l’écart des masses à la moyenne de $155$ g.

Nombre de pannes par mois d’un ascenseur, relevé pendant $20$ mois.

1. Nombre moyen de pannes par mois : $\bar{x}=$
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{0\times 2+1\times 6+2\times 7+3\times 4+4\times 1}{20}}={\displaystyle \frac{36}{20}}=1,8$ panne par mois.
2. Variance (par la formule de König-Huygens) : $V(x)=$
   $\sum n_i{x}_i^2=0+6+28+36+16=86$, donc $V(x)={\displaystyle \frac{86}{20}}-1,8^2=4,3-3,24=1,06$.
3. Écart type, au centième : ${\sigma }_x\approx$
   ${\sigma }_x=\sqrt{1,06}\approx 1,03$ panne.

Sur un mois, les températures relevées à midi par une station ont pour moyenne $14$ °C et pour écart type $6$ °C. On les convertit en degrés Fahrenheit : $F=1,8C+32$.

1. Température moyenne en °F :
   Par linéarité de la moyenne : $\bar{F}=1,8\times 14+32=25,2+32=57,2$ °F.
2. Justifier que l’écart type en °F vaut $1,8$ fois celui en °C, puis le calculer : °F
   Rédaction attendue. Pour chaque jour $i$, $F_i-\bar{F}=(1,8C_i+32)-(1,8\bar{C}+32)=1,8(C_i-\bar{C})$ : chaque écart à la moyenne est multiplié par $1,8$ et la constante $32$ disparaît. Les carrés des écarts sont donc multipliés par $1,8^2$, la variance aussi : $V(F)=1,8^{2}V(C)$. En prenant la racine carrée ($1,8>0$), ${\sigma }_F=1,8{\sigma }_C=1,8\times 6=10,8$ °F.
3. Variance des températures en °F :
   $V(F)={\sigma }_F^2=10,8^2=116,64$ (en °F²), soit $1,8^2=3,24$ fois la variance en °C, qui vaut $36$.

On considère la série $2$ ; $5$ ; $8$ et, pour tout réel $t$, $g(t)={\displaystyle \frac{(2-t{)}^2+(5-t{)}^2+(8-t{)}^2}{3}}$ : c’est la moyenne des carrés des écarts à $t$.

1. En développant, $g(t)=t^2+\beta t+31$ avec $\beta =$
   $(2-t{)}^2+(5-t{)}^2+(8-t{)}^2=(4-4t+t^2)+(25-10t+t^2)+(64-16t+t^2)=3t^2-30t+93$. En divisant par $3$ : $g(t)=t^2-10t+31$, donc $\beta =-10$.
2. La fonction $g$ est minimale pour $t=$
   Trinôme de coefficient $1>0$ : minimum en $t={\displaystyle \frac{10}{2\times 1}}=5$, qui est exactement la moyenne $\bar{x}={\displaystyle \frac{2+5+8}{3}}=5$.
3. Démontrer que le minimum de $g$ est la variance de la série. Ce minimum vaut
   Rédaction attendue. $g(5)=25-50+31=6$. Par ailleurs, $\bar{x}=5$ et $V(x)={\displaystyle \frac{(2-5{)}^2+(5-5{)}^2+(8-5{)}^2}{3}}={\displaystyle \frac{9+0+9}{3}}=6$. Comme $g(\bar{x})$ est par définition la moyenne des carrés des écarts à $\bar{x}$, on a $g(\bar{x})=V(x)$ : le minimum de $g$ est la variance, ici $6$.
4. Démontrer que pour une série quelconque $x_1,\dots ,x_n$, la fonction $g(t)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(x_i-t{)}^2}$ est minimale en $t=\bar{x}$. Coefficient de $t^2$ dans $g(t)$ :
   Rédaction attendue. En développant $(x_i-t{)}^2=x_i^2-2x_{i}t+t^2$ et en additionnant : $g(t)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i^2-2t\times {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i+{\displaystyle \frac{n{t}^2}{n}}=t^2-2\bar{x}t+{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_i^2$. C’est un trinôme en $t$ de coefficient $1>0$ : il est minimal en $t={\displaystyle \frac{2\bar{x}}{2}}=\bar{x}$, et son minimum $g(\bar{x})$ est la variance $V(x)$. La moyenne est donc le nombre « le plus proche » de toutes les valeurs au sens des moindres carrés : c’est la même idée que la droite des moindres carrés.

