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Fiche de révision : statistique à deux variables quantitatives

Rappels sur la moyenne, la variance et l’écart type, nuage de points et point moyen, droite des moindres carrés et sa démonstration, coefficient de corrélation, corrélation et causalité, interpolation et extrapolation, ajustements par changement de variable.

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Statistique à deux variables quantitatives

Fiche méthode

(Mathématiques complémentaires Terminale · Probabilités et statistique)

La démarche pour étudier une série double

1. Je regarde le nuage : forme (alignée ou courbée), sens, points isolés, plage des abscisses.

2. Je résume : point moyen $G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})$ , puis coefficient de corrélation $r$ pour juger l’alignement.

3. J’ajuste : droite des moindres carrés $y = a x + b$ si $| r |$ est proche de $1$ , sinon changement de variable puis retour à $y$ .

4. Je prévois et je critique : interpolation ou extrapolation, réserve « si la tendance se poursuit », jamais de cause tirée de $r$ .

Le réflexe — chaque résultat se donne avec ce qu’il signifie : «

r \approx 0, 98

, donc les points sont presque alignés », «

x = 15

est hors de la plage, c’est une extrapolation ». Un nombre seul ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Moyenne, variance, écart type

Réflexe — moyenne, écarts (somme nulle), carrés, variance = moyenne des carrés, écart type = racine ; changement d’unité y = ax + b : σ multiplié par |a|.

Exemple. Questions types : « Calculer la moyenne et l’écart type de la série ». Exemple : durées de quatre appels, en minutes : $3$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ .

$\overset{―}{x} = \frac{28}{4} = 7$ min.

Écarts : $- 4$ ; $0$ ; $1$ ; $3$ ; carrés : $16$ ; $0$ ; $1$ ; $9$ , de somme $26$ .

$V (x) = \frac{26}{4} = 6, 5$ et $σ_{x} = \sqrt{6, 5} \approx 2, 55$ min.

Attention — la calculatrice donne σx (division par n) et sx (division par n − 1) : le cours utilise σx.

Cas 2 · Nuage et point moyen

Réflexe — je décris le nuage (forme, sens, point isolé), puis G(x̄ ; ȳ) avec deux moyennes séparées.

Exemple. Questions types : « Représenter le nuage », « Calculer les coordonnées du point moyen ». Exemple : $x_{i}$ = $10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$ et $y_{i}$ = $3$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ .

Le nuage est croissant, presque aligné, sans point isolé.

$\overset{―}{x} = \frac{100}{4} = 25$ et $\overset{―}{y} = \frac{24}{4} = 6$ .

Point moyen : $G (25; 6)$ , qui n’est pas un point du nuage.

Attention — G n’est ni le milieu des points extrêmes, ni le point des médianes.

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Cas 3 · Droite des moindres carrés

Réflexe — a = Cov(x, y)/V(x), b = ȳ − a x̄ (ou calculatrice) ; je contrôle a x̄ + b = ȳ.

Exemple. Questions types : « Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ ». Exemple : $\overset{―}{x} = 6$ , $\overset{―}{y} = 30$ , $C o v (x, y) = 15$ , $V (x) = 4$ .

$a = \frac{15}{4} = 3, 75$ et $b = 30 - 3, 75 \times 6 = 30 - 22, 5 = 7, 5$ .

Droite : $y = 3, 75 x + 7, 5$ . Contrôle : $3, 75 \times 6 + 7, 5 = 30 = \overset{―}{y}$ .

À la calculatrice, on rédige : « une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est $y = 1, 843 x + 24, 06$ » en recopiant les valeurs affichées avec les arrondis demandés.

Attention — on garde a et b non arrondis pour la suite ; la droite de x en y est une autre droite.

Cas 4 · Coefficient de corrélation

Réflexe — r = Cov(x, y)/(σx σy) ; signe = sens du nuage ; |r| proche de 1 : ajustement affine justifié.

Exemple. Questions types : « Calculer $r$ et interpréter », « Peut-on parler de cause ? ». Exemple : $C o v (x, y) = - 12$ , $σ_{x} = 4$ , $σ_{y} = 3, 5$ .

$r = \frac{- 12}{4 \times 3, 5} = \frac{- 12}{14} \approx - 0, 857$ .

Nuage décroissant, tendance affine nette mais dispersion visible : l’ajustement est acceptable, avec prudence.

Cause : $r$ ne la prouve jamais ; on cherche une variable cachée ou un mécanisme.

Attention — r proche de 0 : pas de lien affine, mais un lien courbé reste possible.

Cas 5 · Interpoler, extrapoler

Réflexe — plage [x min ; x max] ; dedans : interpolation ; dehors : extrapolation « si la tendance se poursuit ».

Exemple. Questions types : « Estimer $y$ pour… », « À partir de quand… ? ». Exemple : données pour $x \in [5; 15]$ , ajustement $y = - 0, 75 x + 58$ .

Pour $x = 9$ : $y = - 0, 75 \times 9 + 58 = 51, 25$ ; $9 \in [5; 15]$ , c’est une interpolation.

Pour $x = 20$ : $y = - 0, 75 \times 20 + 58 = 43$ ; $20$ est hors de la plage, c’est une extrapolation, valable seulement si la tendance se maintient.

Attention — diviser une inéquation par a < 0 change son sens ; pour des années, on donne le premier entier qui convient.

Cas 6 · Changement de variable

Réflexe — nuage courbé : z = ln y, z = 1/x ou ln y en ln x ; |r| proche de 1 pour la nouvelle série ; retour à y.

Exemple. Questions types : « On pose $z = \ln y$ … En déduire $y$ en fonction de $x$ ». Exemple : la régression donne $z = - 0, 12 x + 4, 5$ .

$\ln y = - 0, 12 x + 4, 5$ , donc $y = e^{- 0, 12 x + 4, 5} = e^{4, 5} \times e^{- 0, 12 x}$ .

$e^{4, 5} \approx 90, 0$ : $y \approx 90, 0 e^{- 0, 12 x}$ .

À chaque pas, $y$ est multiplié par $e^{- 0, 12} \approx 0, 887$ .

Attention — e^(αx + β) = e^β × e^(αx), pas une somme ; la réponse porte sur y, pas sur z.

Les pièges

Corrélation n’est pas causalité : r proche de 1 ne dit pas quelle variable agit sur l’autre.
r proche de 0 veut dire « pas de lien affine », pas « aucun lien ».
Une extrapolation sans la réserve « si la tendance se poursuit » est une réponse incomplète.
Arrondir a et b trop tôt déplace les prévisions : arrondir à la fin.
Un seul point aberrant peut faire chuter r : regarder le nuage, et ne l’écarter qu’avec une raison.
Après z = ln y, répondre en y : e^(αx + β) = e^β × e^(αx).

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une série double, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : écart type, point moyen, équation de la droite de régression, calcul et lecture de r, estimation par interpolation ou extrapolation, retour à y après un changement de variable. Les formules à connaître sont dans la fiche tableaux.

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