Formulaire : primitives

Primitive d’une fonction et équation y′ = f, primitives des fonctions usuelles et linéarité, formes 2u′u, u′eᵘ et u′/u, primitive vérifiant une condition initiale, coût total, position et quantité à partir de leur taux de variation.

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Primitives

Fiche tableaux : dérivées et primitives à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Dérivées de référence (rappels)

Fonction	Dérivée	Sur
$k$ (constante)	$0$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$
$g (a x + b)$	$a g' (a x + b)$	là où $g$ est dérivable en $a x + b$
$u v$ ; $\frac{u}{v}$	$u' v + u v'$ ; $\frac{u' v - u v'}{v^{2}}$	$v \neq 0$ pour le quotient

Chaque primitive se vérifie avec ce tableau : on dérive le résultat et on retrouve la fonction de départ.

Primitives des fonctions usuelles

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur
$a$ (constante)	$a x$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	$] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$e^{a x + b}$ ( $a \neq 0$ )	$\frac{1}{a} e^{a x + b}$	$ℝ$

Linéarité : une primitive de $λ f + μ g$ est $λ F + μ G$ . Fonction de $a x + b$ : une primitive de $f (a x + b)$ est $\frac{1}{a} F (a x + b)$ .

Formes composées

Fonction $f$	Une primitive $F$	Condition
$2 u' u$	$u^{2}$	$u$ dérivable sur $I$
$u' e^{u}$	$e^{u}$	$u$ dérivable sur $I$
$\frac{u'}{u}$	$\ln u$	$u > 0$ sur $I$

Ajuster une constante : $x e^{x^{2} - 3} = \frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2} - 3}$ a pour primitive $\frac{1}{2} e^{x^{2} - 3}$ .

Condition initiale et grandeurs

Situation	Ce que l’on écrit
toutes les primitives	$F_{0} (x) + k$ , $k$ réel
condition $F (x_{0}) = y_{0}$	$F_{0} (x_{0}) + k = y_{0}$ , d’où $k$ (unique)
$y' = f$ et $y (x_{0}) = y_{0}$	la primitive de $f$ qui vaut $y_{0}$ en $x_{0}$
coût marginal $C_{m}$	$C$ primitive de $C_{m}$ , $C (0)$ = coûts fixes
vitesse $v$ , débit $d$	position, volume : primitives ; variation $Q (b) - Q (a)$

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À propos de cette page

La fiche de révision des primitives en tableaux : dérivées de référence à savoir retourner, primitives des fonctions usuelles (xⁿ, 1/x², 1/√x, 1/x, eˣ, e^(ax+b)), formes composées 2u′u, u′eᵘ et u′/u avec leurs conditions, condition initiale et grandeurs (coût, position, volume). Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir.

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