Statistique à deux variables quantitatives

1. a)$\bar{x}={\displaystyle \frac{3+6+9+12+15}{5}}={\displaystyle \frac{45}{5}}=9$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{22+29+33+41+46}{5}}={\displaystyle \frac{171}{5}}=34,2$. Donc $G(9;34,2)$. (1)
2. b)Les écarts $x_i-\bar{x}$ valent $-6;-3;0;3;6$, de carrés $36;9;0;9;36$. Donc $V(x)={\displaystyle \frac{36+9+0+9+36}{5}}={\displaystyle \frac{90}{5}}=18$ et ${\sigma }_x=\sqrt{18}\approx 4,24$ min. (1)
3. c)Les écarts $y_i-\bar{y}$ valent $-12,2;-5,2;-1,2;6,8;11,8$. Somme des produits des écarts : $73,2+15,6+0+20,4+70,8=180$, donc $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)={\displaystyle \frac{180}{5}}=36$.$$a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}={\displaystyle \frac{36}{18}}=2,$$ $$b=\bar{y}-a\bar{x}=34,2-2\times 9=16,2.$$Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est $y=2x+16,2$. Pour $x=9$ : $2\times 9+16,2=34,2=\bar{y}$, la droite passe bien par $G$. (1)
4. d)$\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=148,84+27,04+1,44$ $+46,24+139,24=362,8$, donc $V(y)={\displaystyle \frac{362,8}{5}}=72,56$. Alors $r={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}}={\displaystyle \frac{36}{\sqrt{18\times 72,56}}}\approx 0,996$. $|r|$ est très proche de $1$ et $r>0$ : les points sont presque alignés sur une droite croissante, l’ajustement affine est justifié. (1)
5. e)$y=2\times 20+16,2=56,2$ g. Comme $20\notin [3;15]$, c’est une extrapolation : l’estimation n’est valable que si la tendance affine se poursuit au-delà de $15$ minutes (la dissolution finit par s’arrêter quand l’eau est saturée). (1)

Repère — Le point moyen sert de contrôle : la droite des moindres carrés passe toujours par $G$.

1. a)Selon le modèle, le pourcentage de foyers équipés baisse d’environ $0,48$ point par an. $2026$ correspond à $x=10$ : $y=-0,48\times 10+31,7=26,9$, soit environ $26,9\%$. Les relevés couvrent $x\in [0;9]$ et $10\notin [0;9]$ : c’est une extrapolation, proche de la plage observée, donc plausible si la tendance se maintient. (1)
2. b)$-0,48x+31,7<25$ $⟺-0,48x<-6,7$ $⟺x>{\displaystyle \frac{6,7}{0,48}}\approx 13,96$ (on divise par un nombre négatif : le sens change). Le premier entier qui convient est $x=14$, c’est-à-dire l’année $2016+14=2030$. (1)
3. c)$-0,48x+31,7<0⟺x>{\displaystyle \frac{31,7}{0,48}}\approx 66,04$, donc à partir de $x=67$, soit l’année $2016+67=2083$. Un pourcentage négatif est impossible : le modèle affine ne peut pas être utilisé loin de la plage des données ; un taux d’équipement ne baisse pas de façon affine sans fin, il se rapproche plutôt de $0$. (1)

Repère — Hors de la plage des données, une prévision s’accompagne toujours de la réserve « si la tendance se poursuit ».

