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90 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 90 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths-complementaires de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Loi géométrique : temps d’attente discret » du programme officiel de maths-complementaires en terminale.

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Loi géométrique : temps d’attente discret

Rappels de 1re sur les probabilités conditionnelles et les suites géométriques, rang du premier succès d’un schéma de Bernoulli et loi géométrique, probabilités P(X > k) et P(X ⩽ k) et seuils, espérance 1/p et simulation en Python, absence de mémoire.

À propos de cette page

Un devoir surveillé d’une heure et demie sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé : somme géométrique et probabilité conditionnelle, candidatures de stage et nombre à prévoir, coffres d’un jeu vidéo simulés en Python, démonstration de l’absence de mémoire, réglage de la difficulté d’un jeu forain.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 90 min · Noté sur 20

90:00

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Devoir surveillé – Loi géométrique : temps d’attente discret

Durée : 90 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths-complementaires Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Rappels : probabilité conditionnelle et somme géométrique ★★

(4 pts)

Dans une pépinière, on suit de jeunes arbres plantés la même année : $80 %$ vivent plus de deux ans (événement $A$ ) et $62 %$ vivent plus de trois ans (événement $B$ ). Par ailleurs, pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $S_{n} = 0, 28 (1 + 0, 72 + 0, 72^{2} + \dots + 0, 72^{n - 1})$ .

a)Justifier que $A \cap B = B$ , puis calculer $P_{A} (B)$ et l’interpréter.
b)Démontrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $S_{n} = 1 - 0, 72^{n}$ .
c)Calculer $S_{5}$ (arrondi au dix-millième).
d)Déterminer la limite de $S_{n}$ . Interpréter $S_{n}$ comme une probabilité $P (X ⩽ n)$ pour une variable $X$ dont on précisera la loi.

Exercice 2 – Candidatures de stage ★★

(5 pts)

Une étudiante envoie des candidatures de stage, une par une. Chacune reçoit une réponse positive avec la probabilité $0, 24$ , indépendamment des autres. $X$ est le rang de la première candidature acceptée.

a)Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
b)Calculer $P (X = 3)$ .
c)Calculer $P (X > 5)$ puis $P (X ⩽ 5)$ , arrondies au dix-millième.
d)Calculer la probabilité que la première réponse positive arrive entre la $3^{e}$ et la $6^{e}$ candidature (incluses), au dix-millième.
e)Combien de candidatures doit-elle prévoir pour obtenir au moins une réponse positive avec une probabilité d’au moins $0, 99$ ? Justifier.

Exercice 3 – Coffres d’un jeu vidéo ★★

(4 pts)

Dans un jeu vidéo, chaque coffre ouvert contient un objet légendaire avec la probabilité $0, 02$ , indépendamment des autres coffres. Un joueur ouvre des coffres jusqu’à obtenir un objet légendaire ; $X$ est le nombre de coffres ouverts. On dispose de la fonction Python :

from random import random

def coffres():
    k = 1
    while random() >= 0.02:
        k = k + 1
    return k

a)Justifier que $X$ suit une loi géométrique, calculer $E (X)$ et interpréter.
b)Chaque coffre coûte $3$ pièces d’or. Calculer le coût moyen, en pièces d’or, pour obtenir un objet légendaire.
c)Expliquer ce que renvoie la fonction $c o f f r e s ()$ .
d)Le joueur appelle $10 000$ fois $c o f f r e s ()$ et calcule la moyenne des valeurs obtenues. Vers quelle valeur s’attend-il ? Est-ce la valeur de $X$ la plus probable ?

Exercice 4 – Absence de mémoire ★★★

(4 pts)

$X$ suit une loi géométrique $𝒢 (p)$ , avec $0 < p < 1$ ; on pose $q = 1 - p$ .

a)Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ , $P (X > k) = q^{k}$ .
b)Démontrer que $X$ a la propriété d’absence de mémoire : $P_{X > m} (X > m + n) = P (X > n)$ quels que soient les entiers naturels $m$ et $n$ .
c)Chaque nuit, une alarme se déclenche à tort avec la probabilité $0, 015$ , indépendamment des autres nuits. Elle ne s’est pas déclenchée pendant $60$ nuits. Calculer la probabilité qu’elle ne se déclenche pas non plus pendant les $30$ nuits suivantes (au dix-millième).
d) $Y$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, \dots, 8}$ . Démontrer que $Y$ n’a pas la propriété d’absence de mémoire.