Un professeur relève, pour six élèves, le temps $x$ de révision (en heures) et la note $y$ obtenue (sur $20$) à un devoir.

1. $\bar{x}$, au centième : h
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{2+4+5+7+9+11}{6}}={\displaystyle \frac{38}{6}}={\displaystyle \frac{19}{3}}\approx 6,33$ h.
2. $\bar{y}$, au centième :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{6+9+10+13+15+18}{6}}={\displaystyle \frac{71}{6}}\approx 11,83$.
3. Justifier que $G$ n’est pas un point du nuage. Nombre d’élèves ayant révisé moins de $\bar{x}$ heures :
   Rédaction attendue. Le point moyen est $G\left({\displaystyle \frac{19}{3}};{\displaystyle \frac{71}{6}}\right)$, avec ${\displaystyle \frac{19}{3}}\approx 6,33$. Les abscisses des points du nuage sont $2$, $4$, $5$, $7$, $9$ et $11$ : trois sont inférieures à ${\displaystyle \frac{19}{3}}$ ($2$, $4$ et $5$), trois sont supérieures, aucune n’est égale. Donc $G$ n’est pas un point du nuage : c’est un point construit, qui résume la position d’ensemble des six élèves.

Le graphique donne le prix de revente $y$ (en milliers d’euros) d’un modèle de voiture d’occasion selon son âge $x$ (en années).

1. Prix de revente lu pour la voiture de $4$ ans : milliers d’euros
   Le point d’abscisse $4$ est sur la ligne horizontale $12$ du quadrillage : $12000$ €.
2. $\bar{x}=$
   Les âges sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ : $\bar{x}={\displaystyle \frac{21}{6}}=3,5$ ans.
3. $\bar{y}=$
   Les prix lus sont $18$ ; $16$ ; $13$ ; $12$ ; $10$ ; $9$ : $\bar{y}={\displaystyle \frac{78}{6}}=13$. Le point moyen est $G(3,5;13)$ ; le nuage est décroissant : plus la voiture est âgée, plus son prix de revente est bas.

Un nuage de $8$ points a pour point moyen $G(12;40)$. On ajoute le point $P(20;58)$.

1. Somme des ordonnées des $8$ premiers points :
   La somme des valeurs vaut l’effectif fois la moyenne : $8\times 40=320$.
2. Justifier le calcul de l’ordonnée du nouveau point moyen, puis la donner :
   Rédaction attendue. Après l’ajout, il y a $9$ points. La somme des ordonnées devient $320+58=378$, donc la nouvelle moyenne des ordonnées vaut ${\displaystyle \frac{378}{9}}=42$. On ne fait pas la moyenne de $40$ et $58$ : le point $P$ ne pèse que pour un point sur neuf.
3. Abscisse du nouveau point moyen, au centième :
   Somme des abscisses : $8\times 12+20=96+20=116$, donc ${\displaystyle \frac{116}{9}}\approx 12,89$. Le nouveau point moyen est environ $(12,89;42)$.

Production annuelle $y$ (en MWh) d’une ferme solaire, relevée certaines années. Pour alléger les calculs, on pose $X=x-2015$, où $x$ est l’année.

1. $\bar{X}=$
   Les valeurs de $X$ sont $0$, $2$, $4$, $7$, $8$ : $\bar{X}={\displaystyle \frac{21}{5}}=4,2$.
2. $\bar{y}=$ MWh
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{410+432+455+470+498}{5}}={\displaystyle \frac{2265}{5}}=453$ MWh.
3. Démontrer, sans recalculer la moyenne des années, que $\bar{x}=\bar{X}+2015$. Abscisse du point moyen dans le repère d’origine :
   Rédaction attendue. Pour tout $i$, $x_i=X_i+2015$. En additionnant les cinq égalités : $\sum x_i=\sum X_i+5\times 2015$, puis en divisant par $5$ : $\bar{x}=\bar{X}+2015=4,2+2015=2019,2$ (linéarité de la moyenne). Le point moyen est $G(2019,2;453)$ : changer l’origine des abscisses déplace $G$ sans changer la forme du nuage.
4. En kWh ($1$ MWh $=1000$ kWh), l’ordonnée du point moyen vaut kWh
   Chaque production est multipliée par $1000$, donc la moyenne aussi : $453\times 1000=453000$ kWh.

