Comment reconnaître une suite géométrique ?

Une suite est géométrique quand on passe de chaque terme au suivant en multipliant par un même nombre q, appelé raison : uₙ₊₁ = q × uₙ. Si les termes sont non nuls, il suffit de montrer que le quotient uₙ₊₁ / uₙ est constant. Pour prouver qu'une suite n'est pas géométrique, un contre-exemple sur les trois premiers termes suffit.

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

Si la suite commence au rang 0, uₙ = u₀ × qⁿ ; si elle commence au rang 1, uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹. Plus généralement, uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ pour tous rangs n et p : l'exposant est l'écart entre les rangs.

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour une raison q différente de 1, une somme de termes consécutifs vaut : premier terme × (1 − q^N) / (1 − q), où N est le nombre de termes. En particulier, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q). De uₚ à uₙ, il y a n − p + 1 termes.

Quel lien entre suite géométrique et pourcentage d'évolution ?

Une grandeur qui varie de t % à chaque période est multipliée chaque fois par q = 1 + t/100 : ses valeurs successives forment une suite géométrique de raison q. Par exemple, une baisse de 8 % par an correspond à q = 0,92. Les taux successifs ne s'additionnent pas : ce sont les coefficients qui se multiplient.

Comment savoir si une suite géométrique est croissante ou décroissante ?

Si la raison q est positive, uₙ₊₁ − uₙ = u₀ × qⁿ × (q − 1) a le signe de u₀(q − 1). Avec u₀ > 0, la suite est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1 ; avec u₀ < 0, c'est l'inverse. Si q est négative, les termes changent de signe et la suite n'est pas monotone.

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Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Suites géométriques » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

L'essentiel

Définition. Une suite

(u_{n})

est géométrique s'il existe un réel

q

, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = q \times u_{n}

. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Terme général. Si

(u_{n})

est géométrique de premier terme

u_{0}

et de raison

q

, alors pour tout entier naturel

n

u_{n} = u_{0} \times q^{n} .

Si la suite commence au rang 1,

u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}

pour tout

n \geq 1

Évolution à taux constant. Une grandeur qui varie de

t

% à chaque période est multipliée à chaque période par le coefficient multiplicateur

q = 1 + \frac{t}{100}

(

t > 0

pour une hausse,

t < 0

pour une baisse). Ses valeurs successives forment une suite géométrique de raison

q

Exemple.

u_{0} = 5

q = 3

u_{1} = 15

u_{2} = 45

u_{3} = 135

et, directement,

u_{4} = 5 \times 3^{4} = 405

Terme général et relation entre deux termes

Propriété. Si

(u_{n})

est géométrique de raison

q

, alors pour tous entiers naturels

n

p

u_{n} = u_{p} \times q^{n - p} .

L'exposant est l'écart entre les rangs.

Exemple.

(u_{n})

est géométrique avec

u_{2} = 44

u_{5} = 352

. Alors

u_{5} = u_{2} \times q^{3}

, donc

q^{3} = \frac{352}{44} = 8

q = 2

(seul réel dont le cube vaut 8). Puis

u_{0} = \frac{u_{2}}{q^{2}} = \frac{44}{4} = 11

, d'où

u_{n} = 11 \times 2^{n}

Reconnaître une suite géométrique. Lorsque les termes ne sont pas nuls,

(u_{n})

est géométrique si et seulement si le quotient

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

est constant ; cette constante est la raison.

Lien avec l'exponentielle. Pour

q > 0

, les points de coordonnées

(n; u_{n})

sont situés sur la courbe de la fonction

x \mapsto u_{0} \times q^{x}

: une suite géométrique modélise une évolution exponentielle discrète. On multiplie toujours par le même nombre, alors qu'une évolution linéaire ajoute toujours la même quantité.

