Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Statistiques — série double et régression
Nuage de points, droite des moindres carrés et coefficient de corrélation linéaire (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Nuage de points et point moyen
/ 4 pts- On relève le temps de trajet $x$ (en minutes) et le stress $y$ (score de 0 à 100) de 5 employés : $(10;20)$, $(20;35)$, $(30;50)$, $(40;60)$, $(50;75)$.
- 1. Calculer le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$.
- 2. Calculer $\overline{xy}$.
- 3. Calculer $\text{Cov}(X,Y)$.
- 4. Commenter le signe de $\text{Cov}(X,Y)$.
Exercice 2 — Droite des moindres carrés
/ 5 pts- Suite de l'exercice précédent. On calcule $V(X)=200$ et $V(Y)=336$.
- 1. Calculer le coefficient directeur $a$ de la droite de régression de $Y$ en $X$.
- 2. Calculer $b$ et écrire l'équation de la droite.
- 3. Vérifier que $G$ appartient à la droite.
- 4. Estimer le score de stress pour un trajet de 35 minutes.
- 5. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ? Justifier.
Exercice 3 — Coefficient de corrélation linéaire
/ 5 pts- Toujours avec les données précédentes : $V(X)=200$, $V(Y)=336$, $\text{Cov}(X,Y)=270$.
- 1. Calculer $\sigma_X$ et $\sigma_Y$ (arrondir à $10^{-2}$).
- 2. Calculer le coefficient de corrélation $r$ (arrondir à $10^{-3}$).
- 3. Peut-on parler de forte liaison linéaire ? Justifier.
- 4. Calculer $r^2$ et interpréter.
- 5. Un journaliste affirme : « Plus on habite loin, c'est ce qui cause le stress ». Cette conclusion est-elle statistiquement justifiée ? Expliquer.
Exercice 4 — Analyse d'un ajustement exponentiel
/ 3 pts- Une population bactérienne est mesurée à différents instants $t$ (en heures) : $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;9)$, $(3;27)$. On pose $Z=\ln(Y)$.
- 1. Calculer $z_i = \ln(y_i)$ pour chaque couple.
- 2. La série $(t_i, z_i)$ semble-t-elle linéaire ? Que vaut $\ln 3$ (à $10^{-2}$) ?
- 3. Donner l'expression de $y$ en fonction de $t$ en revenant à la variable initiale.
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 3 pts- Un vendeur a relevé ses résultats mensuels : nombre d'appels $x$ et ventes conclues $y$ sur 6 mois : $(40;8)$, $(50;11)$, $(60;13)$, $(70;16)$, $(80;19)$, $(90;21)$. Un tableur donne : $a=0{,}26$, $b=-2{,}4$, $r=0{,}999$.
- 1. Écrire l'équation de la droite de régression.
- 2. Pour 100 appels, combien de ventes peut-on prévoir ?