Une série double vérifie $\bar{x}=14$, $\bar{y}=52$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=27$ et $V(x)=12$.

1. Coefficient directeur de la droite des moindres carrés : $a=$
   $a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}={\displaystyle \frac{27}{12}}=2,25$.
2. Ordonnée à l’origine : $b=$
   $b=\bar{y}-a\bar{x}=52-2,25\times 14=52-31,5=20,5$. La droite est $y=2,25x+20,5$.
3. Valeur de $y$ prédite pour $x=16$ :
   $2,25\times 16+20,5=36+20,5=56,5$. Contrôle : en $x=14$, on retrouve $2,25\times 14+20,5=52=\bar{y}$.

Pour une série double, on propose la droite d’ajustement $𝒟:y=0,85x+4,2$. Quatre points du nuage : $A(6;9,5)$, $B(14;16,8)$, $C(22;21,9)$ et $D(28;29,4)$.

1. Résidu du point $A$ : $e_A=$
   Valeur prédite : $0,85\times 6+4,2=9,3$. Résidu : $e_A=9,5-9,3=0,2$.
2. Résidu du point $C$ : $e_C=$
   Valeur prédite : $0,85\times 22+4,2=22,9$. Résidu : $e_C=21,9-22,9=-1$ : $C$ est au-dessous de la droite.
3. Le point le moins bien ajusté est (une lettre) :
   Pour $B$ : $0,85\times 14+4,2=16,1$ et $e_B=16,8-16,1=0,7$. Pour $D$ : $0,85\times 28+4,2=28$ et $e_D=29,4-28=1,4$. Le moins bien ajusté a le résidu de plus grande valeur absolue : c’est $D$, et comme $e_D>0$ il est au-dessus de la droite.
4. Somme des carrés des quatre résidus :
   $0,2^2+0,7^2+(-1{)}^2+1,4^2=0,04+0,49+1+1,96=3,49$. La droite des moindres carrés est celle qui rendrait cette somme la plus petite possible.

On étudie la série double suivante. Arrondir $a$ et $b$ au millième.

1. $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=$
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{30}{5}}=6$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{60}{5}}=12$. Écarts : $x_i-\bar{x}:-4;-3;-1;2;6$ et $y_i-\bar{y}:6;4;1;-3;-8$. Somme des produits : $-24-12-1-6-48=-91$, donc $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)={\displaystyle \frac{-91}{5}}=-18,2$.
2. $V(x)=$
   $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=16+9+1+4+36=66$, donc $V(x)={\displaystyle \frac{66}{5}}=13,2$.
3. Coefficient directeur, au millième : $a\approx$
   $a={\displaystyle \frac{-18,2}{13,2}}=-{\displaystyle \frac{91}{66}}\approx -1,379$.
4. Ordonnée à l’origine, au millième : $b\approx$
   $b=12+{\displaystyle \frac{91}{66}}\times 6=12+{\displaystyle \frac{91}{11}}={\displaystyle \frac{223}{11}}\approx 20,273$. Droite : $y=-1,379x+20,273$.
5. Démontrer, avec les valeurs exactes, que la droite passe par le point moyen. Ordonnée du point de la droite d’abscisse $\bar{x}$ :
   Rédaction attendue. Avec $a=-{\displaystyle \frac{91}{66}}$ et $b={\displaystyle \frac{223}{11}}$, pour $x=\bar{x}=6$ : $a\times 6+b=-{\displaystyle \frac{91}{11}}+{\displaystyle \frac{223}{11}}={\displaystyle \frac{132}{11}}=12=\bar{y}$. Les coordonnées de $G(6;12)$ vérifient l’équation : la droite passe par $G$, comme toute droite des moindres carrés.
6. Estimation de $y$ pour $x=10$, au dixième :
   $y=-{\displaystyle \frac{91}{66}}\times 10+{\displaystyle \frac{223}{11}}={\displaystyle \frac{-910+1338}{66}}={\displaystyle \frac{428}{66}}\approx 6,5$ (calcul fait avec les valeurs exactes).

On cherche la droite $y=ax+b$ la plus proche, au sens des moindres carrés, des points $(1;4)$, $(2;5)$ et $(3;9)$, c’est-à-dire celle qui rend minimale $S(a;b)=(4-a-b{)}^2$ $+(5-2a-b{)}^2$ $+(9-3a-b{)}^2$.