Sens de variation

Propriété. Soit

(u_{n})

géométrique de premier terme

u_{0}

et de raison

q > 0

.
• Si

u_{0} > 0

(u_{n})

est strictement croissante lorsque

q > 1

, strictement décroissante lorsque

0 < q < 1

.
• Si

u_{0} < 0

: c'est l'inverse.
• Si

q = 1

(ou si

u_{0} = 0

), la suite est constante.

Démonstration. Pour tout

n

u_{n + 1} - u_{n} = u_{0} q^{n + 1} - u_{0} q^{n} = u_{0} q^{n} (q - 1)

. Comme

q > 0

, on a

q^{n} > 0

: le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

est celui de

u_{0} (q - 1)

, qui ne dépend pas de

n

. Par exemple, si

u_{0} > 0

q > 1

, ce produit est strictement positif, donc

u_{n + 1} > u_{n}

pour tout

n

	$0 < q < 1$	$q > 1$
$u_{0} > 0$	strictement décroissante	strictement croissante
$u_{0} < 0$	strictement croissante	strictement décroissante

Exemple.

v_{n} = - 6 \times 0, 8^{n}

v_{0} = - 6 < 0

0 < 0, 8 < 1

, donc

(v_{n})

est strictement croissante. Vérification :

v_{n + 1} - v_{n} = - 6 \times 0, 8^{n} \times (0, 8 - 1) = 1, 2 \times 0, 8^{n} > 0

Raison négative. Si

q < 0

, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Somme de termes consécutifs

Propriété. Pour tout réel

q \neq 1

et tout entier naturel

n

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} .

Démonstration (à savoir refaire). Notons

S = 1 + q + \dots + q^{n}

. Alors

q S = q + q^{2} + \dots + q^{n + 1}

. En soustrayant, les termes de

q

q^{n}

s'éliminent :

S - q S = 1 - q^{n + 1}

, soit

(1 - q) S = 1 - q^{n + 1}

. Comme

q \neq 1

, on peut diviser par

1 - q \neq 0

S = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Somme de termes consécutifs. Pour une suite géométrique de raison

q \neq 1

u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n} = u_{p} \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} .

À retenir : premier terme × (1 − raison^{nombre de termes}) ÷ (1 − raison). De

u_{p}

u_{n}

, il y a

n - p + 1

termes. Si

q = 1

, la somme vaut simplement

(n - p + 1) u_{p}

Exemple.

1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{9} = \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{- 1023}{- 1} = 1023

(10 termes, exposants de 0 à 9).

Modèles à taux constant

Exemple (hausse). Une commune compte 1 500 habitants en 2026 et sa population augmente de 2 % par an. Avec

P_{0} = 1500

P_{n + 1} = 1, 02 P_{n}

, la suite

(P_{n})

est géométrique de raison

1, 02

P_{n} = 1500 \times 1, 02^{n}

. En 2036 (

n = 10

) :

P_{10} = 1500 \times 1, 02^{10} \approx 1828

habitants.

Exemple (baisse). Une baisse de 6 % par période correspond au coefficient

q = 1 - 0, 06 = 0, 94

: la grandeur est multipliée par 0,94 à chaque période.

Évolution globale. Après

n

périodes au taux constant

t

%, la grandeur est multipliée par

q^{n}

; le taux d'évolution global vaut

(q^{n} - 1) \times 100

%. Dans l'exemple de la commune,

1, 02^{10} - 1 \approx 0, 219

: hausse globale d'environ 21,9 %, et non de 20 %.

Seuil. Pour savoir quand une grandeur dépasse (ou passe sous) une valeur donnée, on calcule les termes successifs à la calculatrice (mode suite, tableau de valeurs) ou avec un algorithme Python utilisant une boucle while.

Méthodes

Méthode 1 — Montrer qu'une suite est (ou n'est pas) géométrique

Exprimer $u_{n + 1}$ à partir de la définition de la suite.
Faire apparaître $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ avec $q$ indépendant de $n$ (ou montrer que $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ est constant si les termes sont non nuls).
Conclure en donnant la raison et le premier terme.
Pour prouver qu'une suite n'est pas géométrique, un contre-exemple suffit : $\frac{u_{1}}{u_{0}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}$ .

