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Statistique à deux variables quantitatives

Rappels sur la moyenne, la variance et l’écart type, nuage de points et point moyen, droite des moindres carrés et sa démonstration, coefficient de corrélation, corrélation et causalité, interpolation et extrapolation, ajustements par changement de variable.

À propos de cette page
Un QCM de statistique à deux variables en trois niveaux de douze questions : point moyen, variance, résidus et coefficient de corrélation, calculs de a, b et de prévisions, puis pièges sur la causalité, les changements d’unité, les points aberrants et l’extrapolation lointaine. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Le point moyen G d’une série statistique double a pour coordonnées :

    • A. la médiane des xᵢ et la médiane des yᵢ
    • B. les coordonnées du premier point du nuage
    • C. la moyenne des xᵢ et la moyenne des yᵢ
    • D. l’étendue des xᵢ et l’étendue des yᵢ
    Réponse

    C. la moyenne des xᵢ et la moyenne des yᵢ — Par définition, G(x̄ ; ȳ) : son abscisse est la moyenne des abscisses, son ordonnée la moyenne des ordonnées.

  2. Le coefficient de corrélation linéaire r appartient toujours à :

    • A. l’intervalle [−1 ; 1]
    • B. l’intervalle [0 ; 1]
    • C. l’intervalle [−1 ; 0]
    • D. l’intervalle [0 ; 100]
    Réponse

    A. l’intervalle [−1 ; 1] — r est négatif pour un nuage décroissant et positif pour un nuage croissant, mais sa valeur absolue ne dépasse jamais 1.

  3. La droite des moindres carrés d’un nuage passe toujours par :

    • A. le premier point du nuage
    • B. l’origine du repère choisi
    • C. le point le plus éloigné des autres
    • D. le point moyen G du nuage
    Réponse

    D. le point moyen G du nuage — Comme b = ȳ − a x̄, on a a x̄ + b = ȳ : les coordonnées de G vérifient l’équation de la droite.

  4. Si a est le coefficient directeur de la droite de régression de y en x, alors :

    • A. r et a sont toujours de signes contraires
    • B. r et a ont toujours le même signe
    • C. r est toujours positif, quel que soit a
    • D. a est toujours positif, quel que soit r
    Réponse

    B. r et a ont toujours le même signe — a = r × σy / σx et les écarts types sont strictement positifs : a et r ont donc le même signe.

  5. Estimer y pour une valeur de x située hors de la plage des données s’appelle :

    • A. une extrapolation
    • B. une interpolation
    • C. une corrélation
    • D. une covariance
    Réponse

    A. une extrapolation — Dans la plage observée, on interpole ; en dehors, on extrapole, et l’estimation ne vaut que si la tendance se poursuit.

  6. Pour une série double, on trouve r = 0,02. On peut en conclure que :

    • A. les points du nuage sont presque alignés
    • B. les deux variables sont indépendantes
    • C. un ajustement affine n’est pas pertinent
    • D. la droite obtenue est nettement décroissante
    Réponse

    C. un ajustement affine n’est pas pertinent — |r| très proche de 0 signifie qu’il n’y a pas de lien affine ; un lien d’une autre forme (courbé, périodique) reste possible : parler de variables indépendantes serait abusif.

  7. Dans la formule a = Cov(x, y) / V(x), la quantité V(x) désigne :

    • A. l’écart type de la série des xᵢ
    • B. la variance de la série des xᵢ
    • C. la moyenne de la série des xᵢ
    • D. la covariance des séries x et y
    Réponse

    B. la variance de la série des xᵢ — V(x) est la moyenne des carrés des écarts à x̄ : c’est la variance ; l’écart type σx en est la racine carrée.

  8. Si tous les points d’un nuage sont alignés sur une droite décroissante, alors :

    • A. r est égal à 0
    • B. r est égal à 1
    • C. r est égal à 0,5
    • D. r est égal à −1
    Réponse

    D. r est égal à −1 — |r| = 1 caractérise l’alignement parfait, et r a le signe de la pente : une droite décroissante donne r = −1.