1. Pour $a$ fixé, $S$ est un trinôme en $b$. Son coefficient de $b^2$ vaut
   Chacun des trois carrés contient le terme $b^2$ : le coefficient de $b^2$ vaut $3$ (c’est le nombre de points).
2. Démontrer que, pour $a$ fixé, $S$ est minimale pour $b=\bar{y}-a\bar{x}$. Ici, $\bar{y}=$
   Rédaction attendue. En développant, $S=3b^2-2b[(4-a)+(5-2a)+(9-3a)]+C=3b^2-2b(18-6a)+C$, où $C$ ne dépend pas de $b$. Ce trinôme en $b$ a un coefficient $3>0$ : il est minimal pour $b={\displaystyle \frac{2(18-6a)}{2\times 3}}=6-2a$. Or $\bar{x}=2$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{4+5+9}{3}}=6$ : on a bien $b=\bar{y}-a\bar{x}$.
3. On remplace $b$ par $6-2a$. Démontrer que $S=2a^2-10a+14$. La valeur de $a$ qui rend $S$ minimale est
   Rédaction attendue. Avec $b=6-2a$ : $4-a-b=a-2$, $5-2a-b=-1$ et $9-3a-b=3-a$. Donc $S=(a-2{)}^2+1+(3-a{)}^2=a^2-4a+4+1+a^2-6a+9=2a^2-10a+14$. Ce trinôme de coefficient $2>0$ est minimal en $a={\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$. Contrôle avec la formule : $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)={\displaystyle \frac{5}{3}}$ et $V(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}$, donc ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}=2,5$.
4. Ordonnée à l’origine de la droite des moindres carrés : $b=$
   $b=6-2\times 2,5=1$ : la droite des moindres carrés est $y=2,5x+1$.
5. Valeur minimale de $S$ :
   $S=2\times 2,5^2-10\times 2,5+14=12,5-25+14=1,5$. Aucune autre droite ne donne une somme des carrés des résidus plus petite.

Pour une série double, on a relevé $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=18,6$, ${\sigma }_x=4,2$ et ${\sigma }_y=5,1$.

1. ${\sigma }_x{\sigma }_y=$
   $4,2\times 5,1=21,42$.
2. Coefficient de corrélation, au millième : $r\approx$
   $r={\displaystyle \frac{18,6}{21,42}}\approx 0,868$. $|r|$ est assez proche de $1$ : la tendance affine est nette, mais la dispersion autour de la droite reste visible. Comme $r>0$, le nuage est croissant.
3. Coefficient directeur de la droite de régression de $y$ en $x$, au millième : $a\approx$
   $V(x)={\sigma }_x^2=4,2^2=17,64$, donc $a={\displaystyle \frac{18,6}{17,64}}\approx 1,054$, du même signe que $r$.

On considère la série double : $x_i$ = $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ et $y_i$ = $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$. Arrondir au millième.

1. $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=$
   $\bar{x}=2,5$ et $\bar{y}=4$. Écarts : $-1,5;-0,5;0,5;1,5$ et $-2;-1;1;2$. Produits : $3$ ; $0,5$ ; $0,5$ ; $3$, de somme $7$. Donc $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)={\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$.
2. ${\sigma }_y\approx$
   $V(y)={\displaystyle \frac{4+1+1+4}{4}}=2,5$, donc ${\sigma }_y=\sqrt{2,5}\approx 1,581$. De même $V(x)={\displaystyle \frac{2,25+0,25+0,25+2,25}{4}}=1,25$ et ${\sigma }_x\approx 1,118$.
3. $r\approx$
   $r={\displaystyle \frac{1,75}{\sqrt{1,25\times 2,5}}}={\displaystyle \frac{1,75}{\sqrt{3,125}}}\approx 0,990$ : les quatre points sont presque alignés sur une droite croissante.
4. Démontrer que $a=r{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}$, puis en déduire $a=$
   Rédaction attendue. Par définition, $a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{{\sigma }_x^2}}$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=r{\sigma }_x{\sigma }_y$. Donc $a={\displaystyle \frac{r{\sigma }_x{\sigma }_y}{{\sigma }_x^2}}=r{\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}$. Comme ${\displaystyle \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}}>0$, $a$ et $r$ ont toujours le même signe. Ici, $a={\displaystyle \frac{1,75}{1,25}}=1,4$.

