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Loi géométrique : temps d’attente discret
Rappels de 1re sur les probabilités conditionnelles et les suites géométriques, rang du premier succès d’un schéma de Bernoulli et loi géométrique, probabilités P(X > k) et P(X ⩽ k) et seuils, espérance 1/p et simulation en Python, absence de mémoire.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
On répète des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p, et X est le rang du premier succès. X suit la loi :
- A. binomiale de paramètres n et p
- B. géométrique de paramètre p
- C. uniforme sur {1, …, n}
- D. de Bernoulli de paramètre p
Réponse
B. géométrique de paramètre p — X est un rang de premier succès, sans nombre d’épreuves fixé : c’est la loi géométrique. La loi binomiale compte des succès sur n épreuves fixées.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,42. P(X = 1) vaut :
- A. 0,2436
- B. 0,58
- C. 0,1764
- D. 0,42
Réponse
D. 0,42 — P(X = 1) = (1 − p)⁰ × p = p = 0,42 : succès dès la première épreuve. 0,58 est la probabilité d’un échec, 0,2436 celle de X = 2 et 0,1764 = 0,42² celle de deux succès de suite.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,1. P(X = 3) vaut :
- A. 0,0729
- B. 0,009
- C. 0,081
- D. 0,243
Réponse
C. 0,081 — Deux échecs puis un succès : 0,9² × 0,1 = 0,081. La valeur 0,0729 = 0,9³ × 0,1 vient de l’exposant k au lieu de k − 1.
Quelles valeurs une variable aléatoire de loi géométrique peut-elle prendre ?
- A. les entiers de 0 à n
- B. tous les entiers 1, 2, 3, …
- C. les réels de l’intervalle ]0 ; 1[
- D. les entiers naturels 0, 1, 2, 3, …
Réponse
B. tous les entiers 1, 2, 3, … — X est le rang du premier succès : au moins 1, sans limite fixée à l’avance. La valeur 0 est impossible, car il faut au moins une épreuve.
X suit la loi géométrique de paramètre p. P(X > k) vaut :
- A. (1 − p)ᵏ
- B. (1 − p)ᵏ⁻¹
- C. 1 − (1 − p)ᵏ
- D. 1 − pᵏ
Réponse
A. (1 − p)ᵏ — X > k signifie que les k premières épreuves sont des échecs : (1 − p)ᵏ. 1 − (1 − p)ᵏ est P(X ⩽ k) et (1 − p)ᵏ⁻¹ est P(X ⩾ k).
X suit la loi géométrique de paramètre 0,0125. Son espérance vaut :
- A. 0,0125
- B. environ 1,013
- C. 0,9875
- D. 80
Réponse
D. 80 — E(X) = 1/p = 1/0,0125 = 80. La valeur 1/0,9875 ≈ 1,013 vient de 1/(1 − p), et 0,9875 est la probabilité d’un échec.
Une crue a chaque année la probabilité 0,005 de se produire, indépendamment des autres années. Sa période de retour est :
- A. 50 ans
- B. 200 ans
- C. 500 ans
- D. 20 ans
Réponse
B. 200 ans — La période de retour est le temps d’attente moyen : 1/0,005 = 200 ans.
On lance 10 fois un dé équilibré et X compte les 6 obtenus. X suit :
- A. la loi géométrique de paramètre 1/6
- B. la loi binomiale B(10 ; 1/6)
- C. la loi uniforme sur {1, …, 10}
- D. la loi géométrique de paramètre 1/10
Réponse
B. la loi binomiale B(10 ; 1/6) — Nombre d’épreuves fixé (10) et on compte les succès : loi binomiale. La loi géométrique décrit le rang du premier 6.
On lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un 6 ; X est le nombre de lancers. P(X = 2) vaut :
- A. 1/36
- B. 1/3
- C. 5/36
- D. 25/36
Réponse
C. 5/36 — Un lancer sans 6, puis un 6 : 5/6 × 1/6 = 5/36.
X suit la loi géométrique de paramètre p. La valeur la plus probable de X est :
- A. 1
- B. l’espérance 1/p
- C. l’entier le plus proche de 1/p
- D. 0
Réponse
A. 1 — P(X = k + 1) = (1 − p) P(X = k) < P(X = k) : les probabilités décroissent, la plus grande est P(X = 1) = p.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,9. PX > 2(X > 5) vaut :
- A. 0,00001
- B. 0,01
- C. 0,001
- D. 0,999
Réponse
C. 0,001 — Absence de mémoire : PX > 2(X > 5) = P(X > 3) = 0,1³ = 0,001.
Dans la fonction geometrique(p) du cours, la boucle while random() >= p tourne :
- A. tant que l’épreuve échoue
- B. exactement p fois de suite
- C. tant que l’épreuve réussit
- D. exactement 1/p fois
Réponse
A. tant que l’épreuve échoue — random() >= p est vrai avec la probabilité 1 − p : c’est un échec. La boucle s’arrête au premier succès.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
X suit la loi géométrique de paramètre 0,8. P(X ⩽ 3) vaut :
- A. 0,008
- B. 0,992
- C. 0,9984
- D. 0,96
Réponse
B. 0,992 — P(X ⩽ 3) = 1 − P(X > 3) = 1 − 0,2³ = 1 − 0,008 = 0,992. La valeur 0,008 est P(X > 3), 0,96 est P(X ⩽ 2) et 0,9984 est P(X ⩽ 4).
X suit la loi géométrique de paramètre 0,3. P(X ⩾ 4) vaut :
- A. 0,2401
- B. 0,657
- C. 0,343
- D. 0,1029
Réponse
C. 0,343 — X ⩾ 4 équivaut à X > 3 : P = 0,7³ = 0,343. La valeur 0,2401 = 0,7⁴ correspond à X > 4.
X suit une loi géométrique d’espérance 16. Son paramètre p vaut :
- A. 0,16
- B. 0,0625
- C. 0,625
- D. 0,016
Réponse
B. 0,0625 — E(X) = 1/p = 16, donc p = 1/16 = 0,0625.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,2. P(2 ⩽ X ⩽ 4) vaut :
- A. 0,2304
- B. 0,5904
- C. 0,3904
- D. 0,288
Réponse
C. 0,3904 — P(2 ⩽ X ⩽ 4) = P(X > 1) − P(X > 4) = 0,8 − 0,8⁴ = 0,8 − 0,4096 = 0,3904. La valeur 0,5904 est P(X ⩽ 4) ; 0,2304 oublie la valeur 2 et 0,288 oublie la valeur 4.
Le plus petit entier n tel que 1 − 0,9ⁿ ⩾ 0,99 est :
- A. 43
- B. 44
- C. 22
- D. 11
Réponse
B. 44 — 0,9ⁿ ⩽ 0,01 ⟺ n ⩾ ln 0,01 / ln 0,9 ≈ 43,7. Contrôle : 0,9⁴³ ≈ 0,0108 > 0,01 et 0,9⁴⁴ ≈ 0,0097 : n = 44.
Un joueur paie 2 € par partie et rejoue jusqu’à sa première victoire ; chaque partie est gagnée avec la probabilité 0,25, indépendamment. Sa dépense moyenne est :
- A. 0,50 €
- B. 6 €
- C. 8 €
- D. 2 €
Réponse
C. 8 € — Le nombre de parties X suit la loi géométrique de paramètre 0,25 : E(X) = 4. Par linéarité, E(2X) = 2 × 4 = 8 €.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,48. PX > 3(X = 5) vaut :
- A. environ 0,0351
- B. 0,48
- C. 0,129792
- D. 0,2496
Réponse
D. 0,2496 — Absence de mémoire : PX > 3(X = 5) = P(X = 2) = 0,52 × 0,48 = 0,2496. La valeur 0,52⁴ × 0,48 ≈ 0,0351 est P(X = 5), sans condition, et 0,129792 est P(X = 3).