Exercice 5 – Régler la difficulté d’un jeu ★★★

(3 pts)

Un forain règle la probabilité $p$ ( $0 < p < 1$ ) de gagner à chaque essai d’un jeu d’adresse ; les essais sont indépendants et un joueur rejoue jusqu’à gagner. $X$ est le rang du premier essai gagnant.

a)Exprimer $P (X ⩽ 3)$ en fonction de $p$ .
b)Déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles $P (X ⩽ 3) ⩾ 0, 875$ .
c)Le forain veut aussi qu’un joueur fasse en moyenne au moins $4$ essais. Pour quelles valeurs de $p$ est-ce le cas ? Peut-il satisfaire les deux exigences à la fois ?

Bon courage !

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Corrigé et barème – Loi géométrique : temps d’attente discret

Durée : 90 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths-complementaires Terminale

Exercice 1 – Rappels : probabilité conditionnelle et somme géométrique ★★

(4 pts)

a)Un arbre qui vit plus de trois ans vit aussi plus de deux ans : $B \subset A$ , donc $A \cap B = B$ . Ainsi $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0, 62}{0, 80} = 0, 775$ : parmi les arbres qui vivent plus de deux ans, $77, 5 %$ vivent plus de trois ans. (1)
b) $1 + 0, 72 + \dots + 0, 72^{n - 1}$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $0, 72 \neq 1$ : elle vaut $\frac{1 - 0, 72^{n}}{1 - 0, 72} = \frac{1 - 0, 72^{n}}{0, 28}$ . Donc $S_{n} = 0, 28 \times \frac{1 - 0, 72^{n}}{0, 28} = 1 - 0, 72^{n}$ . (1)
c) $S_{5} = 1 - 0, 72^{5} = 1 - 0, 1934917632 = 0, 8065082368 \approx 0, 8065$ . (1)
d)Comme $0 < 0, 72 < 1$ , $0, 72^{n}$ tend vers $0$ , donc $S_{n}$ tend vers $1$ . Si $X$ suit la loi géométrique $𝒢 (0, 28)$ , $P (X = k) = 0, 72^{k - 1} \times 0, 28$ et $S_{n} = P (X = 1) + \dots + P (X = n) = P (X ⩽ n)$ . La limite $1$ traduit que la somme de toutes les probabilités de la loi vaut $1$ . (1)

Repère — Événement inclus : l’intersection est le plus petit des deux. Somme de n termes : (1 − qⁿ)/(1 − q), et le facteur p se simplifie avec 1 − q.

Exercice 2 – Candidatures de stage ★★

(5 pts)

a)Chaque candidature est une épreuve de Bernoulli de succès « réponse positive », de probabilité $p = 0, 24$ . Les candidatures sont identiques et indépendantes, et $X$ est le rang du premier succès : $X$ suit la loi géométrique $𝒢 (0, 24)$ . (1)
b)Deux refus puis une réponse positive : $P (X = 3) = 0, 76^{2} \times 0, 24 = 0, 5776 \times 0, 24 = 0, 138624$ . (1)
c) $X > 5$ signifie que les $5$ premières candidatures sont refusées : $P (X > 5) = 0, 76^{5} = 0, 2535525376 \approx 0, 2536$ . Par le contraire, $P (X ⩽ 5) = 1 - 0, 2535525376 \approx 0, 7464$ . (1)
d) $P (3 ⩽ X ⩽ 6) = P (X > 2) - P (X > 6) = 0, 76^{2} - 0, 76^{6} = 0, 5776 - 0, 192699928576 = 0, 384900071424 \approx 0, 3849$ . (1)
e)On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P (X ⩽ n) ⩾ 0, 99$ . $1 - 0, 76^{n} ⩾ 0, 99 ⟺ 0, 76^{n} ⩽ 0, 01 ⟺ n \ln 0, 76 ⩽ \ln 0, 01$ $⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 76}$ , car $\ln 0, 76 < 0$ . Or $\frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 76} \approx 16, 78$ . Contrôle : $0, 76^{16} \approx 0, 0124 > 0, 01$ et $0, 76^{17} \approx 0, 0094 ⩽ 0, 01$ . Elle doit prévoir $17$ candidatures. (1)

Repère — Tout se ramène à P(X > k) = (1 − p)ᵏ : par le contraire, par une différence, ou par le logarithme pour un seuil, en contrôlant les deux entiers voisins.

