Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Statistiques — série double et régression
Nuage de points, droite des moindres carrés et coefficient de corrélation linéaire (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une série statistique double associe à chaque individu :
- A. une seule valeur
- B. deux valeurs quantitatives
- C. deux valeurs qualitatives
- D. une valeur qualitative
Réponse
B. deux valeurs quantitatives — Une série double $(x_i, y_i)$ associe deux valeurs quantitatives à chaque individu.
Le nuage de points d'une série double est représenté dans :
- A. un diagramme circulaire
- B. un histogramme
- C. un repère orthogonal
- D. une boîte à moustaches
Réponse
C. un repère orthogonal — On place chaque couple $(x_i, y_i)$ dans un repère $xOy$.
Le point moyen $G$ a pour coordonnées :
- A. (médiane x ; médiane y)
- B. $(\bar{x};\bar{y})$
- C. $(\sigma_X;\sigma_Y)$
- D. $(V(X);V(Y))$
Réponse
B. $(\bar{x};\bar{y})$ — $G=(\bar{x},\bar{y})$ est le barycentre du nuage.
La formule de la covariance simplifiée est :
- A. $\overline{xy} + \bar{x}\bar{y}$
- B. $\overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$
- C. $\bar{x} \cdot \bar{y}$
- D. $\overline{x^2}-\bar{x}^2$
Réponse
B. $\overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$ — $\text{Cov}(X,Y) = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$
Le coefficient de corrélation $r$ appartient toujours à :
- A. $[0;1]$
- B. $[-1;1]$
- C. $[0;+\infty[$
- D. $\mathbb{R}$
Réponse
B. $[-1;1]$ — $-1 \leq r \leq 1$ toujours (inégalité de Cauchy-Schwarz).
Si $r = 0{,}99$, la liaison linéaire est :
- A. très faible
- B. modérée
- C. très forte positive
- D. très forte négative
Réponse
C. très forte positive — $r$ proche de 1 et positif : liaison linéaire très forte et positive.
La droite de régression de $Y$ en $X$ passe par :
- A. l'origine
- B. le point $(0;b)$ uniquement
- C. le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$
- D. le point $(1;a+b)$ uniquement
Réponse
C. le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$ — La droite $y=ax+b$ passe toujours par $G(\bar{x},\bar{y})$.
Le coefficient directeur de la droite des moindres carrés est :
- A. $a = V(X)/\text{Cov}(X,Y)$
- B. $a = \text{Cov}(X,Y)/V(X)$
- C. $a = \sigma_X/\sigma_Y$
- D. $a = r\cdot V(X)$
Réponse
B. $a = \text{Cov}(X,Y)/V(X)$ — $a = \text{Cov}(X,Y)/V(X)$.
L'ordonnée à l'origine $b$ de la droite de régression vaut :
- A. $b = \bar{x} - a\bar{y}$
- B. $b = \bar{y} + a\bar{x}$
- C. $b = \bar{y} - a\bar{x}$
- D. $b = a\bar{x}/\bar{y}$
Réponse
C. $b = \bar{y} - a\bar{x}$ — $b = \bar{y} - a\bar{x}$.
Si $r = -0{,}95$, le nuage de points ressemble plutôt à :
- A. des points alignés de gauche à droite vers le haut
- B. des points sans direction
- C. des points alignés de gauche à droite vers le bas
- D. un cercle
Réponse
C. des points alignés de gauche à droite vers le bas — $r \lt 0$ : liaison négative, le nuage est orienté de haut-gauche à bas-droite.
$V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ est une formule pour :
- A. la covariance
- B. la variance de $X$
- C. l'écart-type de $X$
- D. le coefficient de corrélation
Réponse
B. la variance de $X$ — C'est la formule de König-Huygens pour la variance.
Une estimation de $y$ à partir de la droite de régression pour un $x$ en dehors de l'intervalle des données s'appelle :
- A. interpolation
- B. extrapolation
- C. régression inverse
- D. corrélation
Réponse
B. extrapolation — Extrapolation : on prédit au-delà de l'intervalle des données observées.
Niveau moyen — 12 questions
Pour $n=5$ couples, $\bar{x}=3$, $\overline{x^2}=11$. Quelle est $V(X)$ ?
- A. 2
- B. 8
- C. 14
- D. 6
Réponse
A. 2 — $V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=11-9=2$.
Si $\text{Cov}(X,Y)=12$, $V(X)=4$, que vaut $a$ ?