Dans une région, on relève sur $24$ mois le nombre $x$ de recherches en ligne contenant le mot « grippe » et le nombre $y$ de boissons chaudes vendues par un réseau de distributeurs automatiques. On obtient $r\approx 0,93$ et la droite d’ajustement $y=6,4x+1250$. Un élève écrit : « Comme $r$ est proche de $1$, chercher le mot grippe sur Internet pousse les gens à acheter des boissons chaudes. »

1. Selon la droite, quand le nombre de recherches augmente de $100$, les ventes augmentent en moyenne de boissons
   Le coefficient directeur vaut $6,4$ boissons par recherche : $6,4\times 100=640$ boissons. C’est une association observée sur la période, rien de plus.
2. Expliquer l’erreur de l’élève. Variable cachée la plus vraisemblable (un mot) :
   Rédaction attendue. $r\approx 0,93$ indique seulement que les points sont proches d’une droite croissante. L’élève conclut d’une corrélation à une causalité, ce que $r$ ne permet jamais. Ici, une variable cachée explique les deux phénomènes : la saison. En hiver, la grippe circule (les recherches augmentent) et il fait froid (les boissons chaudes se vendent) ; aucune des deux variables n’agit sur l’autre.
3. L’entreprise veut faire de la publicité pour le mot « grippe » afin de faire passer $x$ de $2000$ à $2500$ recherches par mois. Hausse des ventes que la droite annoncerait : boissons
   Rédaction attendue. La droite annoncerait $6,4\times 500=3200$ boissons de plus. Mais ce calcul n’a pas de sens : la droite décrit une association, pas un mécanisme. Augmenter artificiellement $x$ ne refroidit pas l’air ; le modèle ne prédit $y$ que tant que $x$ reste le simple indicateur de la saison qu’il était dans les données. La stratégie repose sur un raisonnement faux.
4. Si l’on comptait les ventes en dizaines de boissons, le coefficient directeur de la droite deviendrait
   Chaque $y_i$ est divisé par $10$ : la covariance aussi, et $V(x)$ ne change pas, donc $a={\displaystyle \frac{6,4}{10}}=0,64$ dizaine de boissons par recherche. En revanche $r$ ne change pas (changement d’unité) ; il ne changerait pas non plus si l’on échangeait les rôles de $x$ et $y$, alors que la droite de régression de $x$ en $y$ est une autre droite, de coefficient ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(y)}}$.

Une série double est formée des cinq points $(1;2,1)$, $(2;3,9)$, $(3;6,2)$, $(4;7,8)$ et $(5;10,1)$. On y ajoute un sixième relevé, $(6;2,0)$, obtenu un jour où l’appareil de mesure était mal réglé.

1. Cinq premiers points : coefficient directeur de la droite des moindres carrés, $a=$
   $\bar{x}=3$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{30,1}{5}}=6,02$. $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(-2)\times (-3,92)+(-1)\times (-2,12)+0\times 0,18+1\times 1,78+2\times 4,08=19,9$ et $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=10$, d’où $a={\displaystyle \frac{19,9}{10}}=1,99$.
2. Cinq premiers points : ordonnée à l’origine $b=$
   $b=6,02-1,99\times 3=6,02-5,97=0,05$ : droite $y=1,99x+0,05$.
3. Cinq premiers points : coefficient de corrélation de la série, au millième :
   $\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=39,708$, donc $r={\displaystyle \frac{19,9}{\sqrt{10\times 39,708}}}\approx 0,999$ : alignement presque parfait.
4. Six points : coefficient directeur, au centième : $a\approx$
   $\bar{x}=3,5$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{32,1}{6}}=5,35$ ; $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=9,85$ et $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=17,5$, d’où $a={\displaystyle \frac{9,85}{17,5}}\approx 0,56$ (et $b\approx 3,38$).
5. Six points : $r$, au millième, . Expliquer ce que révèle ce contraste, et dire à quelle condition on peut écarter le sixième point.
   Rédaction attendue. Avec $\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=53,175$ : $r={\displaystyle \frac{9,85}{\sqrt{17,5\times 53,175}}}\approx 0,323$. Un seul point sur six fait passer $r$ de $0,999$ à $0,323$ et divise le coefficient directeur par plus de trois : la méthode rend minimale une somme de carrés, ce qui donne un poids énorme aux grands résidus. Un $r$ médiocre peut donc signaler un point isolé plutôt qu’une absence de tendance : il faut regarder le nuage. On ne peut écarter le sixième point que pour une raison extérieure aux données, à mentionner dans la réponse : ici, le mauvais réglage de l’appareil. Supprimer un point parce qu’il gêne serait une falsification.