Exemple rédigé. Soit

w_{n} = \frac{2^{n + 3}}{7}

. Pour tout

n

w_{n + 1} = \frac{2^{n + 4}}{7} = 2 \times \frac{2^{n + 3}}{7} = 2 w_{n}

. Donc

(w_{n})

est géométrique de raison 2 et de premier terme

w_{0} = \frac{8}{7}

Méthode 2 — Calculer une somme de termes consécutifs

Vérifier que les termes sont ceux d'une suite géométrique et identifier la raison $q \neq 1$ .
Repérer le premier terme de la somme.
Compter les termes : de $u_{p}$ à $u_{n}$ , il y en a $N = n - p + 1$ .
Appliquer : premier terme $\times \frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ .

Exemple rédigé.

S = 6 + 18 + 54 + \dots + 6 \times 3^{7}

. Chaque terme est le précédent multiplié par 3 : raison

q = 3

, premier terme 6. Les exposants vont de 0 à 7 : 8 termes. Donc

S = 6 \times \frac{1 - 3^{8}}{1 - 3} = 6 \times \frac{- 6560}{- 2} = 19 680

Méthode 3 — Modéliser une évolution à taux constant et trouver un seuil

Traduire le taux en coefficient multiplicateur $q = 1 + \frac{t}{100}$ .
Écrire $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ en précisant ce que représente $n$ .
Calculer les termes successifs (tableau de la calculatrice ou boucle while) jusqu'à franchir le seuil.
Conclure avec les deux termes qui encadrent le seuil, puis répondre dans le contexte (année, heure…).

Exemple rédigé. Une forêt compte 12 000 arbres et en perd 3 % par an. Alors

A_{n} = 12 000 \times 0, 97^{n}

. On cherche le premier

n

tel que

A_{n} < 10 000

. Le programme ci-dessous affiche 6 :

A = 12000
n = 0
while A >= 10000:
    A = 0.97 * A
    n = n + 1
print(n)

Contrôle :

A_{5} \approx 10 305

A_{6} \approx 9 996

. Le nombre d'arbres passe sous 10 000 au bout de 6 ans.

Pièges et erreurs classiques

Raison et taux. Une hausse de 5 % donne

q = 1, 05

, pas

q = 0, 05

; une baisse de 5 % donne

q = 0, 95

Premier rang. Si la suite commence à

u_{1}

, alors

u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}

: l'exposant est

n - 1

, pas

n

Nombre de termes.

u_{3} + \dots + u_{10}

compte

10 - 3 + 1 = 8

termes, pas 7. L'exposant de la formule de somme est ce nombre de termes.

Pourcentages successifs. Les taux ne s'additionnent pas : trois hausses de 10 % donnent

1, 1^{3} = 1, 331

, soit +33,1 % et non +30 %.

Puissance et signe.

(- 2)^{4} = 16

mais

- 2^{4} = - 16

: les parenthèses comptent quand la raison est négative.

Monotonie.

q > 1

ne suffit pas pour conclure « croissante » : il faut aussi le signe de

u_{0}

. Et si

q < 0

, la suite n'est pas monotone.

En bref

Géométrique : $u_{n + 1} = q u_{n}$ ; terme général $u_{n} = u_{0} q^{n} = u_{p} q^{n - p}$ .
Taux de $t$ % par période : $q = 1 + \frac{t}{100}$ ; évolution exponentielle discrète.
Si $q > 0$ : le sens de variation est donné par le signe de $u_{0} (q - 1)$ ; si $q < 0$ : pas de monotonie.
$1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$ .
Somme = premier terme $\times \frac{1 - q^{N}}{1 - q}$ , où $N$ est le nombre de termes.
Seuil : tableau de valeurs ou boucle while, conclusion encadrée par deux termes.

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