Formulaire : loi géométrique

Rappels de 1re sur les probabilités conditionnelles et les suites géométriques, rang du premier succès d’un schéma de Bernoulli et loi géométrique, probabilités P(X > k) et P(X ⩽ k) et seuils, espérance 1/p et simulation en Python, absence de mémoire.

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Loi géométrique : temps d’attente discret

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

La loi géométrique 𝒢(p)

Notion	Formule
Valeurs	$1, 2, 3, \dots$ (rang du premier succès)
$P (X = k)$	$(1 - p)^{k - 1} p$
$P (X > k)$	$(1 - p)^{k}$
$P (X ⩽ k)$	$1 - (1 - p)^{k}$
Espérance (admise)	$E (X) = \frac{1}{p}$
Valeur la plus probable	$1$

Exemple : $X$ suit $𝒢 (0, 44)$ : $P (X = 2) = 0, 56 \times 0, 44 = 0, 2464$ , $P (X > 2) = 0, 56^{2} = 0, 3136$ , $E (X) = \frac{1}{0, 44} = \frac{25}{11} \approx 2, 27$ .

Traduire un événement

Phrase	Événement	Probabilité
premier succès au rang $k$	$X = k$	$(1 - p)^{k - 1} p$
plus de $k$ épreuves	$X > k$	$(1 - p)^{k}$
au plus $k$ épreuves	$X ⩽ k$	$1 - (1 - p)^{k}$
au moins $k$ épreuves	$X ⩾ k$	$(1 - p)^{k - 1}$
entre $a$ et $b$	$a ⩽ X ⩽ b$	$(1 - p)^{a - 1} - (1 - p)^{b}$
encore plus de $n$ , sachant plus de $m$	$X > m + n$ sachant $X > m$	$(1 - p)^{n}$

Exemple : $p = 0, 6$ et « entre $2$ et $4$ » : $0, 4 - 0, 4^{4} = 0, 4 - 0, 0256 = 0, 3744$ .

Binomiale ou géométrique ?

	Loi binomiale $ℬ (n; p)$	Loi géométrique $𝒢 (p)$
Nombre d’épreuves	fixé : $n$	non fixé : jusqu’au premier succès
$X$ est	le nombre de succès	le rang du premier succès
Valeurs	$0, 1, \dots, n$	$1, 2, 3, \dots$
Espérance	$n p$	$\frac{1}{p}$

Lien : aucun succès dans les $n$ premières épreuves, c’est à la fois ${Y = 0}$ pour $Y$ de loi $ℬ (n; p)$ et ${X > n}$ : les deux valent $(1 - p)^{n}$ .

Seuil et absence de mémoire

On cherche…	Méthode
le plus petit $n$ tel que $P (X ⩽ n) ⩾ s$	$n ⩾ \frac{\ln (1 - s)}{\ln (1 - p)}$ , puis l’entier au-dessus
$P_{X > m} (X > m + n)$	$P (X > n) = (1 - p)^{n}$
$P_{X > m} (X = m + k)$	$P (X = k)$
prouver qu’une loi n’est pas géométrique	un $m$ et un $n$ avec $P_{X > m} (X > m + n) \neq P (X > n)$

Exemple : $p = 0, 2$ et $s = 0, 5$ : $n ⩾ \frac{\ln 0, 5}{\ln 0, 8} \approx 3, 1$ , donc $n = 4$ .

Simuler en Python

Instruction	Rôle
`random() < p`	vrai avec la probabilité $p$ : une épreuve de Bernoulli
`while random() >= p:`	répète tant que l’épreuve échoue
`k = k + 1`	compte une épreuve de plus
`return k`	renvoie le rang du premier succès

La moyenne de nombreuses réalisations est proche de $\frac{1}{p}$ : pour $p = 0, 125$ , proche de $8$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision de la loi géométrique en tableaux : formules de P(X = k), P(X > k), P(X ⩽ k) et de l’espérance, traduction de « plus de », « au plus », « au moins », « entre » et « sachant », comparaison avec la loi binomiale, seuil et absence de mémoire, instructions Python de la simulation. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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