Une série double, dont les abscisses observées appartiennent à $[4;12]$, admet pour droite de régression $y=1,82x+3,4$, où $x$ est une durée (en minutes) et $y$ un volume (en litres).

1. Selon le modèle, quand la durée augmente de $10$ minutes, le volume augmente de L
   Le coefficient directeur $1,82$ est le volume gagné par minute : $1,82\times 10=18,2$ L pour $10$ minutes.
2. Volume estimé pour $x=15$ : L
   $y=1,82\times 15+3,4=27,3+3,4=30,7$ L. Comme $15\notin [4;12]$, c’est une extrapolation : valable seulement si la tendance se poursuit au-delà de $12$ minutes.
3. Volume estimé au milieu de la plage des durées observées : L
   Le milieu de $[4;12]$ est ${\displaystyle \frac{4+12}{2}}=8$ minutes : $y=1,82\times 8+3,4=14,56+3,4=17,96$ L. Comme $8\in [4;12]$, c’est une interpolation : l’estimation est raisonnable.
4. Durée pour laquelle le modèle prévoit $30$ L, au dixième : min
   $1,82x+3,4=30⟺1,82x=26,6⟺x={\displaystyle \frac{26,6}{1,82}}\approx 14,6$ minutes, hors de la plage observée : c’est encore une extrapolation.

À partir des tailles d’enfants âgés de $3$ à $11$ ans, on obtient l’ajustement $y=6,2x+82$, où $x$ est l’âge (en années) et $y$ la taille (en cm).

1. Taille estimée à $7$ ans : cm
   $6,2\times 7+82=43,4+82=125,4$ cm. Comme $7\in [3;11]$, c’est une interpolation.
2. Âge auquel le modèle prévoit $150$ cm, au dixième d’année :
   $6,2x+82=150⟺x={\displaystyle \frac{68}{6,2}}\approx 11,0$ ans, à la limite de la plage observée.
3. Taille « prévue » à $30$ ans : cm. Justifier que ce résultat n’a pas de sens.
   Rédaction attendue. $6,2\times 30+82=186+82=268$ cm. Or $30\notin [3;11]$ : c’est une extrapolation très lointaine. La croissance d’un enfant n’est pas affine sur toute la vie (elle ralentit puis s’arrête à l’âge adulte) : le modèle, construit entre $3$ et $11$ ans, ne s’applique pas à $30$ ans, et une taille de $2,68$ m est absurde.

Le pourcentage $y$ de foyers d’une ville encore abonnés à une ligne téléphonique fixe est modélisé, à partir des relevés des années $2015$ à $2024$, par la droite de régression $y=-0,62x+41,5$, où $x$ est le rang de l’année ($x=0$ pour $2015$).

1. Pourcentage estimé en $2022$, au dixième : %
   $2022$ correspond à $x=7$ : $y=-0,62\times 7+41,5=-4,34+41,5=37,16$, soit environ $37,2\%$. Comme $7\in [0;9]$, c’est une interpolation.
2. Première année où ce pourcentage passerait sous $30\%$ selon le modèle :
   $-0,62x+41,5<30⟺-0,62x<-11,5⟺x>{\displaystyle \frac{11,5}{0,62}}\approx 18,55$ (on divise par un nombre négatif : le sens change). Le premier entier est $x=19$, soit l’année $2015+19=2034$.
3. Première année où le modèle donnerait un pourcentage négatif : . Que conclure sur l’usage de ce modèle ?
   Rédaction attendue. $-0,62x+41,5<0⟺x>{\displaystyle \frac{41,5}{0,62}}\approx 66,94$, donc $x⩾67$, soit l’année $2015+67=2082$ : un pourcentage négatif est impossible. Le modèle est construit sur $x\in [0;9]$ ; il décrit la baisse observée et permet des interpolations, mais toute extrapolation doit rester proche de la plage et être annoncée comme telle. Une proportion ne peut pas décroître de façon affine sans fin : elle se rapproche plutôt de $0$.

Une station météo relève l’écart $y$ (en °C) entre la température moyenne de l’année et une moyenne de référence, de $2019$ ($x=0$) à $2024$ ($x=5$) : $0,62$ ; $0,71$ ; $0,66$ ; $0,80$ ; $0,84$ ; $0,91$.