  9. Les valeurs 3 ; 5 ; 7 ; 9 ont pour moyenne 6. Leur variance vaut :

    • A. 20
    • B. 6,67
    • C. 2,24
    • D. 5
    Réponse

    D. 5 — Écarts : −3, −1, 1, 3 ; carrés : 9, 1, 1, 9, de somme 20 ; on divise par 4 : V = 5. 20 est la somme des carrés, 6,67 la division par 3 au lieu de 4, et 2,24 l’écart type.

  10. Une série de longueurs a pour écart type 3 cm. Exprimées en millimètres, ces longueurs ont pour écart type :

    • A. 3 mm
    • B. 30 mm
    • C. 300 mm
    • D. 13 mm
    Réponse

    B. 30 mm — Chaque valeur est multipliée par 10, donc chaque écart à la moyenne aussi : l’écart type devient 30 mm. C’est la variance qui serait multipliée par 100.

  11. Pour une droite d’ajustement, le résidu d’un point du nuage est :

    • A. l’écart entre ce point et le point moyen
    • B. la distance de ce point à l’origine
    • C. la valeur observée moins la valeur prédite
    • D. la valeur prédite divisée par l’observée
    Réponse

    C. la valeur observée moins la valeur prédite — Le résidu est l’écart vertical yᵢ − (a xᵢ + b) : positif si le point est au-dessus de la droite, négatif s’il est au-dessous.

  12. Si y semble croître de façon exponentielle avec x, pour se ramener à un ajustement affine on pose :

    • A. z = ln y
    • B. z = 1/x
    • C. z = y²
    • D. z = e^y
    Réponse

    A. z = ln y — Si y = k e^(αx), alors ln y = αx + ln k : ln y est une fonction affine de x.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Une série vérifie Cov(x, y) = 20,4 et V(x) = 6,8. Le coefficient directeur a de la droite des moindres carrés vaut :

    • A. 0,33
    • B. 3
    • C. 13,6
    • D. 138,72
    Réponse

    B. 3 — a = Cov(x, y) / V(x) = 20,4 / 6,8 = 3. 0,33 est le quotient inversé, 138,72 le produit.

  2. On a x̄ = 7, ȳ = 23 et a = 2,5. L’ordonnée à l’origine b de la droite des moindres carrés vaut :

    • A. 40,5
    • B. 17,5
    • C. 2,2
    • D. 5,5
    Réponse

    D. 5,5 — b = ȳ − a x̄ = 23 − 2,5 × 7 = 23 − 17,5 = 5,5.

  3. La droite d’ajustement est y = 0,8x + 12. L’estimation de y pour x = 25 vaut :

    • A. 32
    • B. 20
    • C. 12,8
    • D. 37
    Réponse

    A. 32 — 0,8 × 25 + 12 = 20 + 12 = 32 ; 20 oublie l’ordonnée à l’origine.

  4. Une série vérifie Cov(x, y) = −9,6, σx = 3 et σy = 4. Le coefficient r vaut :

    • A. −0,64
    • B. 0,8
    • C. −0,8
    • D. −1,2
    Réponse

    C. −0,8 — r = −9,6 / (3 × 4) = −9,6 / 12 = −0,8 : le nuage est décroissant et bien ajusté.

  5. Avec l’ajustement y = −1,5x + 48, la valeur de x qui donne y = 12 est :

    • A. 30
    • B. 40
    • C. 18
    • D. 24
    Réponse

    D. 24 — −1,5x + 48 = 12 donne −1,5x = −36, donc x = 36 / 1,5 = 24.

  6. Après le changement de variable z = ln y, on obtient z = 0,5x + 2. Alors :

    • A. y = e² × e^(0,5x)
    • B. y = 0,5x + e²
    • C. y = e^(0,5x) + e²
    • D. y = ln(0,5x + 2)
    Réponse

    A. y = e² × e^(0,5x) — ln y = 0,5x + 2 donne y = e^(0,5x + 2) = e² × e^(0,5x) : l’exponentielle d’une somme est un produit.