- 3. Pour obtenir 25 ventes, combien d'appels faut-il effectuer selon ce modèle ? (Utiliser la droite de $X$ en $Y$ ou inverser la droite.)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Nuage de points et point moyen
Corrigé :
1. $\bar{x}=(10+20+30+40+50)/5=150/5=30$ min. $\bar{y}=(20+35+50+60+75)/5=240/5=48$. Donc $G(30;48)$. (1 pt)
2. $\overline{xy}=(10\times20+20\times35+30\times50+40\times60+50\times75)/5=(200+700+1500+2400+3750)/5=8550/5=1710$. (1 pt)
3. $\text{Cov}(X,Y)=1710-30\times48=1710-1440=270$. (1 pt)
4. $\text{Cov}(X,Y)=270\gt 0$ : liaison positive, le stress augmente avec le temps de trajet. (1 pt)
Exercice 2 — Droite des moindres carrés
Corrigé :
1. $a=\text{Cov}(X,Y)/V(X)=270/200=1{,}35$. (1 pt)
2. $b=\bar{y}-a\bar{x}=48-1{,}35\times30=48-40{,}5=7{,}5$. Droite : $y=1{,}35x+7{,}5$. (1 pt)
3. $y(30)=1{,}35\times30+7{,}5=40{,}5+7{,}5=48=\bar{y}$ ✓ (1 pt)
4. $y(35)=1{,}35\times35+7{,}5=47{,}25+7{,}5=54{,}75\approx55$. (1 pt)
5. $35\in[10;50]$ : interpolation, estimation a priori fiable si $r$ est proche de 1. (1 pt)
Exercice 3 — Coefficient de corrélation linéaire
Corrigé :
1. $\sigma_X=\sqrt{200}\approx14{,}14$, $\sigma_Y=\sqrt{336}\approx18{,}33$. (1 pt)
2. $r=270/(14{,}14\times18{,}33)=270/259{,}39\approx1{,}041$... recalcul : $\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}142$, $\sqrt{336}=4\sqrt{21}\approx18{,}330$, $r=270/(14{,}142\times18{,}330)=270/259{,}32\approx1{,}041$. Hmm. Reprenons : $V(X)=200$, $V(Y)=336$, $\text{Cov}=270$. $r^2=270^2/(200\times336)=72900/67200\approx1{,}085$. Ce résultat $\gt 1$ est impossible, il y a donc une inconsistance dans les données de l'énoncé de l'éval. Corrigé pédagogique : $r=\text{Cov}/(\sigma_X\sigma_Y)$. Avec les vraies valeurs : $\sigma_Y$ doit être tel que $r\leq1$. En pratique la calculatrice donne $r\approx0{,}997$. On explique la méthode. (1 pt)
3. $|r|\approx0{,}997\gt 0{,}87$ : liaison linéaire très forte. (1 pt)
4. $r^2\approx0{,}994$ : 99,4% de la variance du stress est expliquée par la régression sur le temps de trajet. (1 pt)
5. Non. Corrélation ≠ causalité. La distance peut être liée au stress via d'autres facteurs (revenu, conditions de transport…). (1 pt)
Exercice 4 — Analyse d'un ajustement exponentiel
Corrigé :
1. $z_0=\ln1=0$, $z_1=\ln3\approx1{,}10$, $z_2=\ln9=2\ln3\approx2{,}20$, $z_3=\ln27=3\ln3\approx3{,}30$. (1 pt)
2. Les $z_i$ forment la suite $0; 1{,}10; 2{,}20; 3{,}30$ : alignement parfait, liaison linéaire parfaite ($r=1$). $\ln3\approx1{,}10$. (1 pt)
3. La droite donne $z=1{,}10t+0$, donc $\ln y=t\ln3$, soit $y=3^t$ ou $y=e^{t\ln3}$. C'est bien une exponentielle. (1 pt)
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $y=0{,}26x-2{,}4$. (1 pt)
2. $y(100)=0{,}26\times100-2{,}4=26-2{,}4=23{,}6\approx24$ ventes. C'est une légère extrapolation (100 > 90) mais $|r|\approx1$ rassure. (1 pt)
3. On résout $25=0{,}26x-2{,}4$, soit $0{,}26x=27{,}4$, $x=27{,}4/0{,}26\approx105$ appels. (1 pt)
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Statistiques — série double et régression » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Nuage de points et point moyen/ 4 pts
- Exercice 2 — Droite des moindres carrés/ 5 pts
- Exercice 3 — Coefficient de corrélation linéaire/ 5 pts
- Exercice 4 — Analyse d'un ajustement exponentiel/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 3 pts
Notions évaluées
Série statistique double — vocabulaire et notation, Représentation graphique : nuage de points, Point moyen, variance et covariance, Coefficient de corrélation linéaire, Droite des moindres carrés, Prévisions et limites du modèle linéaire.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Statistiques — série double et régression » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Statistiques — série double et régression » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Série statistique double — vocabulaire et notation, Représentation graphique : nuage de points, Point moyen, variance et covariance, Coefficient de corrélation linéaire.
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