X suit une loi géométrique et P(X > 2) = 0,49. Son paramètre p vaut :
- A. 0,3
- B. 0,51
- C. 0,7
- D. 0,245
Réponse
A. 0,3 — (1 − p)² = 0,49 et 1 − p > 0, donc 1 − p = 0,7 et p = 0,3.
Chaque mois, un composant tombe en panne avec la probabilité 0,07, indépendamment. Il fonctionne depuis 10 mois. La probabilité qu’il tombe en panne le mois suivant est :
- A. 0,07
- B. environ 0,034
- C. 0,5
- D. 0,93
Réponse
A. 0,07 — Absence de mémoire : le mois suivant est comme un premier mois, la probabilité de panne reste 0,07. La valeur 0,93¹⁰ × 0,07 ≈ 0,034 est P(X = 11) pour un composant neuf.
Combien de termes compte la somme 1 + q + q² + … + q⁹ ?
- A. 9
- B. 8
- C. 11
- D. 10
Réponse
D. 10 — Les exposants vont de 0 à 9 : il y a 10 termes, et la somme vaut (1 − q¹⁰)/(1 − q) pour q ≠ 1.
Pour 0 < q < 1 et n ⩾ 1, la somme 1 + q + … + qⁿ⁻¹ vaut :
- A. (1 − qⁿ⁻¹)/(1 − q)
- B. (1 − qⁿ)/(1 − q)
- C. (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)
- D. 1/(1 − q)
Réponse
B. (1 − qⁿ)/(1 − q) — La somme a n termes, d’où qⁿ au numérateur. 1/(1 − q) est sa limite quand n devient grand, pas sa valeur.
B est inclus dans A, P(A) = 0,5 et P(B) = 0,2. PA(B) vaut :
- A. 0,1
- B. 0,2
- C. 2,5
- D. 0,4
Réponse
D. 0,4 — B ⊂ A donne A ∩ B = B, donc PA(B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. La valeur 0,1 = 0,5 × 0,2 supposerait l’indépendance.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Une variable X à valeurs dans {1, 2, 3, …} vérifie P(X > n) = 0,8ⁿ pour tout entier naturel n. Alors :
- A. X suit la loi géométrique de paramètre 0,8
- B. X suit la loi géométrique de paramètre 0,2
- C. X suit la loi binomiale de paramètres n et 0,8
- D. on ne peut rien affirmer sur la loi de X
Réponse
B. X suit la loi géométrique de paramètre 0,2 — P(X = k) = P(X > k − 1) − P(X > k) = 0,8ᵏ⁻¹ − 0,8ᵏ = 0,8ᵏ⁻¹ × 0,2 : loi géométrique de paramètre 0,2 (0,8 est la probabilité d’échec).
Avec un dé équilibré, on a fait 10 lancers sans obtenir de 6. La probabilité d’obtenir 6 au lancer suivant est :
- A. supérieure à 1/6, car le 6 est en retard
- B. inférieure à 1/6, car le dé semble l’éviter
- C. égale à (5/6)¹⁰ × 1/6, environ 0,027
- D. égale à 1/6, comme à chaque lancer
Réponse
D. égale à 1/6, comme à chaque lancer — Les lancers sont indépendants (absence de mémoire) : la probabilité reste 1/6. (5/6)¹⁰ × 1/6 est la probabilité, avant de commencer, que le premier 6 arrive au 11e lancer.
X suit la loi géométrique de paramètre p. Laquelle de ces égalités est fausse ?
- A. P(X ⩾ k) = (1 − p)ᵏ
- B. P(X > k) = (1 − p)ᵏ
- C. P(X ⩽ k) = 1 − (1 − p)ᵏ
- D. P(X = 1) = p
Réponse
A. P(X ⩾ k) = (1 − p)ᵏ — X ⩾ k équivaut à X > k − 1, donc P(X ⩾ k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ : la première égalité est fausse. Les trois autres sont justes.