- A. 3
- B. 48
- C. $1/3$
- D. 8
Réponse
A. 3 — $a=\text{Cov}(X,Y)/V(X)=12/4=3$.
Pour la droite $y=2x+1$, quelle valeur de $y$ pour $x=4$ ?
- A. 9
- B. 7
- C. 10
- D. 8
Réponse
A. 9 — $y=2\times4+1=9$.
Si $a=3$, $\bar{x}=2$, $\bar{y}=9$, que vaut $b$ ?
- A. 3
- B. 15
- C. $-3$
- D. 6
Réponse
A. 3 — $b=9-3\times2=9-6=3$.
Le coefficient de corrélation est $r = \text{Cov}(X,Y)/(\sigma_X \sigma_Y)$. Si $\text{Cov}=6$, $\sigma_X=2$, $\sigma_Y=3$, que vaut $r$ ?
- A. 1
- B. $2$
- C. $0{,}5$
- D. $\frac{1}{3}$
Réponse
A. 1 — $r=6/(2\times3)=6/6=1$.
Un $r^2 = 0{,}81$ signifie que le modèle linéaire explique :
- A. 81% de la variance de $Y$
- B. $r=0{,}9$
- C. 81% de la moyenne de $Y$
- D. les deux premières réponses
Réponse
D. les deux premières réponses — $r^2=0{,}81$ → 81% de la variance de $Y$ expliquée, et $r=\pm0{,}9$.
Si $\text{Cov}(X,Y) \lt 0$, alors $r$ est :
- A. positif
- B. négatif
- C. nul
- D. impossible à déterminer
Réponse
B. négatif — $r=\text{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$ et $\sigma_X,\sigma_Y \gt 0$, donc le signe de $r$ est celui de $\text{Cov}$.
Pour 4 couples $(x_i,y_i)$ : $\sum x_i=8$, $\sum y_i=12$. Le point moyen $G$ est :
- A. $(2;3)$
- B. $(8;12)$
- C. $(4;6)$
- D. $(3;2)$
Réponse
A. $(2;3)$ — $\bar{x}=8/4=2$, $\bar{y}=12/4=3$, donc $G=(2;3)$.
Si $a \gt 0$ dans la droite de régression, cela signifie que :
- A. $r \lt 0$
- B. $\text{Cov}(X,Y) \lt 0$
- C. $X$ et $Y$ évoluent dans le même sens
- D. les points sont dispersés
Réponse
C. $X$ et $Y$ évoluent dans le même sens — $a \gt 0 \Leftrightarrow \text{Cov}(X,Y) \gt 0 \Leftrightarrow r \gt 0$ : liaison positive.
Si les 5 couples sont exactement alignés sur $y=2x+3$, que vaut $r$ ?
- A. 0
- B. 0,5
- C. 1
- D. −1
Réponse
C. 1 — Alignement parfait avec pente positive ↔ $r=1$.
Pour la droite $y=ax+b$, l'équation de la droite de $X$ en $Y$ est-elle la même ?
- A. Oui, toujours
- B. Non, sauf si $|r|=1$
- C. Non, jamais
- D. Oui si $a=1$
Réponse
B. Non, sauf si $|r|=1$ — Les deux droites sont différentes sauf si $|r|=1$ (alignement parfait).
Si on ajoute la même constante $c$ à tous les $y_i$, la pente $a$ de la droite de régression :
- A. augmente de $c$
- B. diminue de $c$
- C. ne change pas
- D. est multipliée par $c$
Réponse
C. ne change pas — Cov$(X,Y)$ ne change pas (centrage sur $\bar{y}$), donc $a$ est inchangé. Seul $b$ change.
Niveau difficile — 12 questions
Soit $(x_i,y_i)$ avec $\text{Cov}(X,Y)=0$. Quelle affirmation est vraie ?
- A. Il n'y a aucune liaison entre $X$ et $Y$
- B. Il n'y a pas de liaison linéaire, mais il peut y en avoir une non linéaire
- C. $r=1$
- D. La droite de régression est verticale
Réponse
B. Il n'y a pas de liaison linéaire, mais il peut y en avoir une non linéaire — $r=0$ signifie pas de liaison linéaire, mais une liaison quadratique ou autre est possible.