1. Coefficient de corrélation $r$ de ces six relevés, au millième :
   La calculatrice donne $r\approx 0,946$ : tendance affine croissante nette, avec une dispersion visible (l’année $2021$ est plus fraîche que $2020$).
2. Droite de régression de $y$ en $x$ : coefficient directeur au millième
   $\bar{x}=2,5$, $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=17,5$ et $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=0,99$, donc $a={\displaystyle \frac{0,99}{17,5}}\approx 0,057$ °C par an.
3. Ordonnée à l’origine, au millième :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{4,54}{6}}\approx 0,7567$, donc $b=\bar{y}-a\bar{x}\approx 0,615$. Droite : $y=0,057x+0,615$.
4. Écart prévu pour $2030$, au centième : °C
   $2030$ correspond à $x=11$ : $y=0,057\times 11+0,615=1,242$, soit environ $1,24$ °C (même arrondi avec les valeurs non arrondies). C’est une extrapolation : $11$ est loin au-delà de la plage $[0;5]$.
5. Première année où l’écart dépasserait $1,5$ °C selon ce modèle : . Justifier que ces prévisions sont fragiles.
   Rédaction attendue. $0,057x+0,615>1,5⟺x>{\displaystyle \frac{0,885}{0,057}}\approx 15,5$ (avec les valeurs non arrondies, $x>15,6$) : le premier entier est $x=16$, soit $2019+16=2035$. Ces prévisions sont fragiles : le modèle repose sur six années seulement, $r\approx 0,946$ montre des variations d’une année à l’autre, et l’on prolonge la droite plus de dix ans au-delà des données, en supposant que la tendance reste affine, ce qu’aucune donnée ne garantit.

Retrouver $y$ à partir de chaque ajustement. Arrondir au centième.

1. $\ln y=0,2x+3$ : $y=k{e}^{0,2x}$ avec $k\approx$
   $y=e^{0,2x+3}=e^3\times e^{0,2x}$, et $e^3\approx 20,09$.
2. $y=4z+1$ avec $z={\displaystyle \frac{1}{x}}$ : valeur de $y$ pour $x=2$ :
   $y={\displaystyle \frac{4}{x}}+1$, donc pour $x=2$ : $y=2+1=3$.
3. $\ln y=1,5\ln x+0,7$ : valeur de $y$ pour $x=4$ :
   $y=e^{0,7}\times e^{1,5\ln x}=e^{0,7}{x}^{1,5}$. Pour $x=4$ : $4^{1,5}=8$, donc $y=8e^{0,7}\approx 16,11$.
4. $\ln y=-0,3x+2$ : quand $x$ augmente de $1$, $y$ est multiplié par
   $y=e^2{e}^{-0,3x}$ : passer de $x$ à $x+1$ multiplie $y$ par $e^{-0,3}\approx 0,74$, soit une baisse d’environ $26\%$ à chaque pas.

Le nombre $N$ de comptes actifs d’un service en ligne (en milliers) est relevé chaque semestre, $t$ désignant le numéro du semestre. On pose $z=\ln N$.

1. $z_5=\ln 620$, au millième :
   $\ln 620\approx 6,430$. Les six valeurs de $z$ sont environ $5,298$ ; $5,521$ ; $5,756$ ; $5,979$ ; $6,205$ ; $6,430$ : leurs écarts successifs sont presque constants (vers $0,22$), signe d’un bon ajustement affine de $z$ en $t$.
2. Droite de régression de $z$ en $t$ : coefficient directeur, au millième :
   La calculatrice donne $z=0,227t+5,298$, avec $r\approx 0,99998$ : l’ajustement affine de la série $(t_i;z_i)$ est pleinement justifié.
3. Ordonnée à l’origine, au millième :
   $\beta \approx 5,298$. Alors $N=e^{0,227t+5,298}=e^{5,298}\times e^{0,227t}$ et $e^{5,298}\approx 199,9$ : on retient $N=200e^{0,227t}$. Comme $e^{0,227}\approx 1,255$, cela correspond à une hausse d’environ $25,5\%$ par semestre.
4. On écrit $N=k{e}^{\alpha t}$, avec $\alpha$ le coefficient directeur au millième et $k$ arrondi à l’unité. Nombre de comptes prévu au semestre $8$, en milliers (à l’unité) :
   $200e^{0,227\times 8}=200e^{1,816}\approx 1229$ milliers, soit environ $1,23$ million de comptes. Comme $8\notin [0;5]$, c’est une extrapolation : une croissance exponentielle ne peut pas se poursuivre indéfiniment.