Exercice 3 – Coffres d’un jeu vidéo ★★

(4 pts)

a)Chaque coffre est une épreuve de Bernoulli de succès « objet légendaire », de probabilité $0, 02$ ; les coffres sont identiques et indépendants, et $X$ est le rang du premier succès : $X$ suit $𝒢 (0, 02)$ . Donc $E (X) = \frac{1}{0, 02} = 50$ : en moyenne, il faut ouvrir $50$ coffres pour obtenir un objet légendaire. (1)
b)Le coût est $3 X$ ; par linéarité de l’espérance, $E (3 X) = 3 E (X) = 3 \times 50 = 150$ pièces d’or en moyenne. (1)
c) $r a n d o m ()$ renvoie un réel au hasard dans $[0; 1 [$ ; le test $r a n d o m () > = 0.02$ est vrai avec la probabilité $0, 98$ : il représente un coffre sans objet légendaire. Tant que c’est le cas, la boucle ajoute $1$ au compteur $k$ . Au premier coffre qui contient l’objet, la boucle s’arrête et la fonction renvoie $k$ , le rang de ce coffre : c’est une réalisation de $X$ . (1)
d)La moyenne de $10 000$ réalisations est proche de l’espérance : environ $50$ . Ce n’est pas la valeur la plus probable : $P (X = k + 1) = 0, 98 P (X = k)$ , donc les probabilités diminuent et la valeur la plus probable est $1$ , avec $P (X = 1) = 0, 02$ . (1)

Repère — E(X) = 1/p est un temps d’attente moyen, que la simulation retrouve ; la valeur la plus probable d’une loi géométrique est toujours 1.

Exercice 4 – Absence de mémoire ★★★

(4 pts)

a)Soit $k$ un entier naturel. L’événement ${X > k}$ signifie que les $k$ premières épreuves sont des échecs (pour $k = 0$ , c’est l’événement certain). Les épreuves étant indépendantes et chacune de probabilité d’échec $q$ , $P (X > k) = q \times q \times \dots \times q = q^{k}$ . (1)
b)Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels. $P (X > m) = q^{m} \neq 0$ . Si $X > m + n$ , alors $X > m$ : ${X > m + n} \subset {X > m}$ , donc ${X > m} \cap {X > m + n} = {X > m + n}$ . Ainsi $P_{X > m} (X > m + n) = \frac{P (X > m + n)}{P (X > m)} = \frac{q^{m + n}}{q^{m}} = q^{n} = P (X > n)$ . (1)
c)Le rang $T$ de la première nuit où l’alarme se déclenche suit $𝒢 (0, 015)$ (épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, rang du premier succès). On cherche $P_{T > 60} (T > 90)$ . Par absence de mémoire, $P_{T > 60} (T > 90) = P (T > 30) = 0, 985^{30} \approx 0, 6355$ . (1)
d) ${Y > 6} \subset {Y > 4}$ , donc $P_{Y > 4} (Y > 6) = \frac{P (Y > 6)}{P (Y > 4)} = \frac{2 / 8}{4 / 8} = \frac{1}{2}$ . Or $P (Y > 2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . Pour $m = 4$ et $n = 2$ , $P_{Y > m} (Y > m + n) \neq P (Y > n)$ : $Y$ n’a pas la propriété d’absence de mémoire. (1)

Repère — Absence de mémoire : un quotient de deux puissances de q, grâce à l’inclusion. Pour la réfuter, un seul contre-exemple chiffré suffit.

Exercice 5 – Régler la difficulté d’un jeu ★★★

(3 pts)

a) $X$ suit $𝒢 (p)$ (essais identiques et indépendants, rang du premier succès), donc $P (X ⩽ 3) = 1 - P (X > 3) = 1 - (1 - p)^{3}$ . (1)
b) $1 - (1 - p)^{3} ⩾ 0, 875 ⟺ (1 - p)^{3} ⩽ 0, 125 = 0, 5^{3}$ . La fonction cube est strictement croissante sur $ℝ$ , donc cela équivaut à $1 - p ⩽ 0, 5$ , soit $p ⩾ 0, 5$ . Les valeurs cherchées sont $p \in [0, 5; 1 [$ . (1)
c) $E (X) = \frac{1}{p} ⩾ 4 ⟺ p ⩽ \frac{1}{4} = 0, 25$ (car $p > 0$ ). Les deux exigences demandent $p ⩾ 0, 5$ et $p ⩽ 0, 25$ : c’est impossible. Un jeu où l’on gagne souvent en trois essais ne peut pas, en même temps, demander en moyenne quatre essais. (1)

Repère — Un paramètre inconnu se trouve en résolvant une inégalité sur (1 − p)ⁿ ; l’espérance 1/p diminue quand p augmente.

Ce contrôle de maths-complementaires Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Loi géométrique : temps d’attente discret » : 5 exercices, 90 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Rappels : probabilité conditionnelle et somme géométrique ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Candidatures de stage ★★/ 5 pts
Exercice 3 — Coffres d’un jeu vidéo ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Absence de mémoire ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Régler la difficulté d’un jeu ★★★/ 3 pts

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (36 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 90 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Loi géométrique : temps d’attente discret » ?: 90 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
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