Si on multiplie tous les $x_i$ par 2, que devient $\text{Cov}(X,Y)$ ?
- A. Elle est multipliée par 2
- B. Elle est multipliée par 4
- C. Elle ne change pas
- D. Elle est divisée par 2
Réponse
A. Elle est multipliée par 2 — $\text{Cov}(2X,Y)=2\text{Cov}(X,Y)$ par linéarité.
Si on multiplie tous les $x_i$ par 2, que devient $a$ (pente de $Y$ en $X$) ?
- A. Elle double
- B. Elle est divisée par 2
- C. Elle ne change pas
- D. Elle est divisée par 4
Réponse
B. Elle est divisée par 2 — $a'=\text{Cov}(2X,Y)/V(2X)=2\text{Cov}/(4V)=a/2$.
$r = \pm1$ si et seulement si :
- A. les points sont proches d'une droite
- B. tous les points sont exactement alignés
- C. $V(X)=V(Y)$
- D. $\text{Cov}(X,Y)=V(X)$
Réponse
B. tous les points sont exactement alignés — $|r|=1$ si et seulement si tous les points sont alignés sur la droite de régression.
La droite de régression de $X$ en $Y$ minimise :
- A. $\sum(y_i-ax_i-b)^2$ (résidus verticaux)
- B. $\sum(x_i-a'y_i-b')^2$ (résidus horizontaux)
- C. la somme des distances euclidiennes
- D. le coefficient $r$
Réponse
B. $\sum(x_i-a'y_i-b')^2$ (résidus horizontaux) — La droite de $X$ en $Y$ minimise les résidus horizontaux $\sum(x_i-\hat{x}_i)^2$.
Si $r=-1$, la droite de régression de $Y$ en $X$ et celle de $X$ en $Y$ sont :
- A. parallèles
- B. perpendiculaires
- C. identiques
- D. orthogonales
Réponse
C. identiques — Quand $|r|=1$, les deux droites de régression coïncident.
La relation entre $r$, $a$ (pente $Y/X$) et $a'$ (pente $X/Y$) est :
- A. $r^2 = a \times a'$
- B. $r = a + a'$
- C. $r = a/a'$
- D. $r^2 = a/a'$
Réponse
A. $r^2 = a \times a'$ — $a = r\sigma_Y/\sigma_X$ et $1/a'=r\sigma_X/\sigma_Y$, donc $r^2=a\cdot a'$.
Si on échange les rôles de $X$ et $Y$, que devient le coefficient de corrélation ?
- A. Il change de signe
- B. Il reste identique
- C. Il est inversé ($1/r$)
- D. Il est nul
Réponse
B. Il reste identique — $\text{Cov}(Y,X)=\text{Cov}(X,Y)$ et $\sigma_X\sigma_Y$ identique, donc $r$ est symétrique.
Pour une série double parfaitement alignée sur $y=-3x+5$, quelle est la valeur de $r$ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $-1$
- D. $3$
Réponse
C. $-1$ — Alignement parfait avec pente négative ↔ $r=-1$.
Dans la formule $a=\text{Cov}(X,Y)/V(X)$, si $V(X)=0$, alors :
- A. $a=0$
- B. $a$ est infini, la droite est verticale, ce cas est exclu
- C. $a=r$
- D. $a=\bar{y}$
Réponse
B. $a$ est infini, la droite est verticale, ce cas est exclu — Si $V(X)=0$, tous les $x_i$ sont égaux, on ne peut pas ajuster une droite $y=f(x)$ : cas exclu en pratique.
Si le nuage montre une courbe en U, le modèle linéaire convient-il ?
- A. Oui, si $r \gt 0{,}87$
- B. Non, la liaison est quadratique, pas linéaire
- C. Oui, toujours
- D. Non, seulement si $r=0$
Réponse
B. Non, la liaison est quadratique, pas linéaire — Une courbe en U indique une liaison quadratique. Le modèle linéaire est inadapté, même si $r$ peut être faible.
Le coefficient de détermination $r^2$ vaut 0,64. Quelle fraction de la variance de $Y$ n'est pas expliquée par $X$ ?
- A. 64%
- B. 36%
- C. 80%
- D. 16%
Réponse
B. 36% — $r^2=0{,}64$ explique 64% de la variance de $Y$, donc $1-r^2=0{,}36$ soit 36% inexpliqué.
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