  7. Pour la droite y = 1,2x + 3, le résidu du point de coordonnées (10 ; 16) vaut :

    • A. −1
    • B. 15
    • C. 1
    • D. 16
    Réponse

    C. 1 — Valeur prédite : 1,2 × 10 + 3 = 15 ; résidu : 16 − 15 = 1 : le point est au-dessus de la droite.

  8. Les abscisses observées vont de 6 à 22. Estimer y pour x = 13, c’est :

    • A. une extrapolation, donc peu fiable
    • B. une interpolation, donc plutôt fiable
    • C. impossible sans recalculer la droite
    • D. obtenir la valeur exacte de y
    Réponse

    B. une interpolation, donc plutôt fiable — 13 est dans [6 ; 22] : on reste dans la plage où le modèle a été construit. L’estimation est raisonnable, mais reste une estimation.

  9. Le point moyen du nuage formé par les points (1 ; 2), (3 ; 8) et (5 ; 5) est :

    • A. G(3 ; 8)
    • B. G(2 ; 4)
    • C. G(3 ; 5)
    • D. G(5 ; 5)
    Réponse

    C. G(3 ; 5) — x̄ = (1 + 3 + 5) / 3 = 3 et ȳ = (2 + 8 + 5) / 3 = 5, donc G(3 ; 5), qui n’est pas un point du nuage.

  10. Un nuage de 10 points a pour point moyen G(4 ; 30). La somme des ordonnées des points vaut :

    • A. 300
    • B. 34
    • C. 40
    • D. 120
    Réponse

    A. 300 — La somme des ordonnées vaut l’effectif fois la moyenne : 10 × 30 = 300.

  11. La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 2 et le point moyen est G(5 ; 17). Son ordonnée à l’origine vaut :

    • A. 27
    • B. 12
    • C. 3
    • D. 7
    Réponse

    D. 7 — La droite passe par G : 2 × 5 + b = 17, donc b = 7.

  12. Une calculatrice affiche r² = 0,81 pour une droite de régression décroissante. Alors r vaut :

    • A. 0,9
    • B. −0,9
    • C. −0,81
    • D. 0,6561
    Réponse

    B. −0,9 — r a le signe du coefficient directeur, ici négatif, et |r| = √0,81 = 0,9 : r = −0,9.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Les points d’un nuage sont exactement sur la parabole d’équation y = x², pour x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Alors :

    • A. r est nul : aucun lien affine
    • B. r vaut 1 : lien parfait croissant
    • C. r vaut −1 : lien parfait décroissant
    • D. r vaut 0,5 : lien affine moyen
    Réponse

    A. r est nul : aucun lien affine — Par symétrie, Cov(x, y) = 0, donc r = 0, alors que y est entièrement déterminé par x : r ne mesure que l’alignement.

  2. Deux variables ont un coefficient de corrélation r = 0,96. On peut en déduire que :

    • A. la première variable est la cause de la seconde
    • B. la seconde variable est la cause de la première
    • C. les points sont proches d’une droite croissante
    • D. une troisième variable agit forcément sur les deux
    Réponse

    C. les points sont proches d’une droite croissante — r décrit seulement la forme du nuage. Une variable cachée est une explication possible, pas une certitude ; la causalité ne se lit jamais sur r.

  3. On convertit toutes les valeurs de y de mètres en centimètres (on les multiplie par 100). Alors :

    • A. r est multiplié par 100, a est inchangé
    • B. r est inchangé, a est multiplié par 100
    • C. r et a restent tous les deux inchangés
    • D. r est divisé par 100, a est multiplié par 100
    Réponse

    B. r est inchangé, a est multiplié par 100 — La covariance et σy sont multipliées par 100 : leur quotient r ne change pas. En revanche a = Cov(x, y) / V(x) est multiplié par 100.

  4. La droite de régression de y en x et celle de x en y :

    • A. sont toujours confondues, par symétrie
    • B. sont toujours perpendiculaires
    • C. ne se coupent en aucun point du plan
    • D. sont confondues seulement si |r| = 1
    Réponse

    D. sont confondues seulement si |r| = 1 — Les deux droites passent par G, donc elles se coupent toujours ; elles ne coïncident que lorsque les points sont parfaitement alignés.