Le coût unitaire $y$ (en euros) de fabrication d’un objet dépend du nombre $x$ de milliers d’unités produites.

1. Justifier qu’un ajustement affine de $y$ en $x$ n’est pas adapté. Baisse du coût quand $x$ passe de $1$ à $2$ : €
   Rédaction attendue. Quand $x$ passe de $1$ à $2$, le coût baisse de $12,1-7,2=4,9$ €, soit $4,9$ € par millier d’unités ; quand $x$ passe de $5$ à $10$, il baisse de $4,1-2,9=1,2$ €, soit $0,24$ € par millier. Le taux d’accroissement n’est pas constant : le nuage est courbé, une droite le décrirait mal.
2. On pose $z={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Droite de régression de $y$ en $z$ : coefficient directeur, au centième :
   $z_i=1$ ; $0,5$ ; $0,25$ ; $0,2$ ; $0,1$. La calculatrice donne $y=10,20z+1,96$, avec $r\approx 0,9995$ : la série $(z_i;y_i)$ est presque alignée.
3. Ordonnée à l’origine, au centième :
   $\beta \approx 1,96$, d’où $y={\displaystyle \frac{10,20}{x}}+1,96$. Le coût unitaire ne descend jamais sous $1,96$ € : c’est la part incompressible du coût.
4. Coût unitaire prévu pour $6000$ unités, au centime : €
   $x=6$ : $y={\displaystyle \frac{10,2}{6}}+1,96=1,7+1,96=3,66$ €. Comme $6\in [1;10]$, c’est une interpolation.

Une culture de bactéries compte $N$ milliers de bactéries au bout de $t$ heures : pour $t=0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$, on mesure $N=3,0$ ; $4,4$ ; $6,7$ ; $9,9$ ; $14,8$.

1. Démontrer que si $N=k{e}^{\alpha t}$ (avec $k>0$), alors $\ln N$ est une fonction affine de $t$ et $N$ est multiplié par $e^{\alpha }$ à chaque heure. Ici, ${\displaystyle \frac{N_1}{N_0}}$ au centième :
   Rédaction attendue. Si $N=k{e}^{\alpha t}$ avec $k>0$, alors $\ln N=\ln k+\ln (e^{\alpha t})=\alpha t+\ln k$ : $\ln N$ est une fonction affine de $t$. De plus ${\displaystyle \frac{N(t+1)}{N(t)}}={\displaystyle \frac{k{e}^{\alpha t+\alpha }}{k{e}^{\alpha t}}}=e^{\alpha }$, qui ne dépend pas de $t$. Ici, ${\displaystyle \frac{4,4}{3}}\approx 1,47$, ${\displaystyle \frac{6,7}{4,4}}\approx 1,52$, ${\displaystyle \frac{9,9}{6,7}}\approx 1,48$, ${\displaystyle \frac{14,8}{9,9}}\approx 1,49$ : des quotients presque constants, ce qui rend le modèle exponentiel plausible.
2. Droite de régression de $\ln N$ en $t$ : coefficient directeur, au millième :
   $\ln N\approx 1,099$ ; $1,482$ ; $1,902$ ; $2,293$ ; $2,695$. La calculatrice donne $\ln N=0,400t+1,093$, avec $r\approx 0,99992$.
3. $k=e^{1,093}$, au centième :
   $k=e^{1,093}\approx 2,98$ : $N\approx 2,98e^{0,400t}$ (en milliers).
4. Temps de doublement du modèle (durée $d$ telle que $N(t+d)=2N(t)$), au centième d’heure : h
   $N(t+d)=2N(t)⟺e^{0,4d}=2⟺d={\displaystyle \frac{\ln 2}{0,4}}\approx 1,73$ h, soit environ $1$ h $44$ min. Il ne dépend pas de l’instant $t$ de départ.
5. Avec le modèle obtenu (coefficient directeur au millième, $k$ au centième), nombre prévu au bout de $6$ heures, au dixième : milliers
   $2,98e^{2,4}\approx 32,8$ milliers de bactéries. C’est une extrapolation ($6\notin [0;4]$) : elle suppose que la culture garde assez de nourriture et de place pour continuer à croître au même rythme.