1. a)$z_1=\ln 480\approx 6,174$ ; $z_2=\ln 350\approx 5,858$ ; $z_3=\ln 262\approx 5,568$ ; $z_4=\ln 190\approx 5,247$ ; $z_5=\ln 140\approx 4,942$. (1)
2. b)La calculatrice donne $z=-0,308t+6,480$ avec $r\approx -0,9999$ : $|r|$ est extrêmement proche de $1$, les points $(t_i;z_i)$ sont presque alignés et l’ajustement affine de $z$ en $t$ est justifié. (1)
3. c)$\ln y=-0,308t+6,480$ donne, en composant par l’exponentielle, $y=e^{-0,308t+6,480}=e^{6,480}\times e^{-0,308t}$. Or $e^{6,480}\approx 652$, donc $y\approx 652e^{-0,308t}$ becquerels. (1)
4. d)Pour $t=8$ : $0,308\times 8=2,464$ et $y\approx 652e^{-2,464}\approx 55,5$ Bq. Comme $8\notin [1;5]$, c’est une extrapolation, raisonnable ici car la décroissance radioactive suit justement une loi exponentielle. (1)

Repère — Après un changement de variable, on revient toujours à la variable d’origine : $e^{\alpha t+\beta }=e^{\beta }{e}^{\alpha t}$.

1. a)$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)=34,2>0$. Comme $a={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x,y)}{V(x)}}$ avec $V(x)>0$, le coefficient directeur est positif : le nuage est croissant (les collèges les mieux équipés ont, en moyenne, de meilleurs scores). (1)
2. b)$a={\displaystyle \frac{34,2}{27,5}}\approx 1,244$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}\approx 52,5-1,243636\times 18\approx 30,11$ (calcul fait avec $a$ non arrondi). Droite : $y=1,244x+30,11$. (1)
3. c)Valeur prédite : $1,243636\times 22+30,1145\approx 57,47$. Résidu : $58,4-57,47\approx 0,93>0$ (environ $0,92$ avec la droite arrondie $y=1,244x+30,11$) : ce collège est au-dessus de la droite, il réussit un peu mieux que ne le prévoit le modèle. (1)
4. d)Le principal confond corrélation et causalité. Une variable cachée, par exemple les ressources des communes ou le milieu social des élèves, peut agir à la fois sur l’équipement informatique et sur les résultats. Les données décrivent une association entre collèges ; elles ne permettent pas de prévoir l’effet d’une action dans un collège donné : seule une expérience contrôlée le pourrait. (1)

Repère — Une corrélation, même forte, ne dit jamais quelle variable agit sur l’autre.

1. a)$\bar{x}={\displaystyle \frac{61}{6}}\approx 10,167$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{113}{6}}\approx 18,833$ ; on obtient $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\approx 21,17$, $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\approx 98,83$ et $\sum (y_i-\bar{y}{)}^2\approx 470,83$, d’où $r\approx {\displaystyle \frac{21,17}{\sqrt{98,83\times 470,83}}}\approx 0,098$. Cette valeur très faible ne veut pas dire qu’il n’y a pas de tendance : sur le nuage, les cinq premiers points montent régulièrement, et c’est le dernier relevé, isolé tout en bas, qui fait chuter $r$. (1)
2. b)Sur les cinq premiers relevés : $\bar{x}={\displaystyle \frac{45}{5}}=9$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{108}{5}}=21,6$, donc $G(9;21,6)$. $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=118$ et $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=58$, d’où $a={\displaystyle \frac{118}{58}}\approx 2,03$ et $b=21,6-{\displaystyle \frac{118}{58}}\times 9\approx 3,29$ : $y=2,03x+3,29$ (avec $r\approx 0,998$). (1)
3. c)Avec la droite $y=2,03x+3,29$ : valeur prédite en $x=16$, $2,03\times 16+3,29=35,77$ cm. Résidu : $5-35,77=-30,77$ cm (avec les coefficients non arrondis, on trouve $\approx -30,84$ cm). C’est énorme en valeur absolue devant les autres écarts (tous inférieurs à $1$ cm) : le relevé est bien aberrant. (1)
4. d)On ne peut l’écarter que si une cause extérieure aux données le justifie : plant cassé, erreur de saisie ou de mesure. Le compte rendu doit signaler ce relevé, indiquer la raison de son retrait et donner les deux résultats (avec et sans lui) : rien ne se supprime en silence. (1)

Repère — Un seul point isolé peut faire chuter $r$ : on regarde toujours le nuage avant de conclure.