  5. On ajoute à une série un point très éloigné du reste du nuage. Ce point :

    • A. ne change ni r ni la droite obtenue
    • B. fait toujours augmenter la valeur de r
    • C. peut modifier fortement r et la droite
    • D. modifie la droite mais jamais r
    Réponse

    C. peut modifier fortement r et la droite — La méthode rend minimale une somme de carrés : un grand résidu pèse très lourd. Un seul point aberrant peut faire chuter |r| et basculer la droite.

  6. Sur un échantillon de 5 couples seulement, on obtient r = 0,99. La conclusion la plus prudente est :

    • A. la relation entre x et y est causale
    • B. l’alignement est net mais l’échantillon est petit
    • C. toute extrapolation est désormais fiable
    • D. le nuage ne contient aucun point isolé
    Réponse

    B. l’alignement est net mais l’échantillon est petit — Avec peu de points, une forte corrélation peut apparaître par hasard ; un r élevé ne dit rien de la cause ni de la validité du modèle hors de la plage.

  7. Le modèle y = 0,9x + 14 a été obtenu avec des données où x varie de 10 à 40. La valeur prévue pour x = 300 :

    • A. est fiable, car le calcul est exact
    • B. est fiable, car r est proche de 1
    • C. est fiable, car 300 est positif
    • D. n’est pas fiable : extrapolation lointaine
    Réponse

    D. n’est pas fiable : extrapolation lointaine — Le calcul est exact, mais il porte sur un modèle construit sur [10 ; 40] : rien ne garantit que la tendance affine vaille encore sept fois plus loin.

  8. Après le changement de variable z = 1/x, on obtient l’ajustement y = 6z + 2. On en déduit :

    • A. y = 6/x + 2
    • B. y = 6/(x + 2)
    • C. y = 6x + 2
    • D. y = 1/(6x + 2)
    Réponse

    A. y = 6/x + 2 — On remplace z par 1/x : seul le terme en z change, l’ordonnée à l’origine 2 reste telle quelle.

  9. En ajustant ln y en fonction de ln x, on obtient ln y = 2 ln x + 1. Le modèle obtenu est :

    • A. y = 2x + e
    • B. y = e × x²
    • C. y = x² + e
    • D. y = e^(2x + 1)
    Réponse

    B. y = e × x² — y = e^(2 ln x + 1) = e¹ × e^(2 ln x) = e × x² : c’est un modèle puissance de la forme y = k x^p, avec k = e et p = 2.

  10. Pour la droite des moindres carrés, la somme des résidus de tous les points :

    • A. est toujours strictement positive
    • B. vaut la variance des yᵢ
    • C. vaut le carré du coefficient r
    • D. est toujours égale à 0
    Réponse

    D. est toujours égale à 0 — La somme des résidus vaut Σ(yᵢ − ȳ) − a Σ(xᵢ − x̄), car b = ȳ − a x̄ ; les deux sommes d’écarts à la moyenne sont nulles.

  11. Pour une valeur de a fixée, la somme des carrés des résidus s’écrit S = 5b² − 40b + 92. Elle est minimale pour b égal à :

    • A. 4
    • B. 8
    • C. 20
    • D. 40
    Réponse

    A. 4 — Trinôme de coefficient 5 > 0 : minimum en b = 40 / (2 × 5) = 4. C’est la première étape de la démonstration des moindres carrés.

  12. Une série vérifie V(x) = 4, V(y) = 9 et r = 0,5. La covariance Cov(x, y) vaut :

    • A. 18
    • B. 1,5
    • C. 3
    • D. 6
    Réponse

    C. 3 — Cov(x, y) = r × σx × σy, avec σx = √4 = 2 et σy = √9 = 3 : Cov(x, y) = 0,5 × 2 × 3 = 3. 18 utilise les variances au lieu des écarts types.

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