Un orage de grêle exceptionnel a une période de retour de 50 ans. La probabilité qu’il se produise au moins une fois en 50 ans est environ :
- A. 1
- B. 0,5
- C. 0,64
- D. 0,02
Réponse
C. 0,64 — p = 1/50 = 0,02 par an et P(X ⩽ 50) = 1 − 0,98⁵⁰ ≈ 0,64. Une période de retour n’est pas une garantie.
X suit la loi géométrique de paramètre p. E(3X + 2) vaut :
- A. 3/p + 2
- B. 3/p
- C. 5/p
- D. 3p + 2
Réponse
A. 3/p + 2 — Linéarité : E(3X + 2) = 3 E(X) + 2 = 3/p + 2.
X suit la loi géométrique de paramètre p, avec 0 < p < 1. La suite des nombres P(X = k), pour k ⩾ 1, est :
- A. géométrique de raison 1 − p, décroissante
- B. géométrique de raison p, donc croissante en k
- C. arithmétique de raison −p, décroissante
- D. constante, toujours égale à p
Réponse
A. géométrique de raison 1 − p, décroissante — P(X = k + 1) = (1 − p) × P(X = k) : suite géométrique de premier terme p et de raison 1 − p, comprise entre 0 et 1, donc décroissante.
Une urne contient 3 boules rouges et 7 blanches. On tire avec remise jusqu’à la première rouge. Le nombre moyen de tirages est :
- A. 3
- B. 7/3
- C. 10/3
- D. 0,3
Réponse
C. 10/3 — Avec remise, chaque tirage donne rouge avec la probabilité 0,3 : le rang suit la loi géométrique de paramètre 0,3 et E = 1/0,3 = 10/3 ≈ 3,33.
Même urne (3 rouges, 7 blanches), mais on tire sans remise jusqu’à la première rouge. Le rang X de la première rouge :
- A. suit la loi géométrique de paramètre 0,3 à chaque tirage
- B. n’est pas de loi géométrique, faute d’indépendance
- C. suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,3
- D. suit la loi uniforme sur les entiers de 1 à 10
Réponse
B. n’est pas de loi géométrique, faute d’indépendance — Sans remise, la composition change : la probabilité de rouge varie et les tirages ne sont pas indépendants. X ne dépasse d’ailleurs jamais 8.
X suit la loi géométrique de paramètre p. La probabilité PX > m(X > m + n) ne dépend pas de :
- A. n
- B. p
- C. m
- D. 1 − p
Réponse
C. m — Elle vaut P(X > n) = (1 − p)ⁿ : elle dépend de p et de n, pas de m. C’est l’absence de mémoire.
X suit la loi géométrique de paramètre 0,06. Le plus petit entier n tel que P(X ⩽ n) ⩾ 0,5 est :
- A. 11
- B. 12
- C. 17
- D. 6
Réponse
B. 12 — 0,94ⁿ ⩽ 0,5 ⟺ n ⩾ ln 0,5 / ln 0,94 ≈ 11,2. Contrôle : 0,94¹¹ ≈ 0,506 et 0,94¹² ≈ 0,476 : n = 12, bien avant l’espérance 1/0,06 ≈ 16,7.
Z suit la loi uniforme sur {1, 2, 3, 4}. PZ > 1(Z > 2) vaut :
- A. 3/4
- B. 1/2
- C. 1/3
- D. 2/3
Réponse
D. 2/3 — P(Z > 2)/P(Z > 1) = (2/4)/(3/4) = 2/3, différent de P(Z > 1) = 3/4 : Z n’est pas sans mémoire.
L’appel moyenne(0.2, 100 000) du cours renvoie 5,01. Ce résultat :
- A. prouve que E(X) vaut exactement 5,01
- B. contredit le cours, où E(X) vaut 0,2
- C. montre que la valeur la plus probable est 5
- D. est proche de E(X) = 1/0,2 = 5, comme attendu
Réponse
D. est proche de E(X) = 1/0,2 = 5, comme attendu — Une moyenne de nombreuses réalisations est proche de l’espérance 1/p = 5, sans lui être égale. La valeur la plus probable